Evoluzione Temporale in
Meccanica Quantistica
Sommario
• Richiami di Meccanica Quantistica
• Evoluzione temporale
• Rappresentazioni di Schroedinger e di Heisenberg
• Serie di Dyson
• Matrice S
• Probabilita’ di transizione
• Regola d’oro
• Fattore di spazio delle fasi
F. Bianchi
2
Ket, Bra, Operatori (1)
•
•
•
•
|a> ket, vettore di stato in spazio vettoriale complesso.
|a> + |b> = |c> somma di ket e’ un ket
c|a> =|a>c c numero complesso
|a> e c|a> rappresentano lo stesso stato fisico
• Un’osservabile A puo’ essere rappresentata da un operatore.
• In generale A|a> e’ diverso da c|a>
• Per gli autoket di A vale la proprieta’ A|a1> = c1|a1>,
A|a2>=c2|a2>,…
• L’insieme dei numeri ci e’ l’insieme degli autovalori di A
• Gli stati fisici corrispondenti agli autoket |ai> sono chiamati
autostati di A
• Gli autoket di un’osservabile A costituiscono una base in uno
spazio vettoriale:
– Un generico ket puo’ essere scritto come |b> = Sici|ai>
F. Bianchi
3
Ket, Bra, Operatori (2)
• Spazio dei bra <a|, spazio vettoriale duale dello spazio dei
ket
– ca|a> + cb|b>  c*a<a| + c*b<b|
• Prodotto interno: <b|a>
– <b|a> = <a|b>*
– <a|a> >= 0
– |a> e |b> ortogonali se <a|b> = 0
• X|a> <a|X+
• X+ e’ operatore aggiunto di X (in rappresentazione
matriciale, l’aggiunto di X si ottiene sostituendo Xij con
X*ji)
• Operatori Hermitiani: X=X+
– (XY)+ = Y+X+
– Autovalori di un operatore Hermitiano sono reali
– Autoket di un operatore hermitiano sono ortogonali e possono
essere normalizzati: <ai|aj> = dij. Formano una base
Bianchi
4
– Relazione di completezza:F. S
i|ai><ai| = 1  Operatore identita’
Rappresentazione Matriciale
• X=Si Sj|ai><ai| X|aj ><aj|
• Ci sono N2 numeri della forma <ai| X|aj>
• Possono essere disposti in una matrice quadrata (i indice di riga,
j di colonna)
• Gli |ai> siano una base. Allora:
  a1 | b  


| b    a2 | b  
 ... 


  a1 | c  


| c    a2 | c  
 ... 


 c | ( c | a1 ,  c | a2 ,...) 
( a1 | c  *,  a2 | c  *,...)
  a1 | b  


 c | b  ( a1 | c  *,  a2 | c  *,...)  a2 | b  
 ... 


