Circuiti RL serie
Un circuito che contiene una bobina, tipo un
solenoide, ha una autoinduttanza che
impedisce alla corrente di aumentare e
diminuire istantaneamente .
Chiudendo l’interruttore a t=0 la corrente
aumenta e la f.e.m. dell’induttore (DVab < 0)
sarà:
dI
dI
 L  L
e, applicando Kirchoff ,   IR  L
0
dt
dt
ponendo x    R   I , dx  dI

L dI
L dx
dx
R
I 
 x
0 
  dt
R
R dt
R dt
x
L
x
t
dx
R
x
R


dt

ln


t
x x L 0
xi
L
i




 I  e  Rt L  I  1   e  Rt L  1   e t 
R
R
R
R
costante di tempo del circuito RL serie
 L R
x  xi e  Rt L 
Fisica II - Informatica
Circuiti RL serie
L’andamento temporale della corrente è
I t  

1 e 

R
t 
derivando si ha
dI 
  max
dt R
dI  t 
 e
dt L
per t  0
La caduta di tensione sull’induttore sarà
dI
VL  L
 εe  Rt / L  εe  t /
dt
Fisica II - Informatica
•
Circuiti RL
Analogamente ai circuiti RC  RC  RC 
esiste una
costante di tempo che caratterizza il comportamento
temporale del circuito
L
 RL 
R
• Perchè RLcresce per L più grandi ?
–
L si oppone a variazioni di corrente, e quindi rallenta il tasso
di variazione.
• Perchè RLdiminuisce per R più grandi ?
–
Grandi R riducono la corrente finale.
–
Grandi R dissipano l’energia velocemente, velocizzano la
“scarica” dell’induttore (cioè velocizzano la perdita di
corrente).
Fisica II - Informatica
Circuiti RL
• Dopo che l’interruttore è stato
in posizione a per un tempo
lungo, a t=0, viene portato in
posizione b.
• legge della maglia:
IR  L
a
I
I
R
b

dI
0
dt
L
• l’appropriata condizione iniziale è: I (t  0)  
R
• La soluzione deve
avere la forma:
I 

R
VL  L
Fisica II - Informatica
e  Rt / L
dI
 e  Rt / L
dt
 on
L/R
1
/R
2L/R
00
0
1
1
2
f( x ) 0.5
I
0.0183156
3
4
0
0
1
Fisica II - Informatica
2
1
01 0
dI
 e  Rt / L
dt
t
3
4

f( x )V0.5
L
e  Rt / L
R
0
0
Q
f( xV
) 0.5
L
83156
t
2L/R
I 
x
t/RC
VL  L
L/R
/R
1
1

I  1  e  Rt / L 
R
I
f( x ) 0.5
1
 off
2
t
3
x
4
4
dI
VL  L  e  Rt / L
dt
-0
0
1
2
t
3
4
Energia di un induttore
• Quanta energia è immagazzinata in
un induttore quandi una corrente
fluisce attraverso esso ?
potenza erogata
batteria
I
R
b
dI
• legge della maglia:   IR  L
dt
• moltiplichiamo per I :
2
dE
εI

I
R  LI
P
dt
I
a

L
dI
dt
potenza dissipata
resistenza
rapidità immagazzinamento energia
(potenza) nell’induttanza
• In questa equazione della conservazione dell’energia (per unità di tempo),
identifichiamo PL, il tasso con cui l’energia è immagazzinata nell’induttore:
• Integriamo l’equazione per trovare una
espressione per U, l’energia immagazzinata
nell’induttore quando la corrente = I :
Fisica II - Informatica
U
I
0
0
U   dU   LIdI
PL 

dU
dI
 LI
dt
dt
1
U  LI 2
2
Dove è immagazzinata l’energia ?
• Come nel caso del condensatore (energia immagazzinata
nel campo elettrico) per l’induttore l’energia è immagazzinata
nel campo magnetico stesso.
• Per calcolare questa densità di energia, consideriamo il
campo uniforme generato da un lungo solenoide:
N
l
B  0 I
l
r
N2 2
L  0
r
• l’induttanza L vale:
l
N avvolg.
• l’energia U:
1 2 1  N 2 2  2 1 2 B2
U  L I   0  r  I   r l
2
2
l
2
0

• La densità di energia si ottiene dividendo per il volume in cui è
contenuto il campo:
Questa relazione, pur essendo stata
2
Fisica II - Informatica
U
1B
u 2 
 r l 2 0
ricaata nel caso del solenoide, è valida
in ogni regione dello spazio in cui è
presente un campo magnetico !
Applicazione mutua induzione:
caricabatteria wireless per spazzolino elettrico
Fisica II - Informatica
L’induttanza nei circuiti:
Induttori in parallelo
 Consideriamo due induttori in parallelo
i
i2
i1
L1
L2
 Usando la legge di Kirchhoff ai nodi, si ha:
i  i1  i2
di di1 di2


dt dt dt
 L’induttanza equivalente si trova imponendo che tutti i 3
induttori siano alla stessa differenza di potenziale (in parallelo)
Fisica II - Informatica
Induttori in parallelo
 Quindi
di1
di2
di
VL  Lequivalente  L1
 L2
dt
dt
dt
VL
di di1 di2 VL VL
 

