PROGETTO
“ LAUREE SCIENTIFICHE ”
Anno 2006
MATEMATICA SENZA NUMERI
SITUAZIONE
STIMOLO
STORIA
MATEMATICA
LOGICA
APPLICAZIONI
LINGUAGGIO
INTRODUZIONE
• STIMOLI
CORRETTEZZA
DI UN
RAGIONAMENTO
• Se ci sono macchie di rossetto, allora
l’assassino è una donna.
• Non ci sono macchie di rossetto.
• L’assassino non è una donna.
Abbiamo detto che era GIUSTA, ma era SBAGLIATA.
• Se marco beve vino, allora si ubriaca.
• Marco non beve vino.
• Marco non si ubriaca.
Abbiamo detto che era SBAGLIATA, ed infatti era
SBAGLIATA.
CORRETTEZZA DI UN
RAGIONAMENTO
• Se vado a Roma, allora vedrò il Colosseo.
• Non vedrò il Colosseo.
• Non vado a Roma.
Abbiamo detto che era SBAGLIATA, ma era GIUSTA.
• Se Gianni non ha il passaporto, allora non va
in Russia.
• Gianni va in Russia.
• Gianni ha il passaporto.
Abbiamo detto che era GIUSTA, ed era GIUSTA.
REGOLA
Abbiamo estrapolato la regola per capire
quando c’è correttezza di ragionamento e
quando non c’è.
• GIUSTA: se (p → q) → (-q → -p)
Se neghi la conseguenza, neghi la premessa.
• SBAGLIATA: se (p → q) → (-p → -q)
Se neghi la premessa, non neghi
necessariamente la conseguenza.
LINGUAGGIO NATURALE
E LINGUAGGIO MATEMATICO
ES. CORRETTEZZA DEL RAGIONAMENTO:
1. Se Marco beve vino, allora si ubriaca. p → q
-p
2. Marco non beve vino.
-q
3. Marco non si ubriaca.
1. Se Marco beve vino, allora si ubriaca.
2. Marco non si ubriaca.
3. Marco non beve vino.
sbagliata
p→q
-q
-p
corretta
LINGUAGGIO NATURALE
E LINGUAGGIO MATEMATICO
• Il Linguaggio Naturale è la lingua parlata che
usiamo ogni giorno.
• Il Linguaggio Matematico è una formalizzazione
del linguaggio naturale per evitare ambiguità.
ES. AMBIGUITA’:
1. Sono vivo e vegeto.
2. Sono vivo, e vegeto.
LINGUAGGIO NATURALE
E LINGUAGGIO MATEMATICO
• La Sintassi è la parte della grammatica che tratta
dell'organizzazione delle parole in unità superiori e dei
loro rapporti reciproci.
• La Semantica è lo studio dei significati dei segni
linguistici, cioè delle parole, espressioni e frasi. La
semantica indaga che cosa sono i segni linguistici e
come acquistano la proprietà di trasmettere i
significati.
1. Le piante sono di colore verde
2. I funghi sono piante
3. I funghi sono verdi
LINGUAGGIO NATURALE
E LINGUAGGIO MATEMATICO
La sintassi ha rapporti stretti con la semantica:
esistono relazioni fra il lessico e le regole di
composizione delle parole.
Vi è differenza tra correttezza
sintattica e verità.
“Il tavolo mangia l'albicocca"
STORIA
“La logica è la disciplina che studia
le forme del ragionamento corretto”
• ARISTOTELE
• BACONE
• CARTESIO
• LEIBNIZ
• BOOLE
• DE MORGAN
classificazione
metodo deduttivo
evidenza intuitiva - deduzione
esigenza di un calcolo logico
logica matematica
logica nella matematica
LOGICA MATEMATICA
• LOGICA PROPOSIZIONALE
• LOGICA DEI PREDICATI
LA LOGICA
La Logica si occupa della formalizzazione del
linguaggio naturale e della costruzione di
calcoli capaci di garantire ragionamenti
rigorosi e non intuitivi.
LOGICA PROPOSIZIONALE
ENUNCIATI E CONNETTIVI LOGICI:
• Un enunciato è una configurazione linguistica
che può essere vera o falsa e non entrambi
contemporaneamente.
• I connettivi logici sono elementi grammaticali
che collegano tra loro i vari enunciati secondo
precise regole di verità
→
‫ﮞ‬
‫( ﮞ‬disgiunzione)
(congiunzione) - (negazione)
(implicazione)
↔ (coimplicazione)
LOGICA PROPOSIZIONALE
I CONNETTIVI LOGICI SONO:
‫ = ﮞ‬disgiunzione
p ‫ ﮞ‬q è falsa se e solo se p e q sono false
‫ﮞ‬
p
- = negazione
→ = implicazione
‫ﮞ‬
= congiunzione
q è vera se e solo se sono vere p e q
-p è vera se e solo se p è falsa (e viceversa)
p → q è falsa se e solo se p è vera e q è falsa
↔ = coimplicazione p ↔ q è vera se e solo se p e q sono
entrambi vere o entrambi false
LOGICA PROPOSIZIONALE
TAVOLA DI VERITÁ:
Or
Not
And
q p →q p↔ q
p
q
p‫ﮞ‬q
-p
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
‫ﮟ‬
p
LOGICA PROPOSIZIONALE
TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI:
• Si parla di Tautologia, se una forma enunciativa
assume sempre il valore di verità “vero”
indipendentemente dai valori di verità degli enunciati
semplici.
p‫ﮞ‬-p
• Si parla di Contraddizione, se una forma enunciativa
assume sempre il valore di verità “falso”
indipendentemente dai valori di verità degli enunciati
semplici.