F. Bianchi
5
Misura in MQ
• “Una misura fa sempre saltare il sistema in un
autostato della variabile dinamica che si misura”
(P.A.M. Dirac)
– Prima della misura: |b> = Sici|ai>
– La misura dell’osservabile A fa saltare il sistema in |ai>
uno degli autostati di A
• Eccezione: quando il sistema si trova gia’ in un autostato di A
– Il risultato di una misura e’ uno degli autovalori di A.
– Probabilita’ che il sistema salti nell’autostato |ai> e’
|<ai|b>|2
• Valore di aspettazione di A in uno stato |b>:
<b| X|b>=<A>
– Se ai e’ l’autovalore dell’autostato|ai>
 <A> = Si ai |<ai|b>|2
F. Bianchi
6
Osservabili Compatibili,
Operatori Unitari
• Quando i corrispondenti operatori commutano: [A,B] = 0
– Sono diagonalizzabili contemporaneamente
– Hanno autostati comuni: |ai,bi>
• A|ai,bi> = ai|ai,bi>
• B|ai,bi> = bi|ai,bi>
• Autovalore degenere: quando a diversi autostati di un
operatore corrisponde lo stesso autovalore.
• Date due basi di ket ortonormali e complete |ai> e |bi>,
esiste un operatore unitario U (UU+=U+U=1) tale che:
– |bi> = U|ai>
– Uij=<ai|U|aj> = <ai|bj>
– X’ =U+XU dove X e’ la rappresentazione matriciale di un
operatore nella base |ai> e X’ e’ la sua rappresentazione nella
base |bi>,
F. Bianchi
7
Evoluzione Temporale in MQ (1)
• Tempo e’ parametro (e non un operatore)
• A t= t0 stato del sistema e’ |a>
• Ad un tempo t>t0 lo stato del sistema e’|a,t0;t>
• limt->t0 |a,t0;t> = |a,t0;t0>=|a>=|a,t0>
• Vogliamo studiare l’evoluzione temporale |a>  |a,t0;t>
–
–
–
–
Introduciamo l’operatore di evoluzione temporale U(t,t0)
|a,t0;t> = U(t,t0) |a,t0>
U+U=1
U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0)  proprieta’ di composizione
• Operatore infinitesimo di evoluzione temporale:
–
–
–
–
–
|a,t0;t0+dt> = U(t0+dt,t0) |a,t0>
lim dt->0 U(t0+dt,t0) = 1
Tutte richieste sono soddisfatte con U(t0+dt,t0) = 1-iWdt; W+=W
Identificando W con l’Hamiltoniana H: W=H/h:
U(t0+dt,t0) = 1-i(Hdt)/h
F. Bianchi
8
Evoluzione Temporale in MQ (2)
•
Usando la proprieta’ di composizione:
 iHdt 
U (t  dt , t0 )  U (t  dt , t )U (t , t0 )  1 
U (t , t0 ) 
 

H

 U (t  dt , t0 )  U (t , t0 )  i dtU (t , t0 )  i U (t , t0 )  HU (t , t0 )

t
• Questa e’ l’equazione di Schroedinger per l’operatore di evoluzione
temporale Moltiplicando ambo i membri per il ket di stato |a,t0>:
i


U (t , t0 ) | a, t0  HU (t , t0 ) | a, t0  i | a, t0 ; t  H | a, t0 ; t 
t
t
•
Che e’ l’equazione di Schroedinger per un ket di stato.
•
Se viene dato U(t,t0) e sappiamo come agisce su |a,t0>, non abbiamo
bisogno di occuparci dell’equazione di Schroedinger per i ket di stato,
basta applicare U(t,t0) a |a,t0> per ottenere |a,t0;t>.
Dobbiamo trovare soluzioni dell’equazione di Schroedinger per
U(t,t0) con la condizione iniziale U(t0,t0)=1
F. Bianchi
9
Evoluzione Temporale in MQ (3)
• Equazione da
risolvere:
• Tre casi:
F. Bianchi
10
Evoluzione Temporale in MQ (4)
• Occupiamoci del caso 1 (H non dipende dal tempo). Per sapere
come agisce U(t,t=0) su un generico ket, dobbiamo capire come
agisce sui ket di una base.
• Scegliamo come base gli autoket di un operatore A tale che
[A,H]=0
–  autoket di A sono autoket di H: H|a’>=Ea’|a’>
  iE a 't 
  iHt 
  iHt 
exp 

S
S
|
a
'
'

a
'
'
|
exp
|
a
'

a
'
|

S
|
a
'

exp

  a'|



a ' a ''
a'
  
  
  
• Se e’ nota l’espansione del ket iniziale |b>:
| b, t  0  S a ' | a'  a' | b  S a 'ca ' | a' 
  iE a 't 
  iHt 
| b, t  0; t  exp 

 | b, t  0  S a ' | a'  a' | b  exp 
  
  
  iE a 't  N.B.: Le fasi relative delle diverse componenti
ca ' (t )  ca ' (t  0) exp 



 Cambiano nel tempo perche’ le frequenze di
oscillazioni sono diverse
F. Bianchi
11
Evoluzione Temporale in MQ (5)
• Caso speciale:
  iE a't 
| b, t  0 | a ' | b, t  0; t | a '  exp 

