Matematica della Distanza
Fabio Bagagiolo
Università degli Studi di Trento
Liceo Scientifico “G. Galilei” – Belluno
Febbraio 2007
MATEMATICA
• “Disciplina che si avvale di metodi
deduttivi per lo studio di insiemi dotati di
strutture e per l’applicazione dei suoi
risultati alle scienze.”
DISTANZA
• “Intervallo di spazio che intercorre tra due
cose, luoghi o persone”.
• (mat.) - di due punti, “lunghezza del
segmento che ha per estremi i due punti”.
• Vedremo che non ci occuperemo solo di
punti e di segmenti che li uniscono.
MATEMATICA DELLA DISTANZA
• Potremmo dire che matematica della
distanza significa “disciplina che si avvale
dei metodi deduttivi per lo studio di insiemi
dotati della struttura distanza, cioè studio
degli spazi che intercorrono tra gli
elementi dell’insieme”.
• Daremo un breve cenno alla definizione
astratta di insiemi dotati della struttura di
distanza, gli spazi metrici.
Indice
• Distanza di due punti nel piano: come si
calcola;
• Altri tipi di “distanze”;
• Generalizzazione del concetto di distanza:
proprietà che esso deve soddisfare;
• Argomenti correlati: topologia, curve di
lunghezza minima, geometrie non
euclidee, approssimazione.
DISTANZA DI DUE
PUNTI NEL PIANO
Distanza euclidea nel piano
(teorema di Pitagora)
( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2
y
y2
( x2 , y2 )
y2  y1
y1
( x1 , y1 )
x1
x2  x1
x2
x
Euclide di Alessandria
325 a. C. circa – 265 a. C. circa
Pitagora di Samo
569 a. C. circa – 475 a. C. circa
Distanza euclidea nello spazio
3D
• La distanza di due
punti P e Q, di
coordinate
rispettivamente
(x
1
, y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
• è
( x1  x2 )  ( y1 y2 )  ( z1  z 2 )
2
2
2
( x1  x2 ) 2  ( y1 y2 ) 2  ( z1  z 2 ) 2
z2
z1
Q
z1  z2
P
y1
y2
x1
x2
( x1  x2 )  ( y1  y2 )
2
2
• La distanza (euclidea)
di due punti è:
• la radice quadrata
della somma dei
quadrati delle
differenze delle
coordinate omonime
dei punti
( x1  x2 ) 2  ( y1 y2 ) 2  ( z1  z 2 ) 2
( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2
ALTRI TIPI DI DISTANZE
Tassista a Manhattan
Il Tassista a Manhattan
B
A
Il Tassista a Manhattan
B
???
A
Il Tassista a Manhattan
B
Distanza (A,B):
Tre blocchi verticali +
Tre blocchi orizzontali
Ogni blocco 2 dollari.
Totale: 12 dollari
A
Il Tassista a Manhattan
B
Distanza (A,B):
Tre blocchi verticali +
Tre blocchi orizzontali
Ogni blocco 2 dollari.
Totale: 12 dollari
A
Cosa significa nel piano
Cartesiano?
• Distanza del tassista
A  ( x1 , y1 )
y1
B  ( x2 , y2 )
y2
x1
x2
dT ( A, B)  dT ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) | x1  x2 |  | y1  y2 |
Distanza euclidea e distanza del
tassista
2
A=(5,2)
B=(7,1)
1
5
d ( A, B)  (5  7) 2  (2  1) 2  5
dT ( A, B) | 5  7 |  | 2 1 | 3
7
(distanza euclidea)
(distanza del tassista)
Il Tassista in Promozione
• E se il tassista di Manhattan è in vena di
sconti? e fa la seguente promozione:
• Paghi solo il pezzo di blocchi, verticale o
orizzontale, più lungo che mi fai percorre.
• Esempio: se si percorrono tre blocchi in
orizzontale e due in verticale, si paga solo
il tragitto pari ai blocchi in orizzontale
Il Tassista a Manhattan, scontato
B
Due blocchi verticali +
Tre blocchi orizzontali
A
Il Tassista a Manhattan, scontato
B
Due blocchi verticali +
Tre blocchi orizzontali
A
Paghi solo i tre blocchi
orizzontali. 2 dollari a blocco:
Totale: 6 dollari (invece che 10)
Nel piano Cartesiano
• Distanza del tassista scontato (distanza infinito)
A  ( x1 , y1 )
y1
B  ( x2 , y2 )
y2
x1
x2
d ( A, B)  max | x1  x2 |, | y1  y2 | | y1  y2 |
Distanza euclidea, distanza del
tassista e distanza infinito
A=(5,2)
2
B=(7,1)
1
5
d ( A, B)  (5  7) 2  (2  1) 2  5
7
(distanza euclidea)
dT ( A, B) | 5  7 |  | 2 1 | 3
(distanza del tassista)
d ( A, B)  max | 5  7 |, | 2 1 |  2
(distanza infinito)
SUL CONCETTO DI DISTANZA
• Abbiamo visto tre possibili distanze tra i
punti del piano e le loro rispettive formule
analitiche
Distanza eucildea
d ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )   ( x1  x2 )  ( y1  y2 )
2
2
Distanza del tassista
dT ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) | x1  x2 |  | y1  y2 |
Distanza infinito
d ( x1, y1 ), ( x2 , y2 )  max | x1  x2 |, | y1  y2 |
Alcune domande
• Quante distanze possiamo definire tra i punti
del piano?
