Unita’ Naturali
Il Metodo Scientifico
• La Fisica si occupa di descrivere ed interpretare i
fenomeni naturali usando il metodo scientifico.
• Passi del metodo scientifico:
– Schematizzazione: modello semplificato del fenomeno
naturale.
– Misura: un insieme di procedure e convenzioni che
permettono di associare un numero ed un’unita’ di misura ad
ogni grandezza fisica individuata come essenziale nella
schematizzazione del fenomeno naturale.
– Osservazione sperimentale di correlazioni quantitative tra
grandezze fisiche.
– Organizzazione dei risultati delle osservazioni nella forma di
leggi che governano il fenomeno.
– La previsione di nuovi fenomeni.
– La verifica sperimentale delle previsioni.
Grandezze Fisiche
• Una grandezza fisica e’ definita quando e’ specificato il
modo in cui puo’ essere misurata.
– Condizione essenziale e’ la riproducibilita’ della misura.
• Misura diretta: confronto tra grandezze omogenee.
– Si stabilisce un criterio di confronto in base al quale sia
possibile definire il concetto di uguaglianza fra grandezze
omogenee.
– Si definisce un criterio di somma di due grandezze omogenee.
• NB: questo permette di definire multipli e sottomultipli di una
grandezza.
– Si sceglie una unta’ di misura.
• Misura indiretta: misura di grandezze diverse da quella che
si vuole misurare, ma ad essa legate da leggi note.
Unita’ di Misura
• Misura diretta:
– Confronto: necessita’ di un campione di riferimento.
– Risultato: espresso come rapporto tra grandezza e campione.
• In principio ogni grandezza ha un suo campione di riferimento
indipendente da tutte le altre ed ogni individuo puo’ scegliere il
suo campione:
–
–
–
–
Lunghezze in metri, pollici, miglia
Velocita’ in m/sec, nodi
Masse in Kg, once, libbre
Pressione: pascal, libbre per pollice quadrato.
• Per il confronto tra individui diversi: fattori di conversione
– Numeri che esprimono il rapporto fra la grandezza dei campioni
• Osservazione centrale:
• Non e’ necessario assegnare alle grandezze una dimensione; e’
sufficiente un’unita’ di misura.
Sistema di Unita’ di Misura (1)
• Esistono relazioni matematiche fra grandezze diverse, che sono
espressione di leggi fisiche derivate dall’esperienza.
– Area di un quadrato = (Lunghezza del lato)2
– Velocita’ = Spazio/Tempo
– Forza = Massa x Accellerazione
• Legge fisica: mette in relazione due o piu’ grandezze diverse
• A titolo di esempio, si consideri: F=kma
– Questa relazione e’ vera qualunque sia l’insieme di unita’ di misura
scelto per masse, accelerazioni e forze, ogni unita’ essendo scelta in
modo indipendente dalle altre. La quantita’ k e’ un opportuno fattore
di conversione.
– In questo caso non e’ necessario assegnare dimensioni alle grandezze
fisiche
• La relazione consente pero’ di scegliere unita’ di misura per
forze, masse e accelerazioni tali da poter porre k = 1
Sistema di Unita’ di Misura (2)
• Si vuole di solito ridurre al minimo il numero di fattori di
conversione.
• Vengono scelte alcune grandezze fra loro indipendenti, che
si considerano come fondamentali: Per esse si determinano
delle arbitrarie unita’ di misura.
– Il numero di grandezze fondamentali e’ maggiore o uguale al
minimo necessario alla completa descrizione matematica di un
insieme di sistemi fisici (p.es. quelli meccanici).
– Il numero puo’ evolvere: puo’ essere conveniente introdurre
nuove grandezze quando si studiano nuove classi di fenomeni.
• La scelta di quante (almeno in numero uguale al minimo) e
quali grandezze considerare fondamentali e’ arbitraria.
Sistema di Unita’ di Misura (3)
•
Tutte le altre grandezze sono considerate come derivate, ossia definite
in base a definizioni o leggi fisiche.
•
Leggi fisiche, incluse le definizioni, usate per esprimere le unita’
derivate in termini di quelle fondamentali: anch’esse scelte in modo
arbitrario.
•
Principio generale: Il rapporto fra due grandezze omogenee deve essere
indipendente dall’unita’ usata.
•
La generica grandezza derivata f, funzione delle grandezze
fondamentali
f = f(m1,m2,...mp, l1, l2, ..lq, t1,t2,...tr)
e’ omogenea nelle l, nelle m, nelle t,… quindi in tutte le grandezze
fondamentali.