 
Lequivalente dt dt dt L1 L2
 quindi gli induttori in parallelo si combinano come le resistenze:
1
Lequivalente
Fisica II - Informatica
1 1
 
L1 L2
Induttori in serie
 Consideriamo due induttori in serie. Entrambi gli induttori
saranno attraversati dalla stessa corrente i.
i
i
L1
L2
 Poichè la corrente è la stessa allora di/dt è la stessa e la
caduta di tensione sulla coppia vale:
V  Lequivalente
di
di
di
 L1  L2
dt
dt
dt
 Quindi gli induttori in serie si combinano come resistenze in
serie:
Lequivalente  L1  L2
Fisica II - Informatica
x
z
y
Fisica II - Informatica
Corrente di spostamento
Applichiamo il teorema di Ampere nel caso di un
condensatore, considerando le sup. S1 ed S2:
B ds   I
L’integrale di linea è esteso a

qualsiasi percorso chiuso concatenato con la
0
corrente di conduzione. Il teorema di Ampere
in questa forma è valido solo se la corrente di
conduzione è continua nello spazio.
• Non è presente una corrente di
conduzione tra le due armature !
• Le due superfici S1 e S2 , delimitate dallo
stesso percorso P, danno due risultati
diversi (0I e 0)
• Per risolvere l’incongruenza Maxwell
introdusse la
Corrente di spostamento
IS  0
dE
con  E   E d A flusso campo
elettrico
dt
Fisica II - Informatica
Teorema di Ampere generalizzato
 B d s  0  I  I S   0 I  0 0
dE
dt
Teorema di Ampere-Maxwell
I campi magnetici sono generati sia dalle correnti di
conduzione sia dai campi elettrici variabili !
Fisica II - Informatica
Le equazioni di Maxwell
Q
0
I:
 E dA 
II :
 B dA  0
dB
III :  E d s  
dt
IV :
 B d s   0 I   0 0
 Teorema di Gauss (flusso elettrico totale
attraverso superficie chiusa = carica netta)
 Flusso magnetico netto attraverso una
superficie chiusa è nullo (teorema Gauss
per il magnetismo)
 Legge di Faraday dell’induzione
dE
 Teorema di Ampere generalizzato
dt
Noti i campi elettrico e magnetico, in un punto, la forza agente su una
carica elettrica è data da
F  qE  qv  B
Questa relazione insieme alle 4 equazioni di Maxwell, fornisce una
descrizione completa di tutte le interazioni elettromagnetiche
classiche.
Fisica II - Informatica
Onde Elettromagnetiche
 Maxwell dimostrò che i campi elettrici
e magnetici dipendenti dal tempo
soddisfano una equazione d’onda.
 La più importante conseguenza di
questa teoria è la previsione
dell’esistenza delle onde
elettromagnetiche (campi elettrici e
magnetici oscillanti).
 La variazione dei campi crea
reciprocamente il mantenimento della
propagazione dell’onda: un campo
elettrico variabile induce un campo
magnetico e viceversa.
 I vettori E e B sono  tra di loro e 
alla direzione di propagazione.
Fisica II - Informatica
Calcolo equazione d’onda
 E 
in una direzione E  x  dx, t   E  x, t   
 dx
x



dalla I eq. Maxwell
E
dx

t
,
x
E

t
,
dx

x
E

s
d
E




   
 

x
flusso B concatenato  B  B dx
dB
B
dB 
dx

 dx 
derivando rispetto a t
t
dt  x cost
dt
sostituendo nella III eq. di Maxwell
B
E
B
 E 



dx


dx
 


t

x

t

x



Fisica II - Informatica
Calcolo equazione d’onda
Consideriamo la IV eq. Maxwell
 B 
B
d
s

B
x
,
t

B
x

dx
,
t











 dx






x


Il flusso elettrico concatenato vale  E  E dx
dE
 E 
derivando rispetto al tempo
 
 dx
dt
 t 
sostituendo insieme al precedente nella IV eq. Max.
B
E
 B 
 E 
 
dx



dx





0 0 
0 0


x
t
 x 
 t 
derivando rispetto ad x la   e sostituendo
2 E
  B 
  B 

E 













 0 0

x 2
x  t 
t  x 
t 
t 
2 E
2 E
2 B
2 B
  0 0 2 e, analogamente
  0 0 2
x 2
t
x 2
t
1
eq. onda lineare di velocità c 
0
E  Emax cos  kx  t 
2 2 f
e soluzioni :
con k 

e   2 f
B  Bmax cos  kx  t 

c
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Calcolo equazione d’onda
2 E
2E
2B
2B
1



e



sono
eq
.
onda
lineare
di
velocità
c

0 0
0 0
x 2
t 2
x 2
t 2
0
con soluzioni :
E  Emax cos  k x   t 
B  Bmax cos  k x   t 
 0  8.85418 10
12
con k 
C2
N m2
Tm
si trova che
A
1
m
c
 2.99792 108

s
 0 0
0  4 107
 velocità luce nel vuoto
La luce è un’onda elettromagnetica !!!
Fisica II - Informatica
2