• Qualunque formula analitica che coinvolge le
coordinate dei punti definisce una distanza tra
di essi? Per esempio
d1 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )   3x1  ( y2  x2 )  y1
2
Alcune domande
• Ma cosa intendiamo per “distanza” tra i
punti?
• Quali proprietà deve soddisfare una
formula analitica per poter rappresentare
un “buon concetto” di distanza?
• Siamo in grado di identificare le proprietà
essenziali che il nostro concetto intuitivo
di distanza deve soddisfare?
Alcune domande
• E se individuiamo queste proprietà
essenziali, siamo in grado di formalizzarle
in modo astratto, e quindi poterle applicare
a situazioni ben diverse tra loro?
• PROVIAMOCI !
• Riprendiamo l’esempio fatto poco fa.
d1 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )   3x1  ( y2  x2 )  y1
2
• E’ un “buon concetto” di distanza?
• Calcoliamo
d1 (1,5), (2,3)   3 1  (3  2) 2  5  3  1  5  1
• Ci può andare bene?
• Certo che no!
• Se la distanza è, in qualche modo, legata
a lunghezze di strade percorse, non
possiamo accettare che la distanza tra
due punti possa essere un valore
negativo.
Tassista a Manhattan
superscontato
• Supponiamo ore che il solito tassista a
Manhattan faccia una promozione
maggiore rispetto a quella precedente (si
paga solo il tragitto, orizzontale o verticale,
più lungo)
• Supponiamo che dica: si paga solo il
tragitto più corto dei due (verticale o
orizzontale).
Il Tassista a Manhattan,
superscontato
B
Due blocchi verticali +
Tre blocchi orizzontali
A
Il Tassista a Manhattan,
superscontato
B
Due blocchi verticali +
Tre blocchi orizzontali
A
Paghi solo i due blocchi
verticali
2 dollari a blocco, totale 4
dollari (anziché 6 o 10)
• Ma conviene al tassista di Manhattan fare
questo tipo di sconto?
• Forse, qualche volta no!
• Infatti, consideriamo la seguente
situazione:
Il Tassista a Manhattan,
superscontato
A
B
Tre blocchi orizzontali +
Zero blocchi verticali
Totale: corsa a costo zero!
Il tassista superscontato nel piano
cartesiano
• In coordinate cartesiane equivale alla seguente
formula, per calcolare la distanza:
d2 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )  min | x1  x2 |, | y1  y2 |
• Ma, per esempio succede che:
d2 (1,3), (100,3)  min | 1 100 |, | 3  3 |  min 99,0  0
• Quindi, i due punti diversi (1,3) e (100,3)
avrebbero distanza nulla!
• Questo non ci va bene! Due punti diversi non
possono avere distanza nulla tra loro!
Definitezza positiva
•
Riassumendo quanto detto finora:
condizione necessaria affinché una
formula analitica sia una distanza è che
essa sia definita positiva, e cioè che:
1) Assuma solo valori maggiori o uguali a
zero;
2) Il valore zero venga raggiunto solamente
quando si calcola la distanza di un punto
da se stesso.
Altro esempio
• Consideriamo la formula
d3 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) | x1  x2 |  | y1  y2 |  | x1  y2 |
• Questa è definita positiva, ma ha un altro difetto.
Infatti
d3 (1,2), (2,5)  1  3  4  8  1  3  0  4 d 3 (2,5), (1,2)
• Questa distanza dipende dall’ordine con cui ho
elencato i due punti! Non è simmetrica!
Simmetria
• Condizione necessaria affinché una
formula analitica sia una distanza è che
essa sia simmetrica, cioè la distanza di A
da B sia la stessa distanza di B da A.
Ovvero
• d(A,B)=d(B,A).
• La distanza non deve dipendere
dall’ordine in cui elenco i due punti.
Ancora un’altra considerazione
• Abbiamo visto che, in un qualche modo, la
distanza è legata alla lunghezza della
strada che devo percorrere per passare da
un punto all’altro. Questo all’interno delle
strade che mi sono consentite (il
segmento per la distanza euclidea, la
spezzata per la distanza del tassista ecc..)
Ancora un’altra considerazione
• E’ intuitivo che, se devo andare dal punto
A al punto B, ma decido di passare prima
anche dal punto C, la lunghezza della
strada percorsa allora aumenta, a meno
che il punto C non si trovi proprio sulla
strada tra A e B, nel qual caso la
lunghezza resta invariata.
Disuguaglianza triangolare
d ( A, B)  d ( A, C )  d (C , B)
B
B
C
C
A
A
Disuguaglianza triangolare
• Condizione necessaria affinché una formula
analitica sia una distanza è che essa soddisfi
alla disuguaglianza triangolare
d ( A, B)  d ( A, C )  d (C , B)
Abbiamo finito
• Le proprietà che una formula analitica
deve avere affinché essa sia una distanza
sono esattamente le seguenti:
• Essere definita positiva;
• Essere simmetrica;
• Soddisfare alla disuguaglianza triangolare.
