Rank Dependent Theory
Rischio, incertezza e mercati
finanziari
Sensibilità alle probabilità versus
sensibilità agli outcomes (risultati)
• Nella EU rappresentiamo l’avversione al
rischio con la sensibilità alla moneta, infatti un
individuo avverso al rischio ha una funzione di
utilità con utilità marginale decrescente. Gli
psicologi (Lopes 1987) sostengono che
l’avversione al rischio deve essere
rappresentata prendendo in considerazione la
sensibilità alle probabilità.
Funzione di distribuzione
decumulativa di un prospetto
• Consideriamo un prospetto con n risultati monetari e n
probabilità: p1 x1…pn xn
E supponiamo che gli outcomes siano ordinati in modo che x1
> x2 > x3 ….> xn riportando su un grafico gli outcomes sull’asse
delle ordinate e le probabilità sull’asse delle ascisse (grafico
5.2.1), se questo grafico viene roteato come in 5.2.2.a e poi
girato otteniamo il grafico 5.2.2.b che rappresenta la funzione
di distribuzione decumulativa del prospetto.
L’area sottostante gli istogrammi rappresenta il V.A. del
prospetto, se a x sostituiamo u(x), l’area sottostante gli
istogrammi rappresenta la U.A..
Se vogliamo considerare la sensibilità alle probabilità
dovremmo pesare le probabilità.
.
Funzione che pesava la probabilità
usata dagli psicologi
𝑛
𝑤 𝑝 ∗𝑥
𝑘=1
Il problema di questa funzione era che violava
l’assioma di dominanza stocastica
Condizione di Dominanza Stocastica
• Un prospetto rischioso x domina
stocasticamente un altro prospetto rischioso y,
se x può essere ottenuto da y attraverso uno
spostamento di probabilità dall’outcome
peggiore a quello migliore
• Assumiamo che w(p) è diverso da p (figura 5.2.4) quindi
w(p) non è una funzione lineare.
• Quindi: W(p1+p2)≠W(p1)+ W(p2) e consideriamo il caso in
cui
• W(p1+p2)>W(p1)+ W(p2)
• Vedi fig. 5.3.1. dato che W(p1+p2)>W(p1)+ W(p2)
• Il prospetto con x1=x2 sarebbe valutato di più di quello dove
x1>x2 !!!!!
Utilizzare una funzione come la seguente 𝑛𝑘=1 𝑤 𝑝 𝑈(𝑥) non
ha risolto il problema (Prima versione della ProspectTheory)
Rank
• Supponete di dover estrarre una carta da un
pacco di 100 carte numerate, nel seguente
prospetto la probabilità di ricevere un
outcome > x è il suo rank (o good news
probability), se x=20 il rank è 3/5
carte
1-20
21-40
41-60
61-80
81-100
risultati
80
60
40
20
0
Utilità attesa: possiamo esprimere i
pesi come differenza tra due rank
• Consideriamo il seguente prospetto rischioso
(1/6,€80; ½,€30; 1/3,€20)
• Nella teoria dell’utilità attesa (UA) il peso
dell’utilità di un outcome può essere espresso
come la differenza tra 2 rank:
• UA=1/6*U(80)+[(1/2+1/6)-1/6]*U(30)+
)+[(1/2+1/6+1/3)- (1/2+1/6)]U(20)
Rank Dependent Utility Theory
• Nella Rank Dependent Utility il peso dell’utilità
è la differenza tra due rank trasformati (pesati)
con la funzione w «probability weighting
function»
• Il primo rank trasformato è la probabilità di
ricevere l’outcome (es. 20) o ogni outcome
migliore; il secondo rank trasformato è la
probabilità di ricevere ogni rank migliore.
Questo peso si chiama peso decisionale
Rank Dependent Utility Theory(RDUT)
• La differenza fondamentale con la teoria
dell’Utilità Attesa è che nella Rank Dependent
il valore (utilità attesa) del prospetto rischioso
non è lineare rispetto alle probabilità. Questo
proprio perchè si usano dei pesi diversi dalle
probabilità
La funzione di ponderazione delle
probabiltà (w(p))
deve soddisfare le seguenti proprietà:
1. W(1)=1 il peso dell’evento certo è 1
2. W(0)=0 il peso dell’evento impossibile è zero
3. Deve essere strettamente crescente per non
violare la dominanza stocastica.
Proprietà dei pesi decisionali
• Dipendono dalla funzione di ponderazione
della probabilità e dal ranking dell’evento (che
coincide con la funzione cumulata di
probabilità)
• La somma di tutti i pesi decisionali deve
essere =1
• Il peso dell’evento migliore x1 (indicato con il
pedice 1) coincide con la funzione di
ponderazione π1 =w(p1 ) per quell’evento.
Il peso dell secondo evento x2 si ottiene
partendo da π2 + π1 =w(p1 + p2 )
Sostituendo π1 =w(p1 ) si ha:
π2 = w(p1 + p2 )- w(p1 )
Generalizzando si ha
Πj=
𝑗
𝑖=1 𝑤(𝑝𝑖)
−
𝑗−1
𝑖=1 𝑤(𝑝𝑖)
Utilità attesa nella RDEU
• 𝑛𝑖=1 π𝑖 U(x𝑖 )
• Gli outcome vengono ordinati in ordine
decrescente associando a ciascuno il peso
decisionale ( vedi fig.5.5.3 e 5.5.4.)
• Il peso decisionale di un outcome è il
contributo marginale della probabilità relativa
a quel outcome al suo rank, e quindi è la
differenza tra due pesi di due rank