Università degli studi di Perugia
Facoltà di Economia
Corso di laurea magistrale in finanza e statistica
Valutazione dei prodotti e dell’impresa di assicurazione
Le basi tecniche delle assicurazioni
sociali
A cura di: Daniele Barbacci, Michele
Berettoni, Daniele Maranghi e Luigi Zebi.
L’invalidità costituisce causa di eliminazione dalla
collettività degli assicurati;
2) Le rendite di invalidità si prolungano oltre l’età di
vecchiaia per tutta la durata della vita dell’individuo;
3) Le prestazioni sono concesse senza periodi di attesa
consistono solo in pensioni o rendite e competano
soltanto agli individui, ai vecchi e ai nuclei superstiti
degli assicurati e dei pensionati;
4) Le modalità di fissazione dei premi viene considerato il
caso che questi siano stabiliti in percentuale dei salari.
1)
LA POPOLAZIONE ASSICURATA
Dati: α (età min per entrare in assicurazione), ξ (età max di
appartenenza all’assicurazione), ω (età max raggiungibile
dai pensionati); E’ possibile determinare per tutte le età x
comprese tra α e ξ-1 la probabilità qax (probabilità totale
di eliminazione):
a
a
a
a
q x= i q x + d q x + w q x
E’ possibile costituire una tavola di permanenza in
assicurazione lax per mezzo della relazione:
lax+1 = lax (1 – qax)
Si indichi infine con va(m)x la generazione di nuovi
assicurati entrante all’inizio di ogni anno di gestione (con
α < x < ξ-1 e m corrispondente alle varie epoche di
ingresso).
Ipotesi generali
Sotto queste condizioni si possono determinare i singoli
elementi che vanno a formare la distribuzione della
popolazione assicurata e il numero complessivo di tale
popolazione basandosi su 4 ipotesi:
 Ipotesi 1: ingresso di una generazione composta da
individui di una sola età, in un determinato anno;
 Ipotesi 2: ingresso di generazioni composte da
individui di una sola età, in tutti gli anni;
 Ipotesi 3: ingresso di una generazione composta da
individui di tutte le età, in un determinato anno;
 Ipotesi 4: ingresso di più generazioni composte da
individui di tutte le età, in tutti gli anni.
IPOTESI 1
Data una generazione entrata al tempo m – t è evidente
che al tempo m la popolazione assicurata sarà
costituita da un solo gruppo di individui di età y=x+t e
di anzianità di assicurazione t, determinato come
segue:
a
n
a(m)
y ,t
v
a ( m ,t )
x
ly
l
a
x
Corrispondente al numero complessivo di assicurati
indicato con Ina(m).
IPOTESI 2
Ai tempi 0, 1, … , m - 1 entrano rispettivamente va(0)x, va(1)x, …,
va(m-1)x individui di età x, costituenti le singole generazioni dei
vari anni.
La distribuzione della popolazione assicurata sarà quindi
costituita da una sola diagonale di una tabella a doppia entrata
che tenga conto delle due variabili età (righe) e anzianità
(colonne). Sommando i termini generici na(m)y,t di ogni anno
otteniamo:
a
a
a ( m 1)
a
a ( m2)
a ( m   x )
II
n
a(m)
v
a(m)
x
 l x 1 v x
l v x
l x  2 vx
 ...  a
 a a(m)  a
a(m)
lx vx
l x v xa ( m )
 l x v x
a(m)
a x,v come
Definendo l’espressione tra parentesi
il
valore attuale di una rendita posticipata unitaria
(m)
v
(
m
)
(calcolato tramite la legge Lx (t )  a (xmt ) ) otteniamo:
II
n
a ( m)
v
vx
a ( m) a ( m)
x
x ,v
a



IPOTESI 3
(Una sola generazione entrata al tempo m – t e composta
da individui di età comprese tra α e ξ-1)
Al tempo m tutti gli assicurati avranno la stessa anzianità
t, rappresenteranno cioè una sola colonna della tabella
a(m)
a doppia entrata. Il termine generico n y,t per x che
varia tra α e ξ-t e quindi y tra α+t e ξ (con t>ξ-α) sarà
quindi:
 t
III
n
a(m)
 v
x 
a ( m t )
x
IPOTESI 4
Si supponga che sia m > ξ-α e che ai singoli tempi 0, 1, 2,
…, m-1 siano entrate in assicurazione m generazioni di
nuovi assicurati di età comprese tra α e ξ-1. Al tempo m
si avranno assicurati di tutte le età e di tutte le
anzianità (nella tabella a doppia entrata saranno
presenti tutte le diagonali e tutte le
colonne).L’elemento generico della distribuzione
na(m)y,t per x che varia tra α e ξ-1, e t tra 1 e ξ-x sarà
quindi:
 1
IV
n
a(m)
 v
x 
a(m)
x
a
a(m)
x ,v
m   
È indispensabile determinare:
• esistenti hai singoli tempi e i nuovi pensionati ad ogni anno.