Un’astrazione
• Dato un insieme qualunque X, una
distanza su X è una funzione (una legge,
una regola…) che ad ogni coppia di
elementi di X, (P,Q), associa un numero
reale che denotiamo con d(P,Q), e
chiamiamo distanza di P da Q, e tale
funzione deve soddisfare a
Definitezza positiva
• d(P,Q)≥0 per ogni coppia (P,Q) di elementi
di X;
• d(P,Q)=0 se e soltanto se P=Q.
Simmetria
• d(P,Q)=d(Q,P) per ogni coppia (P,Q) di
elementi di X.
Disuguaglianza triangolare
• d(P,Q)≤d(P,Z)+d(Z,Q) per ogni P,Q,Z
elementi di X.
Una definizione astratta
• Uno spazio metrico è un insieme sul quale
è definita una distanza.
• Il piano cartesiano con la distanza
euclidea è uno spazio metrico;
• Il piano cartesiano con la distanza del
tassista è uno spazio metrico;
• Il piano cartesiano con la distanza infinito
è uno spazio metrico.
Un esercizio per casa
• Provare le tre affermazioni precedenti e cioè che
il piano cartesiano con le tre distanze (euclidea,
del tassista, infinito) è uno spazio metrico.
• Basta provare che la distanza euclidea, la
distanza del tassista e quella infinito sono una
distanza.
• Basta provare che esse godono delle tre
proprietà: definitezza positiva, simmetria,
disuguaglianza triangolare.
• P.S. Alcune dimostrazioni non sono proprio
semplicissime…
Un po’ di storia
• Il concetto astratto di spazio metrico, già
latente nella matematica precedente, è
stato comunque formalizzato all’inizio del
XX secolo dal matematico tedesco (di
origini polacche) Felix Hausdorff.
FELIX HAUSDORFF 1868 - 1942
Ancora un po’ di storia
• Il considerare strutture matematiche astratte,
cioè insiemi dotati di proprietà particolari (per
esempio gli spazi metrici, insiemi dotati della
funzione distanza) è un metodo che ha
caratterizzato tutta la matematica del ‘900 (e lo
sta facendo anche per quella del 2000).
• Si tratta di identificare proprietà essenziali degli
oggetti matematici con i quali si è sempre avuto
a che fare (numeri, quattro operazioni, punti
rette e piani, funzioni …) e considerare insiemi
dotati solamente di quelle proprietà.
Ancora un po’ di storia
• In questo modo la mente del matematico che studia la problematica
in questione, è concentrata solamente su quelle proprietà e non è
distratta da altre proprietà (o da pregiudizi) legate all’oggetto iniziale
che ha stimolato lo studio (numeri, quattro operazioni, punti rette e
piani, funzioni …).
• Ad esempio, per studiare le proprietà della distanza (che sappiamo
essere tre), considero un spazio metrico, che ha come unica
proprietà quella di avere definito una distanza su di esso. Se invece
continuassi a pensare all’esempio del piano, potrei essere sviato da
altre caratteristiche del piano, che non dipendono dalla distanza (per
esempio le rette e le figure geometriche del piano, il sistema di
coordinate cartesiane, ecc …)
• L’aver studiato gli spazi metrici in “astratto” permette poi di applicare
i risultati ottenuti alle più svariate situazioni, non appena esse
rientrano nella categoria “spazi metrici”, indipendentemente da chi
siano gli elementi dell’insieme e da quale sia la distanza in
questione.
Ancora un po’ di storia
• Esempi di queste strutture astratte
introdotte dai matematici nel ‘900, sono
(oltre agli spazi metrici):
• Gruppi, anelli, campi (algebra);
• Spazi vettoriali (algebra, geometria, analisi
matematica);
• Spazi funzionali (analisi matematica).
• Una delle prime e delle più prolifiche è
quella di Spazio Topologico.
TOPOLOGIA
• In realtà Hausdorff era più interessato ad
un altro concetto, quello di spazio
topologico, di cui gli spazi metrici sono
degli esempi importanti.
• Vediamo di dire qualcosa sugli spazi
topologici.
La vicinanza
• Una volta che abbiamo una distanza su di un
insieme, e cioè abbiamo uno spazio metrico,
possiamo domandarci se due elementi sono
vicini.
• Ma cosa vuol dire essere vicini?
• Due elementi sono vicini se la loro distanza è
piccola.
• Bisognerebbe però dire cosa vuol dire piccola.
• Questo è ovviamente soggettivo e dipende dalle
circostanze.
La vicinanza
• Quello che possiamo fare è definire quello che
sta intorno ad un punto assegnato.
La vicinanza
• Quello che possiamo fare è definire quello che
sta intorno ad un punto assegnato.
• Per fare questo, preso un punto P dello spazio
metrico X, definiamo la palla di centro P e
raggio 1. E cioè gli elementi che distano da P
meno di 1. Sono quindi elementi che stanno
intorno a P.
