fine
Questioni
sull’INFINITO
I numeri naturali
sono infiniti.
Anche i numeri razionali sono
infiniti.
… e in un segmento?
Beh, allora, se parliamo
d’infinito, in una retta ci
sono infiniti punti
fine
Attenzione.
Quando si
L’infinito
parla dell’infinito
é un campo
in cui si deveinentrare
matematica
con precauzione.
Moltioccorre
matematici
fare e
attenzione.
filosofi hanno
Leggiamo
disquisito che
su questo
cosa ne
soggetto.
pensava
Galileo Galilei
Discorsi e dimostrazioni
fine
matematiche, Giornata Prima
(1638)
Simplicio
Salviati
Qui nasce subito il dubbio, che mi pare insolubile:
ed è, che sendo noi sicuri trovarsi linee una
maggior dell'altra, tutta volta che amendue
contenghino punti infiniti bisogna confessare
trovarsi nel medesimo genere una cosa maggior
dell'infinito, perché la infinità de i punti della linea
maggiore eccederà l'infinità de i punti della minore.
Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito
mi par concetto da non poter esser capito in verun
modo.
Discorsi e dimostrazioni
fine
matematiche, Giornata Prima
(1638)
Simplicio
E
u
c
li
d
e
Salviati
Qui nasce subito il dubbio, che mi pare insolubile:
ed è, che sendo noi sicuri trovarsi linee una
maggior dell'altra, tutta volta che amendue
contenghino punti infiniti bisogna confessare
trovarsi nel medesimo genere una cosa maggior
dell'infinito, perché la infinità de i punti della linea
maggiore eccederà l'infinità de i punti della minore.
Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito
mi par concetto da non poter esser capito in verun
modo.
fine
Queste son di quelle difficoltà che derivano dal
discorrer che noi facciamo col nostro intelletto
finito intorno a gl'infiniti, dandogli quelli attributi
che noi diamo alle cose finite e terminate; il che
penso che sia inconveniente, perché stimo che
questi attributi di maggioranza, minorità ed
egualità non convenghino a gl'infiniti, de i quali
non si può dire, uno esser maggiore o minore o
eguale all'altro.
(…)
Discutendo su quanti sono i quadrati e le radici, rispetto a tutti i
numeri
fine
Queste son di quelle difficoltà che derivano dal
discorrer che noi facciamo col nostro intelletto
finito intorno a gl'infiniti, dandogli quelli attributi
che noi diamo alle cose finite e terminate; il che
penso che sia inconveniente, perché stimo che
questi attributi di maggioranza, minorità ed
egualità non convenghino a gl'infiniti, de i quali
non si può dire, uno esser maggiore o minore o
eguale all'altro.
(…)
Discutendo su quanti sono i quadrati e le radici, rispetto a tutti i
numeri
fine
Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si
può negare che elle non siano quante tutti i
numeri, (…)
e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser
assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior
parte non quadrati. (…)
e pur nel numero infinito, se concepir lo potessimo,
bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti
tutti i numeri insieme.
fine
Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si
può negare che elle non siano quante tutti i
numeri, (…)
e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser
assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior
parte non quadrati. (…)
e pur nel numero infinito, se concepir lo potessimo,
bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti
tutti i numeri insieme.
fine
Io non veggo che ad altra decisione si possa venire,
che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i
quadrati, infinite le loro radici, (…)
E però quando il Sig. Simplicio mi propone più
linee diseguali, e mi domanda come possa essere
che nelle maggiori non siano più punti che nelle
minori, io gli rispondo che non ve ne sono né più
né manco né altrettanti, ma in ciascheduna infiniti.
fine
Io non veggo che ad altra decisione si possa venire,
che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i
quadrati, infinite le loro radici, (…)
E però quando il Sig. Simplicio mi propone più
linee diseguali, e mi domanda come possa essere
che nelle maggiori non siano più punti che nelle
minori, io gli rispondo che non ve ne sono né più
né manco né altrettanti, ma in ciascheduna
infiniti.
fine
Ma cos’é l’infinito
in matematica?
Il tutto uguale ad
una parte?
I quadrati sono tanti
quanti i numeri?
fine
Sono stato io, Dedekind, a fine
ottocento a fornire la definizione
di infinito …
… era necessario dar una
definizione per evitare i paradossi
Richard Dedekind
fine
Un insieme S si dice infinito
se é equipotente a una sua
parte propria, altrimenti si
dice finito
equipotente
Richard Dedekind
fine
riprendiamo
il discorso
… e costruiamo
una di
Salviati « tanti
essere itra
corrispondenza
biunivoca
quadrati
quanti
i numeri
questi due
insiemi
…
insieme » e cerchiamo di capire
cosa intendeva esprimere …
con « i numeri insieme » si
riferiva ai numeri naturali
consideriamo allora l’insieme dei
numeri naturali N e l’insieme dei
qudrati dei numeri naturali,
QUAD
Richard Dedekind
fine
… provate voi con l’insieme dei
numeri naturali pari P ...