  
• Se il sistema e’ in un autostato di A ed H rimane in
tale autostato
• Se [A,H]=0 allora A e’ una costante del moto
• Si puo’ facilmente generalizzare al caso di diverse
osservabili compatibili tra di loro e con H.
– E’ fondamentale trovare un insieme di osservabili compatibili
fra loro e con H
F. Bianchi
12
Evoluzione Temporale in MQ (6)
•
Consideriamo ora una osservabile B che non commuta
necessariamente con A od H e calcoliamone il valor medio in un
autostato di A
| a' , t  0; t  U (t ,0) | a' 
 B  ( a' | U  (t ,0)) B(U (t ,0) | a' ) 
 iE t 
 iE t 
 a' | exp  a '  B exp   a '  | a'  a' | B | a' 
  
  
•
<B> e’ indipendente dal tempo  autostati dell’energia sono
stazionari
•
Calcoliamo <B> in uno stato non stazionario. Se lo stato non e’
stazionario, lo si puo’ esprimere come una sovrapposizione di
autostati dell’energia.
| b, t  0  S a 'ca ' | a ' 


 iE t   
 iE t 
 B   S a 'ca*'  a ' | exp  a '   B S a ''ca '' exp   a ''  | a ' '   
 
   



 i ( Ea ''  Ea ' )t 
 S a 'S a ''ca*'ca ''  a ' | B | a ' '  exp  

F.
Bianchi



13
Rappresentazione di Schroedinger
• Quella vista finora:
• Gli stati evolvono nel tempo, gli operatori sono stazionari
| a, t  0; t  U (t ,0) | a 

U (t , t  0) | a, t  0  HU (t , t  0) | a, t  0 
t
  iHt 
| a, t  0; t  exp 
 | a, t  0 
  
 B  ( a | U  (t ,0)) B(U (t ,0) | a ) 


 iHt   
 iHt 
   a | exp 
  B exp  
 | a  
   
  


F. Bianchi
Valore di aspettazione
14
Rappresentazione di Heisenberg
• Gli stati restano costanti
• Le osservabili (gli operatori) evolvono nel tempo
| a, t  0; t | a, t  0 
B(t )  U  (t , t  0) B(t  0)U (t , t  0)
 iHt 
  iHt 
 B(t )  exp 
B
(
t

0
)
exp



  
  
dB(t )
Equazione del moto di Heisemberg
i
 [ B(t ), H ]
dt
 iHt 
  iHt 
 a | B(t ) | a  a | exp 
 B(t  0) exp 
|a 
  
  
Valore di aspettazione
Identico nelle due rappresentazioni
F. Bianchi
15
Momento Magnetico in Campo Costante(1)
F. Bianchi
16
Momento Magnetico in Campo Costante(2)
F. Bianchi
17
Momento Magnetico in Campo Costante(3)
F. Bianchi
18
Rappresentazione d’Interazione(1)
• Dovuta a Dirac
• Utile quando H =H0 + H’(t)
– H0 termine libero
– V(t) termine d’interazione eventualmente dipendente dal
tempo
• Intermedia tra la rappresentazione di Heisenberg e quella
di Schroedinger
– Osservabili variano nel tempo: evoluzione determinata da H0
AI  e
iH 0 t / 
As e
 iH 0 t / 
dAI
1


[ AI , H 0 ]
dt
i
– Stati variano nel tempo: evoluzione determinata dal termine
d’interazione
| a, t  0; t  I  e
iH 0t / 

| a, t  0; t  S  i | a, t  0, t  I  H ' I | a, t  0, t  I
F. Bianchi t
19
Rappresentazione d’Interazione(2)
• Supponiamo che:
H =H0 + H’(t)
H0|n> = En|n>
• Consideriamo un ket arbitrario, che all’istante t=0 e’ dato
da:
|a> = Sncn(0)|n>
• Il nostro problema e’ determinare i cn(t) tali che:
|a,t=0;t>= Sncn(t)exp(-iEnt/h)|n>
• Attenzione alla fattorizzazione della dipendenza
temporale:
– Il fattore exp(-iEnt/h) sarebbe presente anche in assenza di
H’(t)
– La dipendenza dal tempo di cn(t) e’ dovuta a H’(t). In assenza
di H’(t)  cn(t)= cn(0)
F. Bianchi
20
Rappresentazione d’Interazione(3)
| a, t  0, t  I  S n cn (t ) | n 
Sviluppo di un ket generico
nella base di autostati di H0