•
Il grado di omogeneita’ di f in ciascuna di esse (a,b,g,…) si chiama la
dimensione di f rispetto a l,m,t,…
•
Ogni grandezza acquista un attributo extra, ossia la sua dimensione
fisica
•
Ma: La dimensione di ogni grandezza non e’ un attributo assoluto:
dipende dal sistema di unita’ di misura adottato
Sistema cgs e SI
• cgs (1874)
– Sistema di unita’ di misura a orientamento teorico/sperimentale:
– 3 grandezze fondamentali
– Carica elettrica: Grandezza derivata -> Dimensione Q = [M1/2L3/2T-1 ]
• SI (1971)
– Sistema di unita’ di misura a orientamento ingegneristico:
– 7 grandezze fondamentali
– Corrente elettrica: Grandezza fondamentale -> Dimensione Q = [I][T]
• Entrambi fortemente ancorati nella fisica classica
– Ignorano relativita’, meccanica quantistica, struttura granulare della
materia.
Costanti Universali (1)
•
Fissato il sistema di unita’, compaiono in alcune leggi fisiche delle
costanti sperimentali, non legate a particolarita’ di sostanze, stati di
aggregazione, etc: Costanti Universali
– Il valore di molte costanti universali dipende dal sistema di unita’ usato.
•
Es: Legge di Gravitazione Universale:
F G
•
•
•
m1m2
r2
La dimensione e l’unita’ di forza sono definite nel SI da:
F =ma
Dim F = [M] [L] [T-2]
Di conseguenza G e’ una quantita’ sperimentale con valore
6.674 10-11 m3kg-1s-2 e dimensione [M-1][L3][T-2]
Alternativamente, si potrebbe usare la legge di gravitazione per
definire una differente unita’ di forza (magari chiamandola l’ “unita’ di
forza gravitazionale”, con dimensione [M2][L-2]), in cui G = 1 con
dimensione zero: G sarebbe un (banale) fattore di conversione
Costanti Universali (2)
• Quantita’ come G compaiono in diverse equazioni di validita’
generale.
• Doppia possibilita’:
Costanti universali: Dimensione non nulla, valore
dall’esperimento
• oppure
Fattori di conversione: Senza dimensione, valore che si puo’
porre = 1
• La scelta dipende ovviamente da come viene costruito il sistema
di unita’.
• Sistemi di unita’ ‘naturali’: basati sulla seconda scelta
– Nell’esempio, l’unita’ ‘naturale’ di forza gravitazionale e’ quella che si
esercita fra due unita’ di massa a distanza unitaria. Misurare le
forze in questa unita’ equivale a porre G = 1, adimensionale.
– Usualmente non lo si fa (es: ne’ in cgs, ne’ in SI): non c’e’ solo la
forza gravitazionale
Costanti Universali (3)
• SI: Unita’ legate alla pratica ingegneristica
– Dimensione ‘umana’ ( o quasi…)
– Slegate da proprieta’ dei costituenti elementari
della materia
– Slegate da proprieta’ delle interazioni fondamentali
– Poco adatte ai modelli matematici relativi alla
struttura atomica, nucleare, subnucleare
• Risultati:
– Molte costanti universali dimensionate
– Relazione complicata fra proprieta’ elementari,
costanti universali, unita’ di misura
Relativita’ Ristretta e Meccanica
Quantistica
• Invarianti fondamentali:
– ds2 = c2dt2 – dx2 – dy2 –dz2
– m2c4 = E2 –p2c2
• Commutatore fondamentale:
– [q,p] = ih
• Queste relazioni valgono in ogni teoria quantistica e
relativistica.
– Come il Modello Standard
• Consentono una scelta alternativa di unita’ fondamentali.
Unita’ Naturali
• Le quantita’ c,h possono essere poste = 1, con dimensione zero.
• Conseguenze:
–
–
–
–
–
dim l = dim t
dim E = dim p = dim m
dim l = dim p-1
c, h diventano fattori di conversioni tra dimensioni diverse
Sopravvive una sola dimensione
• Scelta normalmente fatta:
– Energia come unica grandezza fondamentale
• Dettata dalle applicazioni tipiche: Sistemi microscopici
– Per un sistema microscopico, l’energia e’ quasi sempre molto piu’
accessibile delle dimensioni lineari, o delle durate (entrambe molto
piccole)
Costanti Universali in Unita’ Naturali
Costanti Universali Adimensionali
• In fisica delle particelle si studiano le forze (interazioni)
fondamentali della natura.
• Per ognuna di esse e’ possibile definire una costante
adimensionale:
g i2
ai 
c
• Che si puo’ interpretare come il rapporto tra il quadrato della
“carica” (carica elettrica, debole, gravitazionale e di colore) ed il
prodotto hc.
• Nel formalismo della teoria quantistica dei campi la costante
prende il significato di misura dell’accoppiamento fra il campo
legato all’interazione e le cariche che interagiscono tramite il
campo stesso.
• Essendo prive di dimensione, queste costanti hanno lo stesso
valore in tutti i sistemi di unita’ di misura, e si presentano quindi
come autentiche costanti universali.
Costanti delle Interazioni Fondamentali
•
Interazione elettromagnetica:
•
Interazione debole:
•
Interazione gravitazionale:
•
Interazione forte:
•
NB: Tutte queste costanti dipendono dalla scala dell’energia.