1
2
3
4
5
6
7
8
1
4
9
16 25 36 49 64 …
… gli insiemi N e QUAD sono
equipotenti … N è un insieme
infinito.
…
fine
… facciamo un altro esempio:
consideriamo l’insieme di tutte le
frazioni...
… costruiamo una tabella di
tutte le frazioni … come questa
E’ un’idea del mio collega Georg
Cantor
(primo metodo diagonale)
fine
… e iniziamo a mettere in fila le
frazioni … secondo un ordine
conveniente … in modo da non
saltarne nessuna ...
fine
1
3
4
10
11
21
22
36
2
5
9
12
20
23
35
38
6
8
13
19
24
34
39
7
14
18
25
15
17
26
32
16
27
31
42
28
30
29
37
Ogni volta che ritroviamo una
33
40
frazione ‘ equivalente ’ ad una
già considerata, la saltiamo.
41
Così, saltiamo
2 ; 4 ; 3 ; 2 ; eccetera
2 2 3 4 …………..
fine
1
3
4
10
11
21
22
36
2
5
9
12
20
23
35
38
6
8
13
19
24
34
39
7
14
18
25
33
40
15
17
26
32
41
16
27
31
42
28
30
29
37
… mantenendo sempre lo stesso
ordine ….
fine
11
33
44
22
5
89
56
78
13
67
14
14
18
910 10
11 17
21 18
22 27
36
16
20
23 26
35
15
19 19
24
34 29
39
12
25
25
33
11
15 13
17 20
26 24
32
41
12
16
27
21
28 23
30
22
29
31
42
40
38
28
37
fine
111
33

22
5
144 910 10
136 28
1
17
18
27
11
21
22
37
 2 3  
3
4
2
5
6
89
12
16
20
23 26
35
38
256 78 3 13 15
1
19 19
24
34 29
39 1
  45  
367 14 214
5
6
25
18 25
33
40
11
15 13
17 20
26 24
32
2
3
4 41 5
   67
12
5
2
16
27 4 31 423
21
28 23
30
Le frazioni sono quindi
1 ordinate
2
4
così.
   .......
5
3
1
  
22
29
3
5
7
8
7
5
fine
11
33
44
22
5
89
56
78
13
67
14
14
18
17
27
28
910 10
11
21 18
22
36stabilito
37
abbiamo
così
una
corrispondenza biunivoca tra N e
12 Q16
20 allora
23 26
35
38
…
l’insieme
Q è infinito.
15
19 19
24
25
11
15 13
17 20
26 24
32
12
16
27
21
28 23
30
22
29
31
42
25
33
34 29
39
40
… il procedimento seguito ci
assicura che nessuna frazione
41
può essere dimenticata … e
nell’ordinamento fatto non
possiamo inserire nessun’altra
nuova frazione
… meglio, l’insieme delle frazioni
è numerabile ...
Attenzione:
Naturalmente l’ordine in cui sono scritte le frazioni
è un ordine convenzionale!
non è il consueto ordinamento espresso dalla relazione
‘minore di’
<
La possibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca
tra N e Q può sembrare paradossale.
Infatti, date in Q due frazioni
a/b < c/d
Posso sempre trovare una frazione compresa tra esse.
Si può dimostrare facilmente che:
a/b < (a+c)/(b+d) < c/d
Questa proprietà si esprime dicendo che l’insieme Q
dei razionali è denso.
Questa proprietà è ovviamente falsa per l’insieme N dei
naturali: quale naturale posso inserire tra 2 e 3?
fine
Allora tutti gli insiemi
infiniti sono equipotenti
a N?
fine
la situazione è un po ’ più
complessa ...
Esistono insiemi infiniti non
equipotenti
Georg Cantor
ho dimostrato che l’insieme
N e l’insieme dei numeri
reali compresi tra 0 e 1 non
sono equipotenti
Vediamo questo metodo
(secondo metodo
diagonale)
fine
0,
0, Ciascuno di voi mi detterà
0, un numero decimale
0, compreso tra zero e uno.
0,
fine
0,
Scriverò le prime dieci
0, Ciascuno
di voi mi detterà
ma voi pensate
0, cifre,
un numero decimale
di andare
tra zero e uno.
0, compreso
avanti quanto volete.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
fine
0,4412034567….
fine
0,4412034567…..
0,
0,
0,
0,2650134210…..
0,
fine
0,4412034567…..
0,2650134210…..
0,
0,
0,1342500049….
0,
0,4412034567…..
0,2650134210…..
0,1342500049….
0,
0,
0,4444555320…
fine
0,4412034567…..
0,2650134210…..
0,1342500049….
0,4444555320…
0,
0,1234567890...
0,4444555320…
fine
0,4412034567…..
0,2650134210…..
0,1342500049….
0,4444555320…
0,1234567890...
fine
fine
0,4412034567…..
Ammettiamo ora di
0,2650134210…..