B  Q  X | d ( P, Q)  1
La vicinanza
• In generale, la palla di centro P e raggio r>0
è
Br  Q  X | d ( P, Q)  r
La vicinanza
• Quindi, l’elemento Q è vicino al punto P se
è contenuto in una palla centrata in P e di
raggio opportunamente piccolo.
Tre esempi
• La palla di centro l’origine e raggio 1 per la
distanza euclidea nel piano:
y
1
-1
1
-1
d ( x, y ), (0,0)   x 2  y 2  1
x
Tre esempi
• La palla di centro l’origine e raggio 1 per la
distanza del tassista nel piano (esercizio)
y
1
-1
1
x
-1
dT ( x, y), (0,0) | x |  | y | 1
Tre esempi
• La palla di centro l’origine e raggio 1 per la
distanza infinito nel piano (esercizio)
y
1
-1
1
x
-1
d ( x, y), (0,0)  max | x |, | y |  1
Stesso criterio di vicinanza nel
piano
• In realtà, le tre distanze nel piano che
abbiamo analizzato, pur essendo tra loro
diverse, definiscono lo stesso criterio di
vicinanza per i punti del piano.
Stesso criterio di vicinanza nel
piano
• Infatti, un punto P è vicino all’origine per la
distanza euclidea se è contenuto in una palla
(per la distanza euclidea) di centro l’origine e
raggio r piccolo.
• Ma questa contiene una palla per la distanza del
tassista centrata nell’origine e di raggio r, che a
sua volta contiene una palla per la distanza
infinito, di centro l’origine e un raggio r’<r.
Quest’ultima contiene a sua volta una palla (per
la distanza euclidea) di centro l’origine e raggio
r’
Palle annidiate
Stesso criterio di vicinanza nel
piano
• Quindi, se essere vicini all’origine significa
avere una distanza da essa, per esempio,
inferiore a 1, allora, qualunque sia la distanza
considerata (euclidea, del tassista, infinito)
troviamo un raggio r<1 tale che se P dista
dall’origine, per tale distanza, meno di r, allora,
per le altre due distanze, dista dall’origine
meno di 1.
• Quindi P è vicino all’origine per tutte tre le
distanze.
Stesso criterio di vicinanza nel
piano
1
P
1/2
1
d  ( P, O)   d ( P, O), dT ( P, O)  1
2
Stesso criterio di vicinanza nel
piano
P
1
dT ( P, O)  1  d ( P, O), d ( P, O)  1
Stesso criterio di vicinanza nel
piano
1
P
1
d ( P, O)   d  ( P, O), dT ( P, O)  1
2
Spazio topologico
• Uno “spazio topologico” è un insieme sul quale è
definito un “criterio di vicinanza” , ovvero per
ogni suo elemento è definito ciò che ci sta
intorno (anche indipendentemente da una
distanza, ovvero uno spazio topologico non è
necessariamente uno spazio metrico).
• Cioè, per ogni elemento abbiamo un criterio per
dire se altri elementi sono più o meno vicini ad
esso.
• Uno spazio metrico è uno spazio topologico e il
criterio di vicinanza è dato dalle “palle”.
Il concetto di limite
• I “criteri di vicinanza” (ovvero gli spazi
topologici) sono legati anche ai concetti di
“limite” e di “continuità”.
• In uno spazio topologico, una successione
di elementi P1,P2,P3,P4,P5…,Pn,…
converge ad un elemento P se:
• Pur di prendere n grande opportunamente,
Pn è “vicino” a P quanto vogliamo.
Limite nel piano
• Poiché le tre distanze nel piano cartesiano viste
prima definiscono il medesimo criterio di
vicinanza, abbiamo che esse definiscono anche
le medesime convergenze nel piano, ovvero
definiscono la medesima “topologia”.
• Infatti P1,P2,P3,P4…,Pn,… converge a P, per
una delle tre distanze, se, pur di prendere n
opportunamente grande Pn è contenuto in una
palla centrata in P e di raggio piccolo a piacere.
Limite nel piano
Pn
P1
P2
P3 P4
P5
P6
P
Il piano ha dimensione finita
• Il fatto che, nel piano, le distanze, sebbene
diverse, definiscano comunque il
medesimo criterio di vicinanza, ovvero la
medesima topologia, dipende dal fatto che
il piano ha dimensione finita (due).
• Vedremo poi un esempio in dimensione
infinita, in cui distanze diverse definiscono
criteri di vicinanza (e di convergenza)
diversi.
Un esercizio
• Quale distanza “naturale” (euclidea)
possiamo considerare sulla retta dei
numeri reali (dimensione 1), affinché essa
sia uno spazio metrico?
• Quali sono le palle per tale distanza?
• Riconosciamo l’usuale definizione di limite
(epsilon-delta), tramite il criterio di
vicinanza come spazio metrico?
Curve di lunghezza minima
e geometrie non euclidee
Curve di lunghezza minima
• Abbiamo visto che la distanza tra punti nel piano
è legata alla lunghezza di curve (tragitti) che
collegano i due punti.
