Uso degli strumenti per una didattica
sensata della matematica in una
prospettiva di curricolo verticale
Domingo Paola
Liceo scientifico “A. Issel” – Finale Ligure
G.R.E.M.G. – Dipartimento di matematica
Università di Genova
Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo
1. L’essere umano è, al tempo stesso, un essere fisico,
biologico, culturale, sociale, storico. Le molteplici
dimensioni della natura umana devono essere presenti in
ogni proposta educativa culturalmente forte e, quindi, in
particolare, nell’insegnamento apprendimento della
matematica.
2. Le differenze culturali responsabili sia della ricchezza
delle idee nel mondo, sia dei fenomeni di intolleranza e
incomprensione, possono essere ricondotte a una
matrice unitaria che potrebbe consentire di gestire
positivamente le differenze. La matrice unitaria è la
nostra natura fisica e biologica
Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo
3. La diffusione del sapere e delle conoscenze, soprattutto,
ma non solo, grazie ai nuovi sistemi di comunicazione,
porta inevitabilmente a considerare il problema
dell’integrazione delle diverse culture che vengono ormai
sempre più spesso e sempre più facilmente a contatto. Ogni
progetto educativo non può non tenere in considerazione le
tensioni che ci sono tra i diversi contesti nel quale si
formano e dai quali vengono comunicate le conoscenze e il
processo di globalizzazione che, inevitabilmente, la facilità
di comunicazione comporta.
4. Non è possibile isolare la matematica dalle altre discipline
Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo
5. Dobbiamo insegnare a prendere decisioni in condizioni
di incertezza, perché la velocità dell’evoluzione
culturale comporta rischi e potenzialità che può non
essere semplice comprendere completamente e di cui è
possibile, ma non semplice, prevedere i risultati.
6. È necessario prestare attenzione non solo agli aspetti
legati ai contenuti, ma anche agli aspetti emotivi,
relazionali, affettivi, perché tali aspetti condizionano
spesso la comprensione, l’apprendimento e la
motivazione verso lo studio.
Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo
7.
Si deve favorire la capacità che l’uomo ha di porsi e di
risolvere problemi, stimolando la creatività e la curiosità.
Si devono inoltre creare ambienti di apprendimento nei
quali gli allievi si sentano motivati a comunicare le proprie
idee. È quindi necessario passare dalle tradizionali forme
di accertamento a forme maggiormente significative e che
consentano di accertare realmente il conseguimento di
determinate competenze.
8.
Si deve porre enorme attenzione alla ricerca sull’uso degli
strumenti, in particolare delle nuove tecnologie, ma più in
generale degli strumenti che, in una prospettiva
vygotskiana agiscono come mediatori nel processo di
acquisizione di conoscenza.
Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo
9. La valutazione dovrà spostarsi sul sistema formativo,
prima ancora che sulla valutazione delle competenze
dello studente.
10. È necessario fare un’opera di divulgazione e di
diffusione presso l’utenza: capillare e seria, perché ogni
innovazione non può avvenire senza informare chi
fruirà di questa innovazione e convincere della necessità
o dell’opportunità dell’innovazione.
m  0  m

