Scattering in Meccanica
Quantistica
Sommario
• Trattazione indipendente dal tempo dello
scattering
• Sviluppo in onde parziali
• Teorema ottico
• Regola d’oro e scattering
• Esempio: potenziale di Yukawa
• Scattering elastico ed anelastico
Fabrizio Bianchi
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Formule Utili
e  cos x  isenx
ix
e
ix
Formule di Eulero
 cos x  isenx
ix
e e
cos x 
2
eix  e ix
senx 
2i
ix
4ll '
4 Pl (cos  ) Pl ' (cos  )d  2l  1
Fabrizio Bianchi
Ortonormalita’ dei
Polinomi di Legendre
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Scattering in MQ
• Diversi modi di descrivere i processi di
collisione/decadimento:
• Modo indipendente dal tempo
– Descrizione in termini di stati di scattering,
analoghi a quelli stazionari
– Soluzione dell’equazione di Schroedinger, sviluppo
in onde parziali
• Modo dipendente dal tempo
– Descrizione in termini di evoluzione temporale
– Applicazione della regola d’oro
Fabrizio Bianchi
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Trattazione Indipendente dal Tempo (1)
• Diffusione di una particella da un potenziale di range finito.
– A grande distanza gli stati asintotici saranno stati di particella
libera.
• Fascio incidente ha direzione e momento ben definiti: onda piana
progressiva lungo l’asse z: eikz
• Scattering elastico: cambiamento di direzione della particella
incidente conservando l’energia.
• Fascio diffuso non ha una direzione particolare, ma conserva il
modulo del momento del fascio incidente. Puo’ essere
rappresentato da un’onda sferica uscente dal centro di
diffusione: eikr/r
• Soluzione dell’equazione di Schroedinger sara’ una combinazione
lineare dell’onda incidente e quella diffusa:
Fabrizio Bianchi
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Trattazione Indipendente dal Tempo (2)
• f() Ampiezza di Scattering, [L]
• Probabilita’ per unita’ di tempo che la particella
diffonda nell’elemento di superficie dS=r2d e’
dato dal flusso per dS (ossia |Y|2 per la velocita’ v
per dS):
• Dividendo per v (flusso onda incidente) si ha la
sezione d’urto differenziale:
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Sviluppo in Onde Parziali (1)
• Soluzione generale dell’equazione di Schroedinger in
potenziale centrale, richiedendo simmetria assiale attorno
all’asse z (direzione particelle incidenti):
• Pl sono i polinomi di Legendre. Le funzioni radiali Rl sono
soluzioni dell’eq. radiale:
• Per kr>>1, hanno la forma asintotica:
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Sviluppo in Onde Parziali (2)
• Lo sviluppo della slide 6 corrisponde ad analizzare lo stato
di scattering in autostali del momento angolare L. Possiamo
scrivere:
• Un onda piana, nel limite asintotico si puo’ scrivere come:
• D’altro canto dall’espressione di Y della slide 4:
eikr
f ( )
   eikz
r
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Sviluppo in Onde Parziali (3)
• Quindi:
 i ( kr l 2  l ) i ( kr l 2  l )  i
 i ( kr l 2 ) i ( kr l 2 ) 
eikr
i
l



f ( )

e
e
 Al (2l  1)Pl (cos  ) e
 2kr  i (2l  1)Pl (cos  ) e

r
2kr l
l




• Ponendo Al=ilel



i ( kr l )
i ( kr l )
i ( kr l ) 
 i ( kr l 2 ) i l


eikr
i
i
i

l i l
l
2
2
2 
f ( )

i e (2l  1)Pl (cos  ) e
e e
e l  
i (2l  1)Pl (cos  ) e
e



r
2kr l

 2kr l


 i ( kr l 2 ) i ( kr l 2 ) 2i l  i
 i ( kr l 2 ) i ( kr l 2 ) 
i
l
l


e
e  
e
 i (2l  1)Pl (cos  ) e
l i (2l  1)Pl (cos  ) e

2kr l
2
kr






i ( kr l )
i ( kr l ) 
 i ( kr l 2 ) i ( kr l 2 ) 2i l
i
l
2
2 

i (2l  1)Pl (cos  ) e
e
e e
e


2kr l



i ( kr l )
i
l
2

i (2l  1)Pl (cos  )e
1  e 2 i l

2kr l


• Da cui:

il
i
1
l
f ( ) 
i (2l  1)Pl (cos  )e 2 1  e 2i l 

2k l
2ik


 (2l  1)P (cos  )e
l
2 i l

1
l
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Sviluppo in Onde Parziali (4)
• L’ampiezza di scattering e’ completamente determinata dagli
sfasamenti l, a loro volta determinati dal potenziale.
• Il processo di scattering e’ descritto da un insieme (in principio
infinito) di ampiezze parziali ognuna corrispondente ad un
particolare valore di l. L’ampiezza l-esima e’ data da:
• La sezione d’urto totale :
• diventa, sfruttando la relazione di ortonormalita’ dei polinomi di
Legendre,:
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Sviluppo in Onde Parziali (5)
Poiche’:
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Regola d’Oro e Scattering (1)
Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo:
Stati iniziale e finale: Onde piane
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Regola d’Oro e Scattering (2)
• Caso di diffusione elastica da un potenziale fisso
• Sezione d’urto differenziale:
• Eventualmente: Generalizzazione
– Numeratore
– Prob. di trans./Unita' di ang. solido, Energia, ..., Unita' di
tempo
• Es. Onde piane con direzione entro d a (,f)
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Regola d’Oro e Scattering (3)
Probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati del continuo:
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Regola d’Oro e Scattering (4)
Esempio: scattering elastico:
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Regola d’Oro e Scattering (5)
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Esempio: Potenziale di Yukawa (1)
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Esempio: Potenziale di Yukawa (2)
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Esempio: Potenziale di Yukawa (3)
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Scattering fra Particelle
• Esempio considerato: interazione particella – potenziale
• Esempi piu’ realistici: interazione particella – particella
• Regole generali per collisioni non relativistiche:
• Conservazione/Non conservazione energia cinetica totale
– Scattering elastico/anelastico
• Conservazione quantita’ di moto totale
• Conservazione mom. angolare totale:
– Scattering: Stati iniziale e finale non hanno di solito mom.
angolare definito
– Decadimenti: Stati iniziale e finale hanno mom. angolare
definito
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Scattering Elastico vs Anelastico
• Per collisioni e decadimenti in approssimazione non
relativistica
• Scattering elastico:
– Lo stato interno di proiettile e bersaglio restano invariati
nella collisione
– Conservazione della massa
– Conservazione dell’energia totale (cinetica)
– Conservazione della quantita’ di moto totale
• Scattering anelastico:
– Lo stato interno di proiettile e/o bersaglio cambia nella
collisione
– Conservazione della massa
– Conservazione dell’energia totale (cinetica+potenziale)
– Conservazione della quantita’ di moto totale
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