• Ad esempio la distanza euclidea o del tassista è
la lunghezza minima che è necessario
percorrere per andare da un punto all’altro,
lungo le “strade che sono ammesse”.
• Ammessa qualunque strada, per la distanza
euclidea
• Ammesse le spezzate, per la distanza del
tassista.
Distanza euclidea nel piano
Curva di minima lunghezza
Distanza del tassista
B
Curve di lunghezza
minima, tra tutte le
spezzate
A
Subito un’osservazione
• La curva di lunghezza minima non è
necessariamente unica.
• E’ unica nel caso della distanza euclidea.
• Non è unica nel caso della distanza del
tassista.
Curve di lunghezza minima
• Ci interessano i casi in cui la curva di
lunghezza minima è unica (come per il
piano con la distanza euclidea).
• Chi sono le curve di lunghezza minima nel
piano euclideo?
• SONO LE RETTE (o i segmenti di retta).
• Quindi, la curva di lunghezza minima è
legata all’idea di “andare diritto”, cioè in
linea retta.
Curve di lunghezza minima
• Se in uno spazio metrico X, qualunque siano i
punti P e Q, esiste un’unica curva di lunghezza
minima che li congiunge, allora tale curva
corrisponde al concetto di linea retta per lo
spazio metrico X.
• L’ignaro “abitante” dello spazio metrico X, che
non vede nulla al di fuori di esso, quando si
muove lungo tale curva “pensa” di muoversi in
linea retta.
• Anche se, vista da un altro ambiente, tale curva
è tutt’altro che diritta.
Curve di lunghezza minima
Il nostro omino “vede” solo la
linea rossa e tutte le altre
curve nello spazio X (quelle
gialle, viola, verdi…). L’unica di
lunghezza minima è la rossa.
Muovendosi lungo di essa
egli è convinto di andare in
linea retta.
Noi, però, “dall’alto”, vediamo
che la linea rossa non è diritta!
Dalla vita reale
• Quando noi camminiamo in linea retta (ad
esempio lungo le rotaie della ferrovia), andiamo
per davvero in linea retta?
Dalla vita reale
• NO! Non stiamo andando “veramente” in
linea retta.
• Stiamo percorrendo la curva di minima
lunghezza che collega due punti sulla
superficie terrestre.
Dalla vita reale
• Noi, in generale, non abbiamo la percezione
della rotondità della terra. Per noi la terra è
piatta. E’ un piano.
• Noi siamo come abitanti della superficie
terrestre che vedono solo la superficie stessa
che sta loro intorno.
• Siamo come l’omino del disegno precedente,
abitante dello spazio metrico X.
• La nostra terza dimensione (l’altezza) è talmente
piccola rispetto al raggio terrestre che noi
possiamo essere assimilati ad abitanti 2dimensionali della superficie terrestre.
Dalla vita reale
• Quando pensiamo di andare il linea retta,
in realtà percorriamo un tragitto curvo sulla
superficie terrestre.
• E non ce ne accorgiamo.
• Perché?
• Perché non vediamo altro che il tragitto
che stiamo percorrendo ed eventuali altri
tragitti possibili, però di lunghezza
maggiore.
Dalla vita reale
• Ma se facciamo la
stessa cosa su di un
pallone, disegnando
con un pennarello un
qualunque tragitto
sulla superficie di
esso, vediamo bene
che nessuno di tali
segni potrà essere un
segmento di retta!
Dalla vita reale
• La stessa cosa succede sulla superficie terrestre
(che possiamo approssimare con la superficie di
una sfera).
• Quindi cos’è la distanza di due punti sulla
superficie terrestre?
• Se per distanza intendiamo la strada di minima
lunghezza che possiamo percorre per andare da
un punto all’altro, questa non è certo la distanza
euclidea tra quei due punti nello spazio 3dimensionale
Un esempio 2-dimensionale
Distanza sulla
superficie terrestre
P
Q
Distanza euclidea
Dalla vita reale
• Se misuriamo la distanza di due punti su di un
campo di calcio, non misuriamo la loro distanza
euclidea, ma la loro distanza sulla superficie
terrestre.
• Ma in quel caso, data la brevità del tragitto
rispetto al diametro terrestre, la differenza tra le
due distanze è talmente piccola che, di fatto,
calcoliamo la stessa distanza in ambedue i casi.
• Ma cosa succede se dobbiamo misurare la
distanza tra Roma e New York?. La lunghezza
del tragitto non è più trascurabile rispetto al
raggio terrestre.
Roma - New York
Geometria sulla sfera
• Quali sono le curve di minima lunghezza che
collegano due punti sulla superficie della sfera?
• Si dimostra che esse sono l’arco di “equatore”
che collega i due punti.
• Per “equatore” si intende una qualunque
circonferenza ottenuta intersecando la sfera con
un piano passante per il centro di essa.
• Un equatore è cioè una circonferenza sulla
sfera, di raggio massimo (pari a quello della
sfera).
• Queste curve si chiamano “geodetiche”.
Geodetiche
Geodetiche sulla Terra
• Assimilando la terra
ad una sfera, i
meridiani sono tutti
geodetiche, mentre
tra i paralleli solo
l’Equatore (quello
vero, quello
geografico) è una
geodetica.