‫ﮟ‬
p
-p
LOGICA DEI PREDICATI
Si dice enunciato aperto o funzione
enunciativa
o
ancora
funzione
proposizionale un enunciato in cui, al
posto dei nomi di uno o più oggetti
figurino delle variabili.
LOGICA DEI PREDICATI
ARISTOTELE sillogismi
Un sillogismo è, secondo la definizione aristotelica, una forma
fondamentale dell'argomentazione logica
costituita da tre proposizioni collegate tra loro in modo tale che,
poste due di
esse come premesse, ne segue necessariamente una terza come
conclusione
Es.:
P.
TUTTI I LIGURI SONO ITALIANI
Q.
TUTTI GLI ITALIANI SONO EUROPEI
R.
TUTTI I LIGURI SONO EUROPEI
LOGICA DEI PREDICATI
PROPOSIZIONI:
P.
Q.
R.
P. Q. R.
TUTTI I LIGURI SONO ITALIANI
TUTTI GLI ITALIANI SONO EUROPEI
TUTTI I LIGURI SONO EUROPEI
P.
x (L(x) → I(x));
Q.
x (I(x) → E(x));
R.
x (L(x) → E(x))
Detto a un individuo del dominio D
ciò che è vero per x lo è in particolare per a
Quindi:
P(a) => Q(a) e Q(a) => R(a)
sono VERE
implicano:
P(a)=>R(a)
CONDIZIONI
Condizione NECESSARIA:
Date due proprietà A e B, diciamo che A è una
condizione necessaria per B se tutte le volte che si
verifica B si verifica anche A ed è possibile che si
verifichi A e non B
B→A
A Condizione necessaria (essere italiani) per B
Es: E’ necessario essere italiani
per essere napoletani.
E’ possibile essere italiani e non essere napoletani
CONDIZIONI
Condizione SUFFICIENTE:
Date due proprietà A e B, diciamo che A è condizione
sufficiente per B se tutte le volte che si verifica A si
verifica anche B e non è possibile che si verifichi A e
non B.
A →B
A Condizione sufficiente (essere napoletani) per B
Es: E’ sufficiente essere napoletani
per essere italiani.
Non è possibile essere napoletano e non essere italiano
CONDIZIONI
Condizione NECESSARIA e SUFFICIENTE:
Date due proprietà A e B, diciamo che A è
condizione necessaria e sufficiente per B
quando se è vera A lo è anche B e viceversa.
A condizione necessaria e sufficiente per B
A
↔
B
APPLICAZIONI PRATICHE
GENERATORE DI
CORRENTE (UNA PILA)
INTERRUTTORE
(APERTO O CHIUSO)
LAMPADINA
(SPENTA O ACCESA)
APPLICAZIONI PRATICHE
Esiste un’analogia tra lo stato dell’interruttore
(aperto o chiuso) e i valori di verità (V/F) di una
proposizione.
PROPOSIZIONE
INTERRUTTORE
LAMPADA
STATO
F
NON PASSA
CORRENTE
V
PASSA
CORRENTE
APPLICAZIONI PRATICHE
CIRCUITI LOGICI:
p: direttore
‫ﮞ‬
ES: cassaforte
Chius. Inter. Ap. Cass.
q: vicedirettore
p
q
Cassaforte
p
q
Si
Si
Si
Si
No
No
No
Si
No
No
No
No
APPLICAZIONI PRATICHE
CIRCUITI LOGICI:
p: direttore
‫ﮞ‬
ES: cassaforte
Chius. Inter. Ap. Cass.
q: vicedirettore
q
p
Cassaforte
p
q
Si
Si
Si
Si
No
Si
No
Si
Si
No
No
No
APPLICAZIONI PRATICHE
NEI MOTORI DI RICERCA
USO DEI CONNETTIVI LOGICI: AND, OR, NOT
Applicazione ai computer:
AND Indica al motore di ricerca i documenti che
OR
contengono tutti i termini inseriti, senza tener
conto del loro ordine di inserimento.
È utilizzato per ricerche che contengono solo
alcuni dei termini inseriti.
NOT Esclude dalla ricerca i documenti che hanno
al loro interno una parola specifica.
HANNO REALIZZATO IL PROGETTO:
“ LAUREE SCIENTIFICHE ”
Le alunne:
AMODIO ROBERTA
SANTORO CLAUDIA
SCARPATI LUISA
Con la supervisione dei docenti:
Prof.sa BARRETTA
Prof.sa NAPOLITANO
Liceo ELIO VITTORINI di Napoli