Essendo le materie scientifiche e tecniche la linfa
vitale per noi “periti elettrotecnici”,
non possiamo fare a meno di utilizzare quel
linguaggio universale, che normalmente
chiamiamo matematica, per esprimere e capire a
fondo le varie problematiche
che quotidianamente siamo costretti ad affrontare.
Una di queste problematiche è proprio il comportamento
del motore a corrente continua:
Al fine di capirne e ricrearne, attraverso un linguaggio
rigoroso, il funzionamento sia quando non è applicato ad
esso alcun carico e sotto-carico, sia a regime, è
necessario:
DETERMINARE E STUDIARE IL MODELLO
MATEMATICO
Tale modello è quindi la descrizione della nostra macchina elettrica
dal punto di vista matematico. Il percorso logico che abbiamo
seguito è il seguente:
1)Rappresentazione del motore a c.c. dal punto di vista elettrico
2) Analogia meccanica
3) Formulazione delle equazioni che ne derivano
4) Applicazione della trasformata di Laplace
5) Costruzione dello schema a blocchi
6) Analisi a regime in assenza di una coppia resistente
7) Analisi a regime con carico applicato al motore
8) Grafici con MatLab che ne descrivono il comportamento
Rappresentazione del motore a c.c. dal punto di vista elettrico
Va: forza elettro-motrice,
Applicando al circuito in figura il secondo
principio
variabile
d’ingresso
di Kirkhoff otteniamo l’equazione:
Ra: resistenza elettrica degli
avvolgimenti del motore
di a
V a  R a i a  La
 eg
dt L : induttanza (energia
a
conservativa) degli avvolgimenti,
è quella che si oppone alle
Dalla prima legge di Ohm sappiamo che:
variazioni della corrente.
R a i a rappresenta la caduta di tensione che si
eg: forza contro-elettromotrice, è
di
ha su una resistenza
a R.
legata alla velocità di rotazione ω
Va  Ra  iadi La
La
a
dt
dt
 eg
rappresenta la variazione di tensione
ai
i : corrente che assorbe il motore
capi di un’induttanza.
a
(la stessa che attraversa gli
avvolgimenti).
ANALOGIA MECCANICA
Sfruttando l’analogia tra grandezze meccaniche ed elettriche, si
ottiene:
tm: coppia motrice
B: coefficiente di attrito
J: inerzia
tm
d
B J
tr
dt
tr: coppia resistente
ω : velocità angolare del motore
APPLICHIAMO LA TRASFORMATA DI LAPLACE
Trovare le soluzioni di un’equazione differenziale non è sempre facile.
In alcuni casi si può utilizzare la “trasformata di Laplace”, ossia:
un operatore che trasforma una funzione della variabile reale (y = f(x)) in
una funzione della variabile complessa (y = F(s)).
Praticamente questo operatore trasforma l’equazione differenziale
in un’equazione algebrica facilmente risolvibile L: f(x)
F(s)
V a (t ) V a (s )
i a (t )  I a (s )
 (t )  (s )
t m (t )  T m (s )
e g (t )  E g (s )
t r (t )  T r (s )
V a  R a i a  La
tm  B   J
t m  kt i a
e g  k 
di a
 eg
dt
d
tr
dt
Sostituendo le variabili in funzione di s
nelle nostre equazioni abbiamo:
V a  R a I a  s La I a  E g
Tm  B   s J  Tr
Tm  kt I a
E g  k 
SCHEMA A BLOCCHI
Per ricavare lo schema a blocchi iniziamo a
ricavare Ia da questa formula:

V a  E g  I a R a  s La
V a  R a I a  s La I a  E g
Ia

1

Va  E g
R a  s La

E ricordando che T m  k t I a
Possiamo disegnare la prima
parte dello schema:
Come possiamo notare, l’uscita del blocco kt è tm e quindi …

Ricordando che:
Tm  B   s J  Tr
e ricavando da tale formula Ω abbiamo:
1
T m  T r

B s J

In questa formula compare Tm, che
sottratta a Tr e moltiplicata per la f. di
trasferimento dà la velocità Ω. Quindi
aggiungendo lo schema a blocchi
precedentemente illustrato a quello che
si ricava da questa formula otteniamo:
Inserendo nello schema a blocchi la formula:
E g  k 
Otteniamo lo schema a blocchi finale del Motore C.C.
ANALISI A REGIME
Con coppia resistente Tr  0
Facendo trascorrere molto tempo, in modo tale che i
sistemi in regimi transitori siano sicuramente esauriti,
abbiamo:
lim f(t) = lim F(s) = F(s = 0)
t
∞
s
0
Ponendo s = 0, lo schema a blocchi del motore a regime
con Tr  0 sarà il seguente:
La velocità Ω in questo caso sarà:
kt
Ra B
kt

Va 
Va
k t k
R a B  k t k
1
Ra B
LA CARATTERISTICA DEL MOTORE C.C.
Grafico coppia – velocità
Tm  kt I a
Ia 
Dalle
relazioni a
sinistra
possiamo
ricavare
l’equazione
della retta
Va  E g
Ra
E g  k 
V  k   

T m  k t  a

R
a


Tm
k t V a k t k 


Ra
Ra
Da qui ricaviamo le
intersezioni con gli assi
Quando Ω = 0
Quando Tm = 0
Tm 
kt I a
Ra
Va

k
Riportando questi valori
sul grafico otteniamo …
Caratteristica statica coppia - velocità
10
9
8
7
Caratteristica di funzionamento statico
Tm [Nm]
6
5
4
3
Punto di lavoro statico
2
Coppia resistente
1
0
0
5
10
15
20
25
30
omega [rad/s]
35
40
45
50
Nel grafico che segue,infine, riportiamo la corrente
assorbita dal motore e la variazione della velocità
nel tempo.
Notiamo che all’inizio la corrente è molto elevata
(questa è detta corrente di spunto), nello stesso
tempo vediamo che la curva della velocità sale molto
più lentamente della corrente (essendo la sua costante
di tempo una costante meccanica).
Dopo la fase transitoria, quando interviene una
coppia frenante, vediamo che la velocità
diminuisce e la coppia aumenta.
Tutto ciò viene svolto autonomamente dal motore.
Velocità angolare - Corrente assorbita
80
Corrente di spunto
70
omega [rad/s] - Ia [A]
60
50
40
30
Transitorio di velocità
Effetto di una coppia frenante
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
Tempo [s]
14
16
18
20
Ringraziamo i docenti responsabili del
“Progetto Lauree Scientifiche”:
Prof.ssa Rossella Fatatis
Prof.re Antonio Barbato
Un ringraziamento particolare va al
prof. Antonio Palumbo per la sua
supervisione del lavoro da noi svolto