• Espressioni dell’elemento generico di ciascuna distribuzione, età ed
anzianità di assicurazione (nuovi pensionati), età ed anzianità di
assicurazione e pensionamento (pensionati esistenti) e di un
raggruppamento intermedio per la popolazione pensionata.
Convenzioni:
• I numeri dei nuovi pensionati diretti e indiretti all’anno m, m+1 si
suppongono concentrati all’epoca m (nuovi pensionati al tempo m).
• Gli ingressi nella situazione di pensionato diretto e indiretto al tempo m
si immaginano avvenuti dopo l’ingresso dei nuovi assicurati alla stessa
epoca (pensionati diretti e nuclei diretti dell’assicurato), dopo l’ingresso
dei nuovi assicurati e dei nuovi pensionati diretti alla stessa epoca (nuclei
superstiti del pensionato).
• I numeri dei pensionati diretti e indiretti esistenti al tempo m, sono riferiti
alla fine dell’anno m-1.
Al tempo m gli individui che entrano in blocco nello stato di pensionato e
che hanno età y = x+t e anzianità di assicurazione t, sono dati dunque da:
Ipotesi 1: una sola generazione entrata al tempo m-t, Ivi(m) è il numero
complessivo dei nuovi pensionati.
Ipotesi 2: da 0 a m siano entrate m+1 generazioni di nuovi assicurati e che
sia m > ξ-x e occorrerà moltiplicare ciascun termine per iqya ed aggiungere
il termine relativo ai nuovi pensionati che provengono dagli entrati in
assicurazione al tempo m; avremo:
Ipotesi 3 e 4: per m> ξ-α si avrà:
Pensionati diretti esistenti
Tempo m, con anzianità di pensionamento τ, anzianità di assicurazione t ed
età z=x+t+τ.
Espressione che si annulla per t > ξ-x, per t+τ > ω-x perché lzi è nulla per le
età superiori a ω.
Ipotesi 1:
I𝑛
𝑖(𝑚)
= 𝑣𝑥
𝑎 (𝑚 − 𝜏 − 𝑡 )
𝑙𝑦 𝑎
𝑧−1,𝜀
𝑦=𝑥
𝑞
𝑙𝑥 𝑎 𝑖 𝑦
𝑎 𝑙𝑧
𝑖
𝑙𝑦 𝑖
Ipotesi 2: m generazioni entrate ai tempi 0,1,…m-1 e sia m > ω-x.
