Lezione V – seconda parte
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Lavoro ed Energia
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Come abbiamo già visto, il problema della dinamica di un punto materiale è:
determinare come si muove la particella, note le forze che agiscono su di essa.
Con il termine come si muove si intende come varia nel tempo la sua posizione.
Se per esempio il moto è
unidimensionale, il problema è quindi determinare x
come funzione del tempo x(t). Nel nostro primo approccio alla dinamica, nelle lezioni
precedenti, abbiamo affrontato e risolto il problema semplice che si presenta quando
le forze in gioco sono costanti, utilizzando essenzialmente la
II Legge di Newton:
F = ma
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Rivediamo questo caso semplice che abbiamo già trattato e cioè quello di una forza
F = costante.
Se la forza F applicata sulla particella (o la risultante delle forze Fi) risulta costante,
poiché in base alla II Legge di Newton possiamo sempre scrivere che:
a=F / m
Adottando come sistema di riferimento un asse x lungo la direzione della forza (direzione
che NON cambia, in quanto la forza è costante), sappiamo già che possiamo ridurre
la trattazione al caso scalare e che potremo scrivere le semplici equazioni del moto:
x(t) = v0t + ½ at2
v(t) = v0 + at
Dove appunto:
a = F/m
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x
x(t)
x(t) = v0t + ½ at2
t
Il problema è un po’ più complicato quando la forza agente sulla particella non è costante,
e si configura per esempio un moto del genere:
x
x(t)
t
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Ma perché sarebbe così complicato determinare x(t) nel caso in cui F non è costante ?
Cioè nel caso in cui F =
F(t)
? Forse in questo caso NON vale la II Legge di Newton ?
NO, la II Legge di Newton vale sempre e quindi se
F = F(t)
risulterà a
= a(t):
a(t) = F(t) / m
E allora? visto che possiamo comunque ricavare a(t) da F(t), una volta nota a(t),
nell’equazione del moto
v(t) = v0 + at possiamo scrivere v(t) = v0 + a(t)t ???
NO!
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Non dimentichiamo che l’accelerazione è una quantità ricavata dal calcolo differenziale:
a(t) = dv(t)/dt
Se conosciamo la funzione a(t) e vogliamo ricavare v, possiamo certamente scrivere
dv(t) = a(t) dt
Il che, se a(t)
= costante = a implica che ad ogni intervallo di tempo
osserva lo stesso incremento infinitesimo di velocità dv
generico intervallo finito di tempo
la precedente equazione del moto:
Δt
si osserverà
= a dt
Δv = a Δt
infinitesimo
dt si
e quindi in un
che altro non è che
v(t) = v0 + at
Ma questo risultato è valido solo se
a = costante !!!
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Se invece a non è costante, per esempio nel caso generale che abbiamo immaginato in cui
è nota la dipendenza di F dal tempo, e quindi di conseguenza la dipendenza di a dal tempo
a(t) = F(t) /m
come si fa a ricavare v(t) ?
Per esempio:
a(t)
0
a(t) = F(t)/m
t
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Abbiamo riconsiderato la formula:
dv(t) = a(t) dt
Questa è una formula differenziale, ma certamente è applicabile con buona approssimazione
nel caso di intervalli di tempo Δt abbastanza piccoli, e in cui si adotta per a(t) un
valore costante pari al suo valore medio al tempo ti nell’intorno dell’intervallo di tempo in
questione. Abbiamo visto che potremo certamente scrivere che:
a(t)
Δv(t1) = a(t1) Δt
a(t1)
0
Δt
t1
t
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E in generale, per ogni intervallo relativamente piccolo
Δt nell’intorno di un istante ti in cui
l’accelerazione media vale a(ti), potremo scrivere
a(t)
0
Δv(t1) = a(t1) Δt
Δv(t2) = a(t2) Δt
………………
Δv(ti) = a(ti) Δt
………………
Δv(tN) = a(tN) Δt
t
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Quindi, dato un valore iniziale della velocità v0 all’istante t=0, il valore di velocità ad un
istante successivo di tempo tN tale che:
N
tN – t0 =
∑
Δt
i=0
i
Sarà dato dalla relazione:
N
v = v0 +
∑ a(t ) Δt
i
i=0
Questa formula, nel caso di intervalli di tempo infinitesimi, e cioè per Δt
si chiama integrale di a
(t) rispetto al tempo t
0
ed è definito come segue:
t
v = v0 +
∫
a(t) dt
t=0
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Nel seguito, limiteremo la nostra attenzione alle forze che dipendono dalla posizione
della particella. Ve ne sono una varietà in Fisica: per esempio la forza gravitazionale,
la cui intensità dipende dal quadrato della distanza, la forza esercitata da una molla
deformata, su un corpo a cui è attaccata, etc…
Lo studio di questi casi ci condurrà alla definizione di importanti grandezze fisiche come
il Lavoro e l’Energia Cinetica, e di seguito alla definizione più generale di Energia e alla
sua Legge di Conservazione.
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Lavoro fatto da una forza costante
Consideriamo ancora il caso di una forza
F = costante, e di un moto rettilineo
lungo
la direzione della forza. In questo caso, come sappiamo possiamo ridurre nuovamente
lo studio al caso unidimensionale (scalare) (moto lungo l’asse x) .
E sappiamo già che la particella di muoverà di moto accelerato con accelerazione costante
a = F/m
F
x
Definiamo Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto del modulo della forza
F per la distanza percorsa dalla particella
L=Fd
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Consideriamo adesso il caso in cui la forza (sempre costante) non agisce però lungo
la direzione di moto:
F
x
Fx
In questo caso definiremo il Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto
della componente
Fx della
forza lungo la direzione di moto, per la distanza percorsa
dalla particella
L = Fx d
L = F cos (θ) d
Se θ = 0, il Lavoro è semplicemente F
mentre se θ= 90°
d, come per il caso precedente ,
il lavoro fatto dalla forza F sulla particella è nullo.