i | a, t  0, t  I  H ' I | a, t  0, t  I
t
Moltiplichiamo ambo i membri
dell’equaz. di Sch. per i ket per <n|
ed usando la relazione di completezza

 i  n | a, t  0, t  I  S m  n | H ' I | m  m | a, t  0, t  I 
t
 S m  n | e iH 0t /  H ' (t )e iH0t /  | m  m | a, t  0, t  I 
 S m H 'nm e i ( En  Em ) t /   m | a, t  0, t  I
cn (t )  n | a, t  0, t  I
Definizione dei cn(t)
d
 i cn (t )  S m H 'nm e i ( En  Em ) t /F. Bianchi
cm (t )
dt
Equazione matriciale !!!
21
Serie di Dyson(1)
• Soluzione di equazione differenziale per cn(t) in
generale complicata  approccio perturbativo
• Lavoriamo con l’operatore di evoluzione temporale
UI(t,t0) definito da:
|a,t0;t>I=UI(t,t0)|a,t0;t0>I
• Che quindi soddisfa all’equaz:
d
i U I (t , t0 )  H 'I (t )U I (t , t0 )
dt
• Con la condizione iniziale U(t0,t0)=1
F. Bianchi
22
Serie di Dyson(2)
• Equaz differenziale + condiz iniziale equivalente
a equazione integrale:
t
1
U I (t , t0 )  1   H 'I (t ' )U I (t ' , t0 )dt '
h t0
• Soluzione iterativa:
t'


i
i
U I (t , t0 )  1   H 'I (t ' ) 1   H 'I (t ' ' )U I (t ' ' , t0 )dt ' 'dt ' 
h t0
 h t0

t
i
 i
 1   H 'I (t ' )dt '  
h t0
 h
t
 i
 ...    
 h
2 t
t ''
 dt '  dt ' 'H '
t0
n t
t ''
t(n)
t0
t0
t0
I
(t ' ) H 'I (t ' ' ) 
t0
(n)
(n)
dt
'
dt
'
'
...

dt
H
(
t
'
)
H
(
t
'
'
)
...
H
'
(
t
)
I
I
I
 

F. Bianchi
23
Probabilita’ di Transizione (1)
•
Relazione tra UI(t,t0) ed U(t,t0) (nella rapp di Schroedinger)
| a, t0  0; t  I  eiH0t /  | a, t0  0; t  S  eiH0t / U (t , t0 , ) | a, t0 ; t0  S 
 eiH0t / U (t , t0 , )e iH0t0 /  | a, t0 ; t0  I
 U I (t , t0 , )  eiH0t / U (t , t0 , )e iH0t0 / 
•
Elemento di matrice di UI(t,t0) tra autostati di H0:
 f | U I (t , t0 , ) | i  e
i ( E f t  Ei t 0 ) / 
 f | U (t , t0 , ) | i 
•
 Ampiezza di transizione: diversa nella rapp di Interazione ed in quella
di Schroedinger
•
Ma la probabilita’ di transizione:
| f | U I (t , t0 , ) | i |2 | f | U (t , t0 , ) | i |2
•
E’ la stessa ! (N.B.: solo tra autostati di H0)
F. Bianchi
24
Probabilita’ di Transizione (2)
• Supponiamo che a t =0 il sistema sia in un autostato
di H0, |i>:
| i, t0  0; t  U I (t ,0) | i  S n | n  n | U I (t ,0) | i 
• Confrontando con:
| i, t  0, t  I  S n cn (t ) | n 
• Si vede che:
cn (t )  n | U I (t ,0) | i 
• Anche i cn(t) possono essere sviluppati in modo
perturbativo:
cn (t )  cn(0) (t )  cn(1) (t )  cn( 2) (t )  ...
F. Bianchi
25
Probabilita’ di Transizione (3)
• Confrontando con lo sviluppo perturbativo di UI(t,0):
cn( 0) (t ) d ni
t
t
i
i
cn(1) (t )    H 'I (t ' )dt '    ei ( En  Ei )t '/  H 'ni (t ' )dt '
h t0
h t0
 i
( 2)
cn (t )    
 h
2
t
t ''
m t0
t0
i ( En  Em ) t ' / 
i ( E m  Ei ) t '' / 
dt
'
dt
'
'
e
H
'
(
t
'
)
e
H 'mi (t ' ' )
 