Volo Roma New York
• Ne segue che, pur
essendo Roma e
New York più o meno
alla stessa latitudine,
le rotte aeree non
seguono certo il
parallelo che collega
le due città, ma
seguono la
geodetica, che passa
più a nord, ma che è
più corta.
Riemann
• I concetti di geodetica e di curva di
lunghezza minima sono stati studiati (e
scoperti?) da Bernhard Riemann,
matematico tedesco dell’800.
Georg Friedrich Bernhard Riemann
1826 - 1866
Un’osservazione
• Se le geodetiche, cioè gli “equatori”, sono le
“rette” della superficie sferica, esistono rette
parallele?
• Nel piano, due rette sono parallele se non si
intersecano, cioè se non hanno alcun punto in
comune.
• Ci sono rette sulla superficie sferica (cioè
equatori) che non hanno alcun punto in
comune?
• NO! Hanno sempre due punti in comune
Il quinto Postulato di Euclide
• Il famoso quinto postulato di Euclide, dice
che: Data una retta r e dato un punto P
fuori di essa, esiste una ed una sola retta
s passante per P e parallela a r.
r
s
P
Il quinto postulato di Euclide
• Sulla superficie sferica, il quinto postulato non è
vero.
• Data una retta (un equatore) ed un punto fuori di
essa, non esiste alcuna altra retta (equatore)
che passa per il punto e che sia parallela alla
retta data (cioè che abbia intersezione vuota con
essa).
• La geometria sulla sfera non è una geometria
euclidea!
• Sulle grandi distanze, anche nella nostra vita
reale sulla Terra, dobbiamo tenerne conto.
Un po’ di storia
• Euclide formulò cinque postulati che stanno alla base
della geometria (che da lui in poi si chiama euclidea) e
che è la geometria “classica”.
• Per due punti passa una ed una sola, tutti gli angoli retti
sono uguali, attorno ad ogni punto si può tracciare un
cerchio di raggio a piacere, un segmento di retta può
essere prolungato indefinitamente in linea retta…
• Un postulato (o assioma) è una proposizione che si
assume per vera, senza doverla dimostrare.
• Per secoli però si è pensato che il quinto postulato
(quello delle parallele) si potesse provare a partire dai
primi quattro.
Un po’ di storia
• La geometria sulla sfera, soddisfa ai primi
quattro postulati, ma non al quinto.
• Questo prova che il postulato delle
parallele non è conseguenza dei primi
quattro.
• Si possono quindi pensare “geometrie” in
cui valgono solo i primi quattro postulati e
non il quinto.
Negazione del quinto postulato
• Negare il quinto postulato significa assumere
una delle seguenti ipotesi:
• Per un punto esterno ad una retta non passa
alcuna retta parallela alla retta data (es.
geometria sulla sfera);
• Per un punto esterno ad una retta passa più di
una retta parallela alla retta data (normalmenate
infinite). Anche questa seconda ipotesi dà luogo
ad interessanti geometrie non euclidee.
APPROSSIMAZIONE
• Diamo qui un esempio di distanza definita
su un insieme i cui elementi (pur essendo
oggetti matematici) non sono dei semplici
“punti geometrici”.
Necessità di approssimare:
misurazioni imprecise
• Non sempre è possibile misurare un
evento naturale, un fenomeno fisico, un
esperimento in laboratorio, in modo
preciso. I nostri dati rilevati con la nostra
indagine sono spesso parziali.
Necessità di approssimare: troppi
parametri in gioco
• I modelli matematici che descrivono i
fenomeni fisici e naturali sono quasi
sempre anch’essi parziali, ovvero non
possono tenere conto di tutti i parametri
(spesso numerosissimi) che entrano in
gioco nel fenomeno studiato.
Necessità di approssimare:
equazioni difficili da studiare
• Le equazioni che compaiono nei modelli
matematici che descrivono i fenomeni fisici
e naturali sono inoltre spesso semplificate,
per poterle studiare e risolvere meglio.
Caso tipico: semplificazione di equazioni
non lineari in equazioni lineari.
Necessità di approssimare: i
computers più di tanto non fanno
• Per poter implementare un modello matematico
in un computer e fare così dei calcoli che
possano rappresentare, per esempio,
l’evoluzione futura del fenomeno che si sta
studiando, è necessario fare ulteriori
semplificazioni. Questo perché i computers,
anche i più potenti, riescono a fare i calcoli con
un numero finito di dati, mentre spesso le
equazioni del modello matematico comportano
un numero infinito di dati.
Un esempio
• Supponiamo di dover registrare un segnale
sonoro, per poi, per esempio, implementarne i
dati in un computer, pulirlo da eventuali “rumori”
(disturbi), comprimerlo, studiarne le
caratteristiche principali, ecc...
• Ovviamente è solo un esempio, che non vuol
rappresentare nessuna situazione pratica.
• Al posto del segnale sonoro può esserci
l’evoluzione della temperatura in una barra di
metallo, l’andamento di un titolo in borsa, la
deformazione di una barra elastica posta sotto
sforzo, ecc….
