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...
L’origine delle analogie
in fisica
Enzo Tonti
...
cosa è una analogia ?
15 : 3 = 60 : 12
questa è una proporzione
i numeri del membro di sinistra
sono diversi da quelli di destra
ma il rapporto di sinistra
è uguale al rapporto di destra.
Questo è il più semplice esempio di analogia.
...
cosa è una analogia ?
“L’analogia è l’invarianza
di una relazione o di un enunciato
per cambiamento degli elementi coinvolti.”
Rosen J,
Fundamental Manifestation of Symmetry in Physics
Foundation of Physics
Vol. 20, No. 3, 1990, p. 285.
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il ruolo delle analogie
Le analogie svolgono un ruolo fondamentale
sia nella ricerca scientifica che nell’apprendimento
in quanto permettono di trasferire senza difficoltà
nozioni che ci sono familiari in un campo
al campo che stiamo studiando.
Le analogie sono come delle “strade” nella mente:
una volta che siamo riusciti a mettere le nuove nozioni
su queste strade il pensiero scorre velocemente
ripercorrendo tratti che ci sono familiari.
...
analogie e formalismi
Osservando le onde del mare,
le vibrazioni di una corda,
le vibrazioni dell’aria,
quelle del campo elettromagnetico,
vi scorgiamo un comportamento analogo.
Questo ci porta a concepire un formalismo,
quello della teoria delle onde
descritto dall’equazione differenziale di d’Alembert
che è di tipo “iperbolico”.
I formalismi sono possibili
perché c’è un comportamento analogo
in fenomeni diversi.
...
analogie in fisica
In fisica le analogie tra due diversi campi
si manifestano solitamente
nel fatto che le equazioni che compaiono nei due campi
siano uguali o, al più, simili
nonostante che le variabili corrispondenti
siano profondamente diverse
sia nella loro natura matematica
(scalari, vettori, tensori, ecc)
sia nel loro contenuto fisico.
...
perché vi sono le analogie in fisica?
Richard Feynman si pone la domanda:
“ Why are the equations from different phenomena so similar?
… Is it possible that … the thing which is common to all
phenomena is the space, the framework into which
the physics is put? ”
Da questa domanda e da questa laconica risposta
si evince che la ragione delle analogie in fisica
non è affatto chiara, anche se è ragionevole
che lo spazio svolga un ruolo essenziale.
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perché vi sono analogie in fisica?
il nostro punto di partenza.
Le equazioni, in fisica, esprimono delle relazioni tra le
GRANDEZZE FISICHE.
Tutta la descrizione matematica della fisica è resa possibile
dall’esistenza delle
GRANDEZZE FISICHE.
Non sarà allora che esaminando direttamente le
GRANDEZZE FISICHE
si possa scoprire la ragione delle analogie?
Ecco il nostro punto di partenza: le
GRANDEZZE FISICHE.
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costanti e variabili
Le grandezze fisiche si dividono in due grandi categorie:
GRANDEZZE
COSTANTI e PARAMETRI
VARIABILI
parametri di sistema,
costanti universali,
costanti materiali,
coefficienti,
moduli,
fattori,
ecc.
potenziali,
variabili statiche,
variabili dinamiche,
variabili energetiche,
variabili cinematiche,
variabili elettromagnetiche,
ecc.
Noi ci occuperemo delle variabili.
...
il processo di creazione delle variabili fisiche:
i flussi
I flussi, di qualunque grandezza fisica, quali:
• un flusso di energia,
• un flusso di massa,
• un flusso di entropia,
• un flusso di quantità di moto,
• un flusso elettrico,
• un flusso magnetico,
• un flusso di carica,
• un flusso di neutroni in un reattore nucleare,
• un flusso di probabilità in meccanica quantistica,
• ecc.
sono sempre riferiti ad una superficie.