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Il Lavoro è una quantità scalare ed altro non è che il prodotto scalare dei vettori
Fed
L=F•d
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Unità di misura del Lavoro
L’unità di misura del lavoro è il lavoro fatto dall’unità di forza nel muovere un
corpo dell’unità di lunghezza nella direzione della forza.
Quindi nel sistema SI l’unità di lavoro è 1 Newton-metro, detto joule.
Un’altra unità di misura in uso è il kilogrammetro, definita come
1kgm = 9,8 joule
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Lavoro fatto da una forza variabile
Consideriamo il caso di una forza che varia soltanto in modulo, che agisce lungo la
direzione x, e supponiamo di conoscere come varia il modulo
F in funzione di x.
Ci
poniamo il quesito di calcolare il lavoro fatto da questa forza variabile quando il punto
materiale si sposta da x1 a
x2 .
Supponiamo per esempio di sapere che la funzione
F(x) sia come in figura:
F(x)
0
x1
x2
x
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Dividiamo lo spostamento totale x1 
Il lavoro fatto falla forza
F
x2 in tanti piccoli intervalli consecutivi Δx.
nello spostare il punto materiale da xi a
xi + Δx,
assumendo che la forza sia costante nell’intervallo in questione , sarà dato da
ΔL = F(xi) Δx
F(x)
 ΔL = F(xi) Δx = area del rettangolo
0
x1
Δx
x2
x
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Il lavoro totale fatto forza
F
nello spostare il punto materiale da
x1 a x2 ,
sarà dato approssimativamente dalla somma di un numero di termini come di seguito:
L12 ≈
∑ F(xi) Δx
F(x)
0
x1
Δx
x2
x
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Per migliorare la nostra approssimazione, possiamo suddividere in intervalli Δx
sempre più piccoli.
L12 ≈
∑ F(xi)Δx
F(x)
0
x1
Δx
x2
x
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Otterremo un risultato esatto per il lavoro fatto dalla forza F(x) nello spostare il punto
da x1 a x2, attraverso un processo al limite:
L12 = lim
Δx  0
∑ F(xi) Δx
∫
x2
=
F(x) dx
x1
Questa relazione definisce l’integrale di F rispetto a x da
x1 a x2 e
numericamente è esattamente uguale all’area indicata in figura
F(x)
0
x1
x2
x
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Supponiamo di avere una molla attaccata ad una parete, e supponiamo
che nel suo stato di equilibrio l’estremità della molla sia posizionata alla coordinata x0
x0
x
La forza esercitata dalla molla quando è stata allungata fino ad un certo valore x dalla
sua posizione di equilibrio x0, è data dalla cosiddetta Legge di Hooke:
F = − k (x−x0)
e il suo verso è sempre opposto allo spostamento da x0
k= costante elastica della molla
F
x0
x
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Quando la molla è allungata
x > x0 ;
quando la molla è compressa
x < x0
La forza F è sempre diretta verso x0, e quindi cambia segno quando il suo estremo
passa per la posizione di riposo x0
Possiamo assumere x0 =
0
x0
x
x0
x
e la formula diviene semplicemente
F=−kx
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Per deformare la molla, è sufficiente applicare alla molla una forza F’ esattamente
eguale e contraria alla forza F esercitata dalla molla
su di noi. La forza che applicheremo sarà quindi:
F’ = kx.
Il lavoro fatto da questa forza F’ per allungare la molla da
L =
∫
0 a x è:
x
kxdx = ½ kx2
0
Come calcolare un integrale così semplice, in modo grafico: (l’integrale è l’area….)
F’(x)
kx
Area =
½ kx2
x
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Il caso che abbiamo trattato è molto semplice, infatti abbiamo preso in esame:
a) uno spostamento che avviene lungo un asse x
b) una forza
F che varia solo in modulo, ma ha sempre direzione lungo lo stesso asse x
Conosciamo la dipendenza di F dallo spostamento, cioè conosciamo F(x)
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Più in generale la forza F può variare sia in direzione che in modulo, e la particella su cui
questa forza è applicata può muoversi lungo un cammino curvilineo. Per calcolare il lavoro
in questo caso generale, dobbiamo conoscere l’angolo θ fra la forza F in un dato punto
della traiettoria e lo spostamento infinitesimo ds in quello stesso punto.
ds
θ
F
In questo caso dovremmo integrare la seguente:
dL = F • ds = F cos θ ds
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Potenza
Fin qui non abbiamo considerato il tempo impiegato per compiere un dato lavoro.
E in base alla definizione di lavoro, non c’è dubbio che per spostare un corpo
ad una data altezza, compiamo lo stesso lavoro L, qualsiasi tempo t ci impieghiamo.
Non c’è dubbio, tuttavia, che il tempo impiegato per compiere un dato lavoro, o meglio
la rapidità con cui viene compiuto, può essere rilevante in alcune applicazioni. Rifacendoci
al concetto di derivata che abbiamo già introdotto in diverse occasioni, definiremo la potenza
P come la rapidità con cui il lavoro L è compiuto, quindi:
P = dL / dt (potenza istantanea)
<P> = ΔL / Δt (potenza media)
Ovviamente, se la potenza è costante nel tempo:
P=Lt
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Avendo adottato nel sistema SI il joule come unità di misura del lavoro, l’unità
di misura della potenza sarà 1 joule /s denominato Watt.
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