Un esempio
• Un segnale sonoro è tipicamente
rappresentato da una sinusoide, ma vari
disturbi possono esserci nella produzioni
di esso, nella trasmissione, nella ricezione.
• Supponiamo che esso sia rappresentato
dal seguente grafico
Un esempio
• Ampiezza del segnale in funzione del
tempo, nell’intervallo temporale [0,T]
A
A(t’)
0
t’
T
L’ampiezza è quindi una funzione del tempo e questo ne è il suo grafico
t
Un esempio
• Noi però non siamo in grado di misurare e
memorizzare l’ampiezza del segnale per ognuno
degli (infiniti) istanti dell’intervallo [0,T] (per
esempio T=1 minuto). Ma possiamo misurare e
memorizzare il dato ampiezza solo per un
numero finito di istanti: per esempio 0, t1, t2, t3,
t4, t5, T.
• Con questi soli dati a disposizione, cioè le 7
coppie (0,A(0)), (t1,A(t1)), (t2,A(t2)),… (T,A(T)),
possiamo pensare di “approssimare” il segnale
vero tramite una cosiddetta “interpolata lineare”
Un esempio
A
0
t1
t2
t3
t4
t5
T
t
Un esempio
• L’idea è che, più dati riesco a misurare e a
memorizzare, cioè più sono i “nodi
temporali” t1, t2, t3…., costruendo poi
l’interpolata lineare, meglio approssimo il
segnale vero in arrivo.
Un esempio
A
s3
s1
0
t1
t2
s2
t3
t4
s4
t5 s5 T
t
Un esempio
A
s3
s1
0
t1
t2
s2
t3
t4
s4
t5 s5 T
t
Un esempio
A
s3
s1
0
t1
t2
s2
t3
t4
s4
t5 s5 T
t
Un esempio
A
s3
s1
0
t1
t2
s2
t3
t4
s4
t5 s5 T
t
Un esempio
• Nessuno ha dubbi sul fatto che, delle tre
interpolate lineari, la terza sia quella che
meglio approssima il segnale vero.
Alcune domande
• Quindi, la terza interpolata lineare meglio
approssima il segnale.
• Ma cosa vuol dire “meglio approssima il
segnale”?
• Vuol dire “è più vicina al segnale”
• Ma cosa vuol dire “è più vicina al segnale”?
• Vuol dire che la sua distanza dal segnale è la
più piccola, dei tre casi.
• Già, ma di quale distanza stiamo parlando?
• Non abbiamo mai definito una distanza tra
funzioni (o tra grafici di funzioni).
Distanza tra funzioni
• Cos’è che diventa più piccolo nel passare
dalla prima interpolata, alla seconda e alla
terza?
• Rivediamo la sequenza
Interpolata 1
A
0
t1
t2
t3
t4
t5
T
t
Interpolata 2
A
s3
s1
0
t1
t2
s2
t3
t4
s4
t5 s5 T
t
Interpolata 3
A
s3
s1
0
t1
t2
s2
t3
t4
s4
t5 s5 T
t
Distanza tra funzioni
• Prima ipotesi: diventa più piccola la
distanza massima tra i due grafici, presa
punto per punto.
Interpolata 1
A
0
t1
t2
t3
t4
t5
T
t
Interpolata 2
A
s3
s1
0
t1
t2
s2
t3
t4
s4
t5 s5 T
t
Interpolata 3
A
s3
s1
0
t1
t2
s2
t3
t4
s4
t5 s5 T
t
Distanza tra funzioni
• Seconda ipotesi: diventa più piccola la
porzione di piano compresa tra i due
grafici, cioè l’area compresa tra i due
grafici.
Interpolata 1
Interpolata 2
Interpolata 3
Distanza tra funzioni
• A partire da ciascuna di queste ipotesi, si può
definire una distanza (e anche più d’una) tra
grafici di funzioni (ovvero tra funzioni).
• E ciascuna di queste distanze, rende conto del
fatto che la nostra interpolata si avvicina sempre
di più al segnale dato.
• Ovviamente, stiamo parlando di “vere distanze”,
cioè le tre proprietà (definitezza positiva,
simmetria e disuguaglianza triangolare) sono
soddisfatte).
• Vediamo come tali distanza si possono
formulare analiticamente.
Definizioni astratte di distanza tra
funzioni
• Per fissare le idee, consideriamo X,
l’insieme di tutte le funzioni definite
sull’intervallo [0,1] e che assumono valore
nell’insieme dei numeri reali.
g
0
1
f
x
Definizioni astratte di distanze tra
funzioni
• Massima distanza tra i grafici: distanza elle-infinito
d L ( f , g )  max | f ( x)  g ( x) |
x[ 0,1]
• In un qualche senso corrisponde alla distanza
infinito nel piano (invece che il massimo della
differenza delle coordinate, c’è il massimo della
differenza dei valori assunti dalle funzioni).