Ora, con
il vostro
aiuto,
avere
scritto
Eccetera
in questo
…...
modo
0,1342500049….
scriveròdecimali
un numero
tutti i numeri
che sicuramente
infiniti (compresi
tra 0 e 1)in sfugge
un certo
0,4444555320…
a questo
ordine,
sceltoordinamento.
da voi.
0,1234567890...
0,3
5
0,4412034567…..
ho scritto in blu
0,2650134210…..
una cifra diversa
3
0,1342500049….
da quella indicata
3
0,4444555320…
in rosso nella stessa
4….0,1234567890...
riga
fine
0,4412034567…..
Il numero scritto
0,2650134210…..
in blu
0,1342500049….
non compare tra quelli
0,4444555320…
che mi avete dettato.
0,1234567890...
Perché?
0,35334…
fine
0,4412034567…..
0,2650134210…..
0,1342500049….
0,4444555320…
0,1234567890...
0,35334…
fine
E’ chiaro?
Perché ha la prima
cifra diversa da quella del primo numero;
la seconda diversa da quella del secondo;
la terza diversa da quella del terzo;
eccetera ….
0,4412034567…..
Qualunque
sia l’ordine in cui
0,2650134210…..
voi
dettate i numeri,
0,1342500049….
potrò sempre – in questo modo –
0,4444555320…
trovarne
0,1234567890...
uno
che “sfugge” al
0,35334…
vostro elenco.
fine
fine
Quanto abbiamo detto si
riassume nella relazione 0
< 1
Ho deciso di indicare
il cardinale di N con 0
e
il cardinale di [0,1] con 1
cardinale
Georg Cantor
Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima
Qui nasce subito il dubbio, che mi pare insolubile: ed è, che sendo
noi sicuri trovarsi linee una maggior dell'altra, tutta volta che
amendue contenghino punti infiniti bisogna confessare trovarsi nel
medesimo genere una cosa maggior dell'infinito, perché la infinità
de i punti della linea maggiore eccederà la infinità de i punti della
minore. Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito mi par
concetto da non poter esser capito in verun modo.
Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi
facciamo col nostro intelletto finito intorno agl'infiniti, dandogli quelli
attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che
sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza,
minorità ed egualità non convenghino a gl'infiniti, de i quali non si
può dire, uno esser maggiore o minore o eguale all'altro. Per prova di
che già mi sovvenne un sì fatto discorso, il quale per più chiara
esplicazione proporrò per interrogazioni al Sig. Simplicio, che ha
mossa la difficoltà. Io suppongo che voi benissimo sappiate quali
sono i numeri quadrati, e quali i non quadrati.
Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima
So benissimo che il numero quadrato è quello che nasce dalla
moltiplicazione d'un altro numero in sé medesimo: e così il quattro,
il nove, etc., son numeri quadrati, nascendo quello dal dua, e
questo dal tre, in sé medesimi moltiplicati
Benissimo: e sapete ancora, che sì come i prodotti si dimandano
quadrati, i producenti, cioè quelli che si multiplicano, si chiamano
lati o radici; gli altri poi, che non nascono da numeri multiplicati in
sé stessi, non sono altrimenti quadrati. Onde se io ti dirò, i numeri
tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i
quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?
Non si può dir altrimenti.
Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può con
verità rispondere, loro esser tanti quante sono le proprie radici,
avvenga che ogni quadrato ha la sua radice, ogni radice il suo
quadrato, né quadrato alcuno ha più di una sola radice, né radice
alcuna più d'un quadrato solo.
Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima
Così sta.
Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che
elle non siano quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno
che non sia radice di qualche quadrato; e stante questo, converrà
dire che i numeri quadrati siano quanti tutti i numeri, poiché tanti
sono quante le lor radici, e radici sono tutti i numeri: e pur da
principio dicemmo, tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati,
essendo la maggior parte non quadrati. E pur tuttavia si va la
moltitudine de i quadrati sempre con maggior proporzione
diminuendo, quanto a maggior numeri si trapassa; perché sino a
cento vi sono dieci quadrati, che è quanto a dire la decima parte
esser quadrati; in dieci mila solo la centesima parte son quadrati, in
un millione solo la millesima: e pur nel numero infinito, se concepir
lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti tutti i
numeri insieme.
Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima
Che dunque si ha da determinare in questa occasione?
Sagredo
Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire,
infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici,
né la moltitudine de' quadrati esser minore di quella di tutti i
numeri, né questa maggior di quella, ed in ultima conclusione, gli
attributi di eguale maggiore e minore non aver luogo ne gl'infiniti,
ma solo nelle quantità terminate. E però quando il Sig. Simplicio mi
propone più linee diseguali, e mi domanda come possa essere che
nelle maggiori non siano più punti che nelle minori, io gli rispondo
che non ve ne sono né più né manco né altrettanti, ma in
ciascheduna infiniti.
G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.
Due insiemi M e N sono equipotenti se esiste
una corrispondenza biunivoca di M in N
Quando due insiemi sono equipotenti, di dice
che hanno lo stesso cardinale