m  s(n)  s(m  n)
Scuola elementare: ingranaggi e avvio alla
dimostrazione
Da un’idea di Mariolina Bartolini Bussi, Mara Boni, Franca Ferri e Rossella Garuti
gli ingranaggi concreti devono essere trasformati in
strumenti di mediazione semiotica dialogici
Addizioni di un numero naturale con 10 o con multipli di 10
3 + 10 = 13
23 + 10 = 33
92+10 = 102
211 + 10 = 221
391 + 10 = 401
990 +10 = 1000
3 + 20 = 23
23 + 20 = 43
92 + 20 = 112
211 + 20 = 231
391 + 20 = 411
981 +20 = 1001
5 + 100 = 105
28 + 100 = 128
199 + 100 = 299
901 + 100 = 1001
145 + 100 = 245
Le tabelline della moltiplicazione
La tavola pitagorica come ambiente da
esplorare, in cui osservare regolarità e come
strumento di risoluzione di semplici problemi
Per
studentisepiù
grandi.
Osservazione
• Determina,
esiste,
in numero
che moltiplicato
per
. 5 dà
. 20
2 2 - 1 1 = 3; 3.3-2.2 = 5; 4.4- 3.3 = 7;
• Parti da 5 e addiziona 5 alla calcolatrice. Riesci
Generalizzazione
a ottenere 70? E 63? Perché?
n2 - (n-1)2 = 2. n -1,
e resto di moltiplicazione in
EQuoziente
le procedure
Determinare
colonna? il più grande numero che moltiplicato
per 3 dà un prodotto non maggiore di 25;
determinare la differenza tra 25 e il prodotto così
ottenuto
13 . 15 = (10+3) . (10+5) =
= 10 . (10+5) + 3 . (10+5) =
10
= 3 . (10+5) + 10 . (10+5) =
3
= 3 . 5+3 . 10 + 10 . 5 + 10 . 10 =
10
100 30
130
= 15+30 + 50 + 100 =
5
50
65
= 45 + 150 = 195
15
150 45
195
A turno, ciascun coordinatore di ogni gruppo si è mosso
rispetto al sensore, osservando la traccia del proprio
movimento proiettata su un muro dell'aula grazie a un
view screen posto su una lavagna luminosa e collegato
alla calcolatrice. La consegna prevedeva che anche gli
altri studenti osservassero attentamente, dal proprio
banco, il movimento dei coordinatori e la traccia
descritta sul muro dell'aula.
Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per
riflettere e discutere su quanto avevano fatto o visto fare.
La consegna era quella iniziare ad avanzare ipotesi (o di
confrontare
quelle
eventualmente
già
pensate
individualmente durante la precedente attività) sul come e
perché il movimento fosse legato al grafico osservato sul
muro.
A turno, tutti gli alunni che nella prima attività si erano limitati
semplicemente a osservare il movimento dei coordinatori dei
gruppi di lavoro, sono stati chiamati a compiere essi stessi il
movimento. Inizialmente, però, il sensore non è stato messo in
funzione: i compagni di gruppo (eventualmente anche di altri
gruppi) dovevano disegnare un grafico tempo-posizione che
rappresentasse il movimento. Subito dopo, lo stesso movimento
veniva riprodotto con il sensore in funzione, in modo che gli
studenti potessero confrontare la traccia ora disegnata sul muro
con il grafico tempo-posizione prima prodotto.
Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppo
per
rispondere
a
domande
riguardanti
l'interpretazione di alcune caratteristiche grafiche
delle tracce osservate sul muro (per esempio, che
cosa suggerisce un segmento orizzontale, uno
obliquo, oppure un tratto di curva e così via…)
A turno, i coordinatori di ciascun gruppo si sono mossi con il sensore
in funzione e con la traccia proiettata alle loro spalle, in modo tale che
essi, al contrario dei compagni, non potessero osservare la traccia
prodotta dal proprio movimento. I coordinatori dovevano descrivere
verbalmente, al tempo stesso, i propri movimenti e le caratteristiche
significative della traccia proiettata sul muro e visibile a tutti gli altri
studenti. I compagni di gruppo dovevano prendere nota di eventuali
errori commessi dal coordinatore per poi discuterne al termine
dell'esperienza.
A turno, ogni studente doveva cercare di riprodurre, con il proprio
movimento, un grafico tempo-posizione generato dalla calcolatrice.
A turno, ciascun coordinatore si è mosso e i compagni di gruppo
hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia proiettata sul
muro durante il movimento del coordinatore. Al termine del
movimento, il coordinatore, utilizzando una specifica funzione
fornita dalla calcolatrice, ha rilevato un certo numero di coppie di
dati "tempo-posizione". I dati i raccolti sono elaborati in classe
dagli studenti, con l'aiuto l'insegnante, in successive lezioni.
Cabri e la geometria
Verificare che: un parallelogramma ha un centro di simmetria, ma non è
simmetrico rispetto alla retta che congiunge i punti medi di due lati
opposti
 un triangolo equilatero è simmetrico rispetto alle sue altezze, ma non
rispetto al suo centro
 le mediane di un triangolo passano per uno stesso punto
 le bisettrici di un triangolo passano per uno stesso punto
 le altezze di un triangolo passano per uno stesso punto
 le altezze, le bisettrici e le mediane relative a un lato di un triangolo
coincidono se il triangolo è equilatero (come faccio a verificare che la
condizione "triangolo equilatero" è anche necessaria affinché altezze,
mediane e bisettrici relative a un lato coincidano?)
Classificare i quadrilateri in base:

alle proprietà di parallelismo, perpendicolarità,
congruenza dei lati

alle simmetrie

ai gradi di libertà dei vertici
Riflessione: un parallelogramma è un particolare trapezio?
Disegnare, in una stessa circonferenza, un poligono A e il poligono
regolare B avente lo stesso numero di lati di A. Che relazione esiste
fra le aree dei due poligoni?
Problemi aperti
Sia dato un quadrilatero ABCD e siano L, M, N e P
rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA.
Proposta di lavoro
1.
Quali proprietà ha il quadrilatero LMNP?
2. Quali configurazioni particolari assume il quadrilatero
LMNP?
3.
Quali ipotesi sul quadrilatero ABCD occorre fare
affinché LMNP assuma tali configurazioni particolari?
Situazione: ... troverai un melo M, un pino P e una quercia Q. Da M
dirigiti in linea retta fino a raggiungere P. Qui gira verso la tua destra di
90 gradi e percorri un segmento uguale a MP. Pianta in questa posizione
un paletto P1. Quindi ritorna in M e dirigiti verso Q in linea retta.
Giunto in Q gira a sinistra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a
MQ. Pianta, in questa posizione un paletto P2. Il tesoro T si trova nel
punto medio del segmento P1P2.
M
Q
P
P2
T
P1
Problema: Ariele giunge sull’isola e non trova più il melo M. Potrà
trovare ugualmente il tesoro? Come e perché?