nm
• Ampiezza di transizione all’ordine j da|i> ad|n>: cn(j)(t)
– Termine di ordine 0: nessuna interazione
– La Sm nel termine di ordine 2 ha il senso di somma sui possibili stati
intermedi
• Probabilita’ di transizione da |i> ad |n> ( stati diversi fra loro!):
P(i  n) | cn(1) (t )  cn( 2) (t )  ... |2
F. Bianchi
26
Intuitivamente….
F. Bianchi
27
Perturbazione Costante (1)
H’ = costante
Sviluppo dell’ampiezza di transizione |i> |f>:
F. Bianchi
28
Perturbazione Costante (2)
• Termine ordine zero: evoluzione libera dello stato iniziale da t0 a
t senza scambio energia con interazione
• Termine primo ordine:evoluzione libera dello stato iniziale da t0 a
t1 in cui avviene scambio energia con interazione che lascia il
sistema nello stato finale che evolve liberamente da t1 a t
• Termine secondo ordine: evoluzione libera dello stato iniziale da
t0 a t1 in cui avviene scambio energia con interazione che lascia il
sistema in uno stato intermedio |a> che evolve liberamente da t1
a t2. Nell’istante t2 c’e’ un ulteriore scambio energia con
interazione che lascia il sistema nello stato finale che evolve
liberamente da t2 a t.
– Oltre ad integrare su tutti i possibili istanti t1 e t2 occorre anche
sommare su tutti i possibili stati intermedi.
• E cosi’ via per tuitti gli altri ordini perturbativi….
• Ad ogni ordine il sistema evolve liberamente con H0 fra i vertici
dove interagisce con la perturbazione H’
F. Bianchi
29
Matrice S (1)
• Finora: ampiezza di transizione per intervallo di tempo
finito
• Per studio di problemi di scattering e’ piu’ interessante
l’estensione ad intervallo di tempo infinito. Introduciamo la
matrice di Scattering:
– Scambio di sommatoria e limite forza un po’ la matematica….
• Il sistema si considera non interagente con la
perturbazione a tempi lunghi nel passato e nel futuro.
• Gli stati asintotici |i> ed |f> sono autostati di H0
F. Bianchi
30
Matrice S (2)
Somma su stati intermedi include integrazione
su gradi di liberta’ continui31
F. Bianchi
Matrice T
• Se la serie si sapesse sommare, si potrebbe scrivere:
• Dove T e’ la matrice di transizione, il cui sviluppo perturbativo e’:
• Gli elementi di T, tra stati imperturbati, rappresentano la somma
(in principio infinita) delle ampiezze per lo scambio di 1,2,..n
quanti fra sistema imperturbato e perturbazione
• Interpretazione:negli ordini superiori al primo compaiono stati
intermedi (virtuali), che corrispondono a transizioni interne al
processo in cui il sistema scambia energia con la perturbazione
– N.B: nelle interazioni intermedie il sistema non conserva l’energia
che viene invece conservata globalmente grazie aalla d
– Si puo’ far risalire alla relazione di indeterminazione tempo-energia.
F. Bianchi
32
Probabilita’ di Transizione (1)
F. Bianchi
33
Probabilita’ di Transizione (2)
• Probabilita’ di transizione al primo ordine tra gli autostati
|i> ed |f> di H0:
• Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo:
F. Bianchi
34
Probabilita’ di Transizione (3)
• Prob. di transizione per unita’ di tempo, al II ordine
perturbativo:
• Quando e’ importante considerare ordini perturbativi > 1 ?
– Quando l’elemento di matrice al I ordine e’ = 0
• (P.es. per motivi di simmetria)
– Quando e’ necessaria elevata accuratezza
• N.B: Tutti gli elementi di matrice di processi relativistici