...
il processo di creazione delle variabili fisiche:
i contenuti
l contenuti, di qualunque variabile fisica, quali:
• il contenuto di energia,
• il contenuto di massa,
• il contenuto di entropia,
• il contenuto di quantità di moto,
• il contenuto di carica,
• il contenuto di probabilità in meccanica quantistica,
• il contenuto di neutroni in un reattore nucleare,
• ecc.
sono sempre riferiti ad un volume.
...
il processo di creazione delle variabili fisiche:
le circolazioni
le circolazionie di un vettore lungo una linea, quali:
• la circolazione della forza,
• la circolazione della velocità nei fluidi,
• la “forza elettromotrice”
• la “forza magnetomotrice”
• l’allungamento di un segmento nella meccanica
dei solidi deformabili
• ecc.
sono sempre riferite ad una linea.
...
il processo di creazione delle variabili fisiche:
i potenziali
• il potenziale elettrico,
• il potenziale gravitazionale,
• il potenziale della velocità nei fluidi,
• il potenziale scalare magnetico
• il potenziale termico ovvero la temperatura
• lo spostamento nella meccanica dei solidi deformabili
• ecc.
sono sempre riferiti ad un punto.
...
quindi le variabili fisiche
sono associate agli elementi spaziali
Si vede allora che le variabili fisiche “globali”
sono associate ai quattro elementi spaziali:
punti
P
(potenziali)
linee
L
(circolazioni)
superfici
S
(flussi)
volumi
V
(contenuti)
...
le variabili fisiche
sono associate agli elementi spaziali
A rimarcare questa associazione sta il fatto
che noi formiamo le densità dividendo le variabili
“globali” per l’estensione dell’elemento spaziale
e, successivamente, passando al limite
facendo tendere a zero l’estensione dell’elemento spaziale.
Nascono così:
la circolazione per unità di lunghezza,
il flusso per unità di area,
il contenuto per unità di volume.
...
la creazione delle densità …
Domanda:
Per quale motivo noi formiamo le densità puntuali
di linea, di superficie, di volume ?
Risposta:
Per liberarci della geometria
che è “attaccata” alle variabili “globali”
ed ottenere in tal modo delle funzioni del punto.
...
…per la formulazione differenziale
Domanda:
Per quale motivo vogliamo le funzioni di punto ?
Risposta:
perché queste rendono possibile la formazione delle derivate
totali o parziali e quindi l’uso delle equazioni differenziali.
Conclusione:
Ecco la ragione che ci spinge a formare le densità !
… rendere possibile la formulazione differenziale.
...
cosa abbiamo perduto?
Senonché:
nel momento stesso in cui ci siamo liberati della geometria
per “soddisfare le brame” della formulazione differenziale,
abbiamo nascosto l’informazione fondamentale
e cioè che le variabili fisiche
nascono associate agli elementi spaziali.
Come vedremo,
è proprio l’associazione agli elementi spaziali
che rende possibile la spiegazione delle analogie in fisica !
...
definiamo le variabili globali
Def: chiameremo variabili GLOBALI
tutte le variabili che non sono densità.
...
orientazione
degli elementi spaziali
...
Gli elementi spaziali si possono orientare
Gli elementi spaziali si possono dotare di orientazione.
Vi sono due tipi di orientazione di un elemento spaziale:
1. orientazione interna
2. orientazione esterna.
...
Gli elementi spaziali si possono orientare
orientazione interna
orientazione esterna
point P
volume V
L
line L
surface S
S
surface S
P
V
volume V
line L
V
S
L
P
point P
...
le variabili fisiche si possono dividere in tre classi:
Variabili
energetiche
Variabili di
configurazione
Variabili di
sorgente
...
le tre classi di variabili
Variabili di
configurazione
vettore raggio
angoli di Eulero
velocità
velocità angolare
tensore di deformazione
velocità di deformazione
temperatura
potenziale elettrico
induzione magnetica
dilatazione cubica
velocità di dilatazione cubica
ecc.
