U.D. 9 – Geometria 2
Le trasformazioni del piano
1 – simmetrie
assiali
2 – simmetrie
centrali
3 - traslazioni
4 - rotazioni
5 - isometrie
6 – correzione
verifica
Alcuni richiami
Movimento rigido – è un concetto primitivo, di cui non può
essere data una definizione
Punto medio di un segmento – il punto che divide il segmento
in due parti tra loro congruenti:
A
M
B
AM  MB
Asse di un segmento – la retta perpendicolare al segmento,
che lo interseca nel suo punto medio
r
r  AB
A
M
B
AM  MB
U.D. 9 – Geometria 2
a
1
parte:
Simmetrie assiali come
trasformazioni del piano
Simmetrie assiali - 1
Def. 1 - Due punti P e P' si dicono simmetrici rispetto ad una data retta r se la retta r
è asse del segmento PP'.
Q'
P
P'
H
P'
r  PP', PH  HP'
r
Q
P
r
Simmetrie assiali - 2
Def. 2 - Due figure F1 e F2 si dicono
simmetriche rispetto ad una data retta r
se ogni punto di F2 è simmetrico rispetto ad r di un punto di F1 e, viceversa, ogni punto di F1 è simmetrico
rispetto ad r di un punto di F2.
r
Postulato 1 - Due figure simmetriche rispetto ad una retta r sono congruenti.
r
P
H
P'
Simmetrie assiali - 3
Simmetrie assiali - 4
Dal postulato 1 (Due figure simmetriche rispetto ad una retta r
sono congruenti) deriva una importante osservazione:
Consideriamo una figura F1 ed una retta r: sarà allora possibile
ottenere la figura F2 simmetrica di F1 rispetto alla retta data mediante un movimento rigido, che (in un certo senso) permette di
"trasformare" ogni punto della figura F1 in un particolare punto
della figura F2.
Ampliamo questo concetto: possiamo pensare di assoggettare tutti
i punti del piano ad una “trasformazione” ottenuta per mezzo di un
movimento rigido, tale per cui ognuno di essi viene "spostato" in
modo da coincidere con il suo simmetrico rispetto ad una certa retta r; in pratica possiamo pensare di far ruotare l’intero piano
intorno ad un ideale “perno”, costituito proprio dalla retta r…
Simmetrie assiali - 5
r
Introduciamo pertanto la seguente definizione:
Def. 3 - Si dice simmetria assiale o
simmetria di asse r una trasformazione
del piano per cui ad ogni punto P del piano
stesso viene associato il suo simmetrico P'
rispetto alla retta r.
La retta r viene detta asse di simmetria,
mentre P e P' si diranno corrispondenti
nella simmetria considerata.
Diremo anche che al piano è stata applicata una simmetria assiale.
Simbolo per indicare una simmetria di asse r:
r
sigma
Simmetrie assiali - 6
r
Parlando di trasformazioni del piano, sono di
particolare interesse i cosiddetti punti uniti:
Def. 4 - Si dicono punti uniti di una trasformazione del piano quei punti che risultano
corrispondenti di se stessi nella trasformazione considerata.
In particolare, nel caso di una simmetria
assiale, risultano trasformati in se stessi quei
punti che sono simmetrici di se stessi rispetto
alla retta r:
punto unito
si osserva facilmente che sono proprio tutti e soli i punti dell'asse
di simmetria r a godere di questa proprietà.
Simmetrie assiali - 7
Adesso che è stato introdotto il concetto di simmetria assiale,
possiamo affermare quanto segue:
- se due figure F1 e F2 sono simmetriche rispetto ad una data retta
r, significa che la simmetria di asse r trasforma ogni punto di F1 in
uno e un solo punto di F2 e, viceversa, ogni punto di F2 viene
trasformato in uno e un solo punto di F1
- risulterà anche che ogni punto di F1 è corrispondente nella simmetria di asse r di uno e un solo punto di F2 e viceversa.
Concludiamo questa prima parte del lavoro ricordando che vale
anche il seguente:
Postulato 2 - Data una qualsiasi retta r nel piano, esiste una e una
sola simmetria assiale  di asse r.
Composizione di simmetrie assiali - 1
Consideriamo ora due diverse
rette r ed r', e applichiamo successivamente due simmetrie  e
':
se P è un punto del piano, prima
determineremo il punto P' simmetrico di P rispetto ad r e
quindi determineremo il punto P''
simmetrico si P' rispetto ad r'.
P

P'
' o 
'
P''
r
P'
r'
P
P''
Def. 5 – Una operazione come quella
appena descritta si dice composizione di simmetrie assiali
Composizione di simmetrie assiali - 2
Ciò che si ottiene dalla composizione di due simmetrie assiali è
ancora una simmetria assiale?
Per rispondere, osservate la figura a fianco e traete le dovute conclusioni…
F

F'
' o 
'
F ''
r
r'
F'
F ''
F
Per la prossima lezione….
Studia gli appunti presi a lezione; rispondi inoltre ai seguenti
quesiti, giustificando le tue affermazioni:
1) La composizione di simmetrie assiali è ancora una simmetria
assiale? (rifai sul tuo quaderno l’ultimo esempio visto e rispondi
a partire da quanto osserverai)
2) Prova, in un altro disegno, ad applicare in ordine inverso le
simmetrie assiali che hai considerato nel precedente quesito: ottieni lo stesso “risultato”? La composizione di simmetrie assiali
è, quindi