fra particelle reali sono come minimo del II ordine; quelli
del I ordine non conservano E,p
F. Bianchi
35
Una Rappresentazione della d
F. Bianchi
36
Limiti Sbarazzini
F. Bianchi
37
Commenti sulle Probabilita’ di Transizione
• Finora: transizione tra stati |i> ed |f> specificati solo dalle
energie
• In generale fissare Ef non fissa univocamente lo stato finale:
esiste una molteplicita’ di stati finali (degeneri) corrispondenti
ad una data energia
– Questa molteplicita’ e’ funzione dell’energia.
• Per una data Ef si puo’ determinare la densita’ degli stati finali
per intervallo di energia
• In pratica siamo interessati alla probabilita’ di transizione verso
un gruppo di stati tutti alla energia Ef
– Occorre sommare wfi su tutti gli stati finali che si considerano.
– Normalmente si puo’ approssimare la somma con un integrale.
F. Bianchi
38
Regola d’Oro N. 2
•
Se gli stati finali costituiscono un continuo:
Prob. (infinitesima) di transizione verso un “intervallo (infinitesimo) di
stati”
Al I ordine: regola d’oro n. 2 (Dirac, Fermi):
•
Nel caso di transizioni verso lo spettro continuo la d di fatto scompare
•
dn/dEf :densita' di stati finali/Intervallo di energia; Fattore di spazio
delle fasi
– Fattore puramente cinematico (non dinamico) caratteristico dello
stato finale
– Incremento del numero di stati finali accessibili al sistema per
incremento unitario dell’energia disponibile
•
•
F. Bianchi
39
Fattore di Spazio delle Fasi(1)
Esempio 1:
F. Bianchi
40
Fattore di Spazio delle Fasi(2)
Esempio 2:
F. Bianchi
41
Fattore di Spazio delle Fasi(3)
• Esempio 3:
• Due particelle libere senza vincoli tra gli impulsi
• Quindi:
F. Bianchi
42
Atomo d’Idrogeno in Condensatore (1)
• Atomo di H, nello stato fondamentale in
condensatore piano collegato a generatore
di corrente alternata di frequenza w
• Generatore acceso a t= 0 e spento a t=t0
• EI (energia ionizzazione)
• Hamiltoniano d’interazione:
• Due casi: hw<EI e hw>EI
F. Bianchi
43
Atomo d’Idrogeno in Condensatore (2)
• Primo caso: hw<EI
• Atomo non viene ionizzato, possiamo calcolare ampiezza di
transizione fra stato fondamentale ed uno degli stati eccitati
(insieme discreto):
• Da cui:
F. Bianchi
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Atomo d’Idrogeno in Condensatore (3)
• Se Ef>Ei, solo il secondo termine e’ importante e la
probabilita’ di transizione diventa:
• La probabilita’ di transizione oscilla nel tempo in funzione
della durata della perturbazione con la frequenza di
battimento (differenza fra frequenza della perturbazione
e frequenza naturale della transizione)
F. Bianchi
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Atomo d’Idrogeno in Condensatore (4)
• Secondo caso: hw>EI
• L’atomo si ionizza e lo stato finale appartiene al continuo.
• Probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati:
• Poiche’ (slide 40):
• Ne segue:
F. Bianchi
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Atomo d’Idrogeno in Condensatore (5)
• Alcune considerazioni:
– Il volume di quantizzazione L3 si cancella con i fattori di
normalizzazione L3/2 delle funzioni d’onda
– Per avere probabilita’ di transizione finita occorre
integrare su range finito di energia ed angolo solido
dell’elettrone
• Trattiamo l’elemento di matrice come costante:
F. Bianchi
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