Variabili
energetiche
lavoro
energia potenziale
energia cinetica
entalpia
energia libera
funzione di Gibbs
azione
ecc.
Variabili di
sorgente
forza
momento
quantità di moto
momento angolare
tensore degli sforzi
pressione
impulso
massa
carica elettrica
spostamento elettrico
densità di corrente
ecc.
...
… e qui c’è una piacevole sorpresa:
si constata che le variabili di configurazione sono associate agli elementi
spaziali dotati di orientazione interna mentre quelle di sorgente
sono associate agli elementi spaziali dotati di orientazione esterna
P
L
V
Si constata che
le variabili di
configurazione
S
sono naturalmente
associate agli elementi
spaziali e temporali
dotati di orientazione
V
interna.
Si constata che
le variabili di
S
sorgente
sono naturalmente
associate agli elementi
spaziali e temporali
dotati di orientazione
L
esterna.
P
...
evidenziamo gli elementi spaziali
Nella formulazione differenziale i punti sono protagonisti
in quanto si utilizzano funzioni di punto. Per poter utilizzare
la matematica occorre associare ai punti dei numeri, le
coordinate. Nascono così i sistemi di coordinate.
Usando le funzioni di dominio occorre descrivere gli
elementi spaziali, non solo i punti.
Lo strumento più naturale è costituito dai complessi di celle.
...
ora entrano in campo i complessi di celle
I complessi di celle
...
il complesso primale: orientazione interna
2D
3D
Dividiamo la regione
di piano o di spazio
in cellette, ad esempio
in triangoli, rettangoli,
tetraedri, esaedri.
Otteniamo un
complesso di celle
Dotiamo ogni elemento
che compone il complesso
di una orientazione interna.
...
il complesso duale: orientazione esterna
2D
3D
Per ogni triangolo consideriamo
il circocentro: congiungendo
i circocentri di due triangoli
adiacenti costruiamo
un complesso duale:
il complesso di Voronoi.
Ne viene che ogni elemento
del complesso duale
è automaticamente dotato
di orientazione esterna
indotta da quella interna
del corrispondente
elemento primale.
...
classificazione degli elementi spaziali
complesso primale
orientazione interna
P
punto
L
linea
S
superficie
V
volume
complesso duale
orientazione esterna
volume
~
V
superficie
~
S
linea
~
L
punto
~
P
...
classificazione delle variabili fisiche: elettrostatica
= electrical
potential
configuration variables
primal cell complex
inner orientation
Q = electric
charge
P
L
V = voltage

V
source variables
dual cell complex
outer orientation
Q
Y
~
V
~
S
S
~
L
Y = electric V
~
P
flux
...
classificazione delle variabili fisiche: conduzione termica
configuration variables
primal cell complex
inner orientation
T = temperature
S = heat
production
P
L
P = temperature
difference
Q = heat
T
P
source variables
dual cell complex
outer orientation
S
Q
~
V
~
S
S
~
L
V
~
P
...
Conduzione termica stazionaria
Poisson
Variabili di configurazione
Complesso primale
k  T  p
2
Variabili di sorgente
Complesso duale
Equazione fondamentale
P
V
Sorgente
termica
T
p
R  T
 q  p
temperatura
L
gradiente
temperatura
R
S
Fourier
q  k R
q
Densità di
flusso
...
elettrostatica
Poisson
Variabili di configurazione
Complesso primale
    
2
Variabili di sorgente
Complesso duale
Equazione fondamentale
potenziale
elettrico

V
P
L
E
densità di
carica
D  
E  
intensità
campo
elettrico

D E
S
D
Spostamento
elettrico
...
conclusione:
Le variabili fisiche globali
sono naturalmente riferite agli elementi spaziali,
Punti, Linee, Superfici, Volumi.
Da questa associazione nasce il fatto che le relazioni tra
le grandezze fisiche di due teorie siano le stesse.
Questo spiega l’esistenza delle analogie in fisica.
fine
...