INTRODUZIONE
PROBLEMA PRINCIPALE
EUCLIDE
CONCLUSIONE
PAPPO
APOLLONIO
CONCLUSIONE
CONCLUSIONE
FINALE
CONCLUSIONE
La risoluzione dei problemi della geometria non è
sempre stata possibile, anche se gli antichi si
sono sempre impegnati ed affaticati a scrivere
libri molto voluminosi.
Le 4 figure sotto riportate sono necessarie
per la costruzione e la risoluzione dei problemi
della Geometria elementare.
INTRODUZIONE
PROBLEMA PRINCIPALE
EUCLIDE
CONCLUSIONE
PAPPO
APOLLONIO
CONCLUSIONE
CONCLUSIONE
FINALE
CONCLUSIONE
Intorno al 300 a.c. Euclide inizia a formulare vari
postulati, che prenderanno il nome di Geometria
Euclidea. Questi postulati, ma soprattutto il 5°,
sono stati ripresi da vari matematici (tra i quali
Pappo e Apollonio) e da ulteriori studi sono nati
altri tipi di geometria che negano il postulato in
questione.
Nel 5° postulato di Euclide è detto che data una
retta e un punto ad essa esterna passa una ed
una sola retta parallela;
Nel postulato della Geometria Iperbolica è detto
che dato un punto ed una retta passante per
quel punto passano infinite rette parallele;
Nel postulato della Geometria Sferica è detto
che dato un punto e una retta passante per
questo punto non passa nessuna retta ad essa
parallela.
INTRODUZIONE
PROBLEMA PRINCIPALE
EUCLIDE
CONCLUSIONE
PAPPO
APOLLONIO
CONCLUSIONE
CONCLUSIONE
FINALE
CONCLUSIONE
Il problema che espone Euclide consiste nel fatto
che secondo lui si è verificato un errore nella
traduzione sottostante operata dal testo di Pappo:
“Dei luoghi a più di quattro linee che, non sono
più linee note, ma semplicemente linee, gli antichi
avrebbero immaginato una di cui avrebbero
dimostrato l’utilità. Tale linea, pur non essendo la
prima, si sarebbe tuttavia presentata facilmente.”
In realtà Pappo dice esattamente il contrario,
ovvero:
“Delle linee di cui si parla precedentemente,
nessuna era stata costruita e usata, neppure la
prima.”
INTRODUZIONE
PROBLEMA PRINCIPALE
EUCLIDE
CONCLUSIONE
PAPPO
APOLLONIO
CONCLUSIONE
CONCLUSIONE
FINALE
CONCLUSIONE
Dal problema di Pappo, Apollonio deduce che
debba essere nota e tracciata la linea sulla quale
tutti i punti debbono giacere.
Quando il problema è posto per:
• 3, 4, 5 linee, è sempre possibile trovare tutti i
punti cercati mediante la Geometria elementare,
tranne per il caso in cui le cinque linee siano tutte
parallele fra loro;
• 6, 7, 8, 9 linee, è sempre possibile trovare tutti i
punti cercati mediante la Geometria dei solidi,
ovvero mediante le sezioni coniche, tranne per il
caso in cui le nove linee siano tutte parallele fra
loro;
INTRODUZIONE
PROBLEMA PRINCIPALE
EUCLIDE
CONCLUSIONE
PAPPO
APOLLONIO
CONCLUSIONE
CONCLUSIONE
FINALE
CONCLUSIONE
A Pappo è stato consegnato il seguente
problema:
“Date 2n rette trovare il luogo di un punto tale che
il prodotto delle sue distanze a n di queste rette
sia in un rapporto determinato con il prodotto delle
sue distanze a n altre”.
In seguito gli è stato chiesto di generalizzare tale
problema:
se invece di due rette se ne trattano tre, qual’è
l’insieme dei punti tali che, il prodotto della loro
distanza da due rette, stia al quadrato della
distanza dalla terza retta in un rapporto dato?
Quante siano le rette non importa, se da un punto
si conducono a n rette date per posizione altre
rette ad angoli dati, basti sapere il rapporto delle
figure comprese tra le rette, che il punto si troverà
su di una retta data per posizione.