Definizioni astratte di distanza tra
funzioni
• Area tra i grafici, primo caso: distanza elle-uno
1
d L1 ( f , g )   | f ( x)  g ( x) | dx
0
• In un qualche senso corrisponde alla distanza
del tassista nel piano (al posto della somma c’è
l’integrale)
Definizioni astratte di distanza tra
funzioni
• Area tra i grafici, secondo caso:distanza
elle-2


2
d L2 ( f , g )     f ( x)  g ( x)  dx 
0

1
• In un qualche senso corrisponde alla
distanza euclidea nel piano (al posto della
somma c’è l’integrale)
1
2
Perché elle-infinito, elle-1, elle-2?
• La lettera L nel nome delle distanze, è
dovuta al fatto che tali distanze (anche
quella elle-infinito, anche se non sembra)
sono legate alla teoria dell’integrazione,
che, all’inizio del ‘900, è stata
definitivamente ed esaurientemente
formalizzata dal matematico francese
Henri Lebesgue.
Henri Léon Lebesgue 1875 - 1941
Sulle topologie associate alle
distanze tra funzioni
• Per quanto già detto, le nostre interpolate si
avvicinano al segnale vero sia per la distanza
elle-infinito, che per quella elle-1, che per quella
elle-2.
• Ma è un caso particolare.
• A differenza delle distanze nel piano, queste non
danno luogo alla stessa topologia, ovvero agli
stessi criteri di vicinanza, ovvero alle stesse
convergenze.
Un esempio
1
f1
1/2
g=0
1
x
Un esempio
1
f2
1/4
1/2
g=0
1
x
Un esempio
1
f3
1/8
1
1/4
g=0
x
Un esempio
1
f4
1
1/8
1/16
g=0
x
Un esempio
• Vediamo come (e se), secondo le distanze
elle-infinito e elle-1, le funzioni f1, f2, f3, f4
si avvicinano alla funzione nulla g.
Un esempio
• Distanza elle-infinito:
d L ( f 1, g )  d L ( f 2, g )  d L ( f 3, g )  d L ( f 4, g )  1
• Per la distanza elle-infinito non si avvicinano
alla funzione nulla: restano sempre ad una
distanza pari a 1.
Un esempio
• Distanza elle-1:
1
1
1
1
d L1 ( f 1, g )  , d L1 ( f 2, g )  , d L1 ( f 3, g )  , d L1 ( f 4, g ) 
2
4
8
16
• Le funzioni si avvicinano sempre di più alla funzione
nulla, perché la distanza rimpicciolisce. Iterando il
procedimento, considerando f5, f6, f7…., la distanza
tende a diventare zero.
• Altri esempi si possono creare in cui c’è convergenza
rispetto a elle-2 ma non a elle-infinto, oppure rispetto a
elle-1 ma non a elle-2.
Dimensione infinita
• Nel piano le distanze determinano la medesima
topologia, ovvero il medesimo criterio di vicinanza.
• Nell’insieme X delle funzioni sull’intervallo [0,1], come
appena visto, questo non accade. Ci può essere
convergenza per una distanza ma non per le altre.
• Il piano ha dimensione 2. Per descrivere pienamente la
posizione di un punto nel piano bastano due
informazioni: ascissa e ordinata.
• L’insieme X delle funzioni ha dimensione infinita. Per
descrivere pienamente una funzione occorrono infinite
informazioni: tutti i valori che essa assume su ciascuno
degli infiniti punti dell’intervallo [0,1].
Dimensione infinita
• Le distanze, pur essendo diverse, definiscono lo stesso
criterio di vicinanza solamente in dimensione finita.
• In dimensione infinita le distanze non definiscono lo
stesso criterio di vicinanza.
• Le tre distanze definite sull’insieme X delle funzioni,
sono tutte e tre utili in opportune situazioni di studio (e
tante altre se ne possono definire).
• Il fatto che definiscano diverse topologie, alle volte è
proprio ciò che serve, perché permette di usare differenti
criteri di convergenza (ovvero di approssimazione), utili,
ad esempio, per il calcolo numerico (implementazione
nel computer). Ma è importante anche da un punto di
vista teorico.
CONCLUSIONE
• Partendo dalla distanza euclidea di due punti nel piano e
da altri tipi di distanze nel piano, abbiamo cercato di
individuare quali debbano essere le proprietà
caratteristiche di “una distanza”.
• Abbiamo introdotto strutture astratte quali gli spazi
metrici e gli spazi topologici.
• Abbiamo studiato il concetto di distanza sulla superficie
sferica (Terra) tramite le curve di minima lunghezza;
abbiamo introdotto le geodetiche e sfiorato le geometrie
non euclidee.
• Abbiamo introdotto varie definizioni di distanza tra
funzioni e tra grafici, utili, ad esempio, per studiare il
problema dell’approssimazione.
Conclusione: ricerche attuali
• La teoria degli spazi metrici (ben oltre ciò che
qui abbiamo detto) è largamente usata nella
ricerca matematica attuale.
• Un attuale campo di ricerca, molto vivo anche in
Italia, è lo studio di particolari spazi metrici
astratti (ad es. gruppo di Heisenberg, o più in
generale spazi di Carnot-Caratheodory).
Ricadute e applicazioni di tali studi si hanno, ad
esempio, in Geometria Differenziale, nella Teoria
Matematica del Controllo e in Robotica.