2 f
e   2 f
c
Calcolo equazione d’onda
E  Emax cos  k x   t  rispetto ad x
Calcolando le derivate parziali di
B  Bmax cos  k x   t  rispetto ad t
E
 kEmax sin  k x   t 
E
B
x
dovendo essere

  kEmax   Bmax
B
x
t
  Bmax sin  k x   t 
t
E
2 2
E
essendo   2 e k 

si ha max  c 
 c !!!

c
Bmax
B
In ogni istante, in un’onda elettromagnetica, il
rapporto tra il modulo del campo elettrico ed il
modulo del campo magnetico è uguale alla velocità
della luce !!!
Fisica II - Informatica
0,
r1
.. r1
n
VC
1.01 1
UE
0
f( x ) 0
C
1.01 1
0
1.01 1
0
2
VL
4
x
6
t
6.28
Circuiti
LC
0
f( x ) 0
1.01 1
L
0
0
2
Fisica II - Informatica
tx
4
UB
6
6.28
t
Onde Hertziane
Si può mettere in evidenza l’esistenza delle onde
elettromagnetiche previste dalla teoria di Maxwell ?
Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema
oer la generazione e rivelazione delle onde
per
elettromagnetiche (onde radio).
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Oscillazioni Elettromagnetiche
Analogia con la meccanica:
Rammentiamo l’oscillatore meccanico massa-molla
k = costante elastica
d 2x
m 2  kx
dt
sol.: x  A cos  t
-A
+A
A = ampiezza delle oscillazioni
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Oscillazioni di Energia
Consideriamo un circuito LC
Fisica II - Informatica
T = periodo di oscillazione
Il condensatore si scarica, la
corrente aumenta, l’energia si
trasferisce dal campo elettrico a
quello magnetico. Poi il ciclo si
inverte e proseguirebbe all’infinito
in assenza di meccanismi
dissipativi.
Circuito LC
Consideriamo un semplice circuito LC.
Il condensatore ha una carica iniziale
Qmax e l’interruttore viene chiuso al
tempo t=0.
I(t)
C
Q  Id t
V 
C
C
la caduta di tensione è
determinata dall’integrale
della corrente sulla
capacità
I(t)
L
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dI
d 2Q
V L
L 2
dt
dt
la caduta di tensione è
determinata dalla
derivata della corrente
per l’induttanza
Circuito LC
Applichiamo la regola delle maglie al
circuito LC.
Q
dI
L 0
C
dt
essendo I 
dQ
Q
d  dQ 
si ha
 L 

dt
C
dt  dt 
d 2Q
1


Q
2
dt
LC
analoga a
d 2x
k


x
2
dt
m
La carica nel circuito oscillerà in modo analogo alla massa con la molla:
1
 
LC
1
f0 
2  LC
2
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frequenza di risonanza
Esperimento di Hertz
trasferimento di energia elettromagnetica
Hertz trovò che l’energia viene spedita dal
trasmettitore al ricevitore quando la frequenza
di risonanza del ricevitore veniva accordata con
quella del trasmettitore. L’energia è trasportata
da onde elettromagnetiche.
Es.: radio FM, TV, telefonia radiomobile
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Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche
Flusso di energia in un’onda elettromagnetica = vettore di Poynting S
S
1
0
EB
poichè E  B  EB si ha S 
EB
0
E 2 cB 2
B  E c da cui S 

valore istantaneo di S
0 c 0
Se l ' onda è sinusoidale occorre fare il valore medio temporale di cos 2  kx  t 
2
2
Emax Bmax Emax
cBmax
1
2
essendo cos  kx  t  
si ha I  S med 


2
0
2 0 c 2 0
2
2
E
c


1
B
1
In termini di densità di energia u E   0 E 2 u B 

 0E 2
2
2 0
2 0
2
2
B
quindi uE  uB , u  u E  u B   0 E 2 
0
mediando su un ciclo umed
2
1
1 Bmax
2
  0 Emax 
ed , inf ine, I  S med  cumed
2
2 0
L’intensità di un’onda elettromagnetica è uguale al prodotto della
densità di energia media per la velocità della luce.
Fisica II - Informatica
Spettro delle onde elettromagnetiche
Le onde elettromagnetiche viaggiano nel
vuoto con velocità c, frequenza f e
lunghezza d’onda . I vari tipi di onde
elettromagnetiche, prodotte tutte da
cariche accelerate, sono mostrate in
figura.
Es.: onda radio di frequenza f=94.7MHz
 = c/f = 3.17 m
Fisica II - Informatica