INTRODUZIONE
PROBLEMA PRINCIPALE
EUCLIDE
CONCLUSIONE
PAPPO
APOLLONIO
CONCLUSIONE
CONCLUSIONE
FINALE
CONCLUSIONE
Cartesio ci insegna come risolvere i problemi
della geometria. Si può fare in modo che
l’equazione della retta non arriva al quadratocubo e conseguentemente si può risolvere
mediante una linea di un solo grado superiore
alle sezioni coniche.
APPROFONDIMENTI
GEOMETRIA NON EUCLIDEA
GEOMETRIA IPERBOLICA ED I MODELLI DI KLEIN
GEOMETRIA ELLITTICA
Un altro matematico che provò a sostituire il 5°
postulato di Euclide con un suo assioma fu
Nicolaj Lobacevskij, un matematico russo che
visse intorno al 1500.
L’assioma da egli formulato è il seguente:
“per un punto passano due rette parallele a una
retta data”.
Qui di seguito è riportato il ragionamento che fece il
matematico in questione:
“Se tracciamo alcune rette uscenti dal punto P, alcune
incontreranno la retta r, come le rette s e s', altre,
come le rette n e n', invece non intersecano la retta
data. Se l'angolo che la retta tracciata per P forma con
PH è di poco diverso da un angolo retto, non siamo
materialmente in grado di verificare se le rette si
incontreranno veramente. Ciò equivale a dire che per
P passano rette che intersecano la retta r, che
chiameremo secanti, e rette che non intersecano r,
che chiameremo non secanti.
Le due rette p e p', giacenti in semipiani opposti
rispetto a PH, vengono chiamate le parallele alla retta
r passanti per P.”
Nel 1829 viene confermata la geometria di
Lobacevskij che viene definita “Geometria non
Euclidea”.
APPROFONDIMENTI
GEOMETRIA NON EUCLIDEA
GEOMETRIA IPERBOLICA ED I MODELLI DI KLEIN
GEOMETRIA ELLITTICA
&
La geometria iperbolica è un ulteriore geometria
che contraddice il 5° postulato di Euclide. La
geometria in questione dice che:
“per un punto passano due parallele ad una
retta data”.
Klein è quasi d’accordo con Euclide tranne
quando quest’ultimo tratta delle rette parallele.
Questi sono i tre assiomi di Klein:
Il "piano" corrisponde ai punti interni alla circonferenza γ; P è
il generico punto del piano; la corda AB, privata degli estremi,
corrisponde a una "retta".
La parte di "retta" RS è un "segmento"; PQ (Q escluso) è una
"semiretta"; la "retta" AB suddivide il "piano" in due "semipiani".
Per il punto P passano "rette" che intersecano la "retta" AB
(per es. la "retta" azzurra in figura) e "rette" che non la
intersecano (per es. quelle in verde). Le due "rette" in rosso,
che separano le "rette" che intersecano AB da quelle che
non intersecano, sono le parallele ad AB passanti per P.
APPROFONDIMENTI
GEOMETRIA NON EUCLIDEA
GEOMETRIA IPERBOLICA ED I MODELLI DI KLEIN
GEOMETRIA ELLITTICA
Il matematico tedesco Riemann
formulò un ennesimo assioma che
nega la visone di Euclide.
Il suo assioma dice che:
“per un punto non passa alcuna
parallela ad una retta data”.
Questo è un tipo di geometria che si
può costruire considerando la
superficie sferica.
Ovviamente in questo modello non esistono "rette" parallele poiché tutte le
circonferenze massime si intersecano.
Il triangolo ABC in figura è formato dalle "rette" a, b, c e giace sulla superficie
sferica.
Ci sono alcune differenze importanti tra la geometria Euclidea e quella
Ellittica.
Le differenze sono le seguenti:
la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di
1angolo piatto e minore di 3 angoli piatti;
tutte le perpendicolari ad una "retta" passano per una stessa coppia di punti
diametralmente opposti;
le "rette" della geometria sferica hanno lunghezza 2πr , mentre quelle della
geometria euclidea sono infinite;
sulla superficie sferica non esistono triangoli simili, infatti se gli angoli sono
congruenti necessariamente sono congruenti i lati opposti e quindi i triangoli.