𝐼𝐼 𝑛
𝑖(𝑚)
= 𝑣𝑥
𝑎 (𝑚 ) 𝑎
𝑥,𝑣
𝑎𝑖 (𝑚)
Ipotesi 3: con m > ω − 𝑥
𝜀−1,𝜔−𝑡−𝜏
𝑥=𝛼
𝑎
𝑙𝑧(𝑥) 𝑖
𝑙
)
𝑦
𝑧
𝑚
−1,𝜀
𝜏
𝑞
𝑦=𝑥m > ω-α
Ipotesi 4: con
𝑙 𝑎𝑖 𝑦 𝑙 𝑖
𝑖(𝑚) =
𝑛
𝐼𝐼𝐼
𝑥
𝑦
𝐼𝑉 𝑛
𝑖(𝑚)
𝑣𝑥
𝑎 (𝑚 − 𝑡 −
𝜀−1
=
𝑣𝑥
𝑥=𝛼
𝑎 (𝑚 )𝑎
𝑥,𝑣
𝑎𝑖 (𝑚)
• Gruppo dei superstiti degli assicurati, al quale
appartengono nuclei titolari di rendite di famiglia
• Gruppo dei superstiti dei pensionati, al quale
appartengono nuclei titolari di rendite di
reversibilità
• Il complesso di questi nuclei costituisce la
popolazione dei pensionati indiretti
NUCLEI FAMILIARI SUPERSTITI
DEGLI ASSICURATI
Gruppo degli assicurati morti con famiglia
v F ( m) 
z 1, 1
a ( m t ) a
a
a
V
(
l
/
l
)
q
 x
y
x df y
yx
Numero complessivo degli assicurati morti con famiglia
n F ( m) 
z 1, 1

yx
(l ya / l xa ) df q ya (l zF / l yF )
Dove Dfqay rappresenta la probabilità di morire lasciando
famiglia, mentre lF sono le tavole di eliminazione dei nuclei
familiari
NUCLEI FAMILIARI SUPERSTITI DEI
PENSIONATI
Nuclei familiari superstiti di pensionati
V
F ( m)

 1, t 
a ( m t  )
V
 x
yx
z ( x ),

yx
(l ya / l xa ) i q ya df q ya
Numero complessivo dei nuclei familiari superstiti di pensionati
n f ( m)  vxa ( mt  ) (l ya / l xa )i q ya (l z / l y ) df qzi
Dove z è l’età dei pensionati, t è l’anzianità di assicurazione, τ è
l’anzianità di pensionamento
Analizziamo i metodi di valutazione per determinare
gli impegni del fondo e l’importo dei contributi
necessari per farvi fronte. Le principali metodologie
sono:
•
•
•
•
•
METODO DEL PAGAMENTO CORRENTE
METODO DELL’ACCANTONAMENTO INIZIALE
METODO DELL’ACCANTONAMENTO A TERMINE
METODI DI VALUTAZIONE DEI DIRITTI
MATURATI
METODI DI VALUTAZIONE DEI DIRITTI
PROIETTATI
ANALISI DEI METODI DI VALUTAZIONE
 Metodo del pagamento corrente
L’importo del contributo è pari alla somma
dell’ammontare delle prestazioni, erogate
nell’anno e delle spese di amministrazione di
competenza dell’esercizio
• Metodo dell’accantonamento iniziale
Si versano in un’unica soluzione i contributi
necessari per far fronte all’erogazione della sua
pensione a partire dall’età di pensionamento.
• Metodo dell’accantonamento finale
Tutti i contributi verranno versati al momento
dell’entrata in quiescenza, data in cui si registra
l’intero costo.
Metodi di valutazione dei diritti maturati
Costi e passività sono determinati sulla base di
prestazioni maturate (variabili indipendenti) e sul
costo (variabile dipendente).
METODO DELL’UNITA’ DI CREDITO PROIETTATA
Ogni anno di servizio da vita ad un’unità aggiuntiva di
diritto pensionistico che è valutata separatamente per
costruire l’obbligazione pensionistica totale.
METODO DELL’UNITA’ DI CREDITO CORRENTE
Simile al precedente ad esclusione del fatto che le
prestazioni maturate sono valutate sulla base dei
livelli salariali correnti.
Metodi di valutazione dei diritti proiettati
1.
METODO DELL’ETA’ NORMALE D’ENTRATA
2.
METODO DEL PREMIO INDIVIDUALE UNIFORME
3.
METODO AGGREGATO
4.
METODO DELL’ETA’ RAGGIUNTA
Si assume che ogni dipendente sia entrato nel fondo
pensione non appena assunto o non appena abbia
acquisito il diritto ad entrarvi.
imputa il costo di ciascuna prestazione
pensionistica lungo il periodo che va dalla data di
entrata nel fondo alla data di pensionamento.
Usa gli stessi principi del metodo individuale ma si
applica al complesso dei partecipanti al fondo
pensione.
E’ simile al precedente con l’eccezione che il costo
del servizio passato è calcolato a parte.
Fonti:
MARIO A. COPPINI, MARCO MICOCCI, Tecnica delle
Assicurazioni sociali, Aspetti attuariali ed economicofinanziari.
GRAZIE
PER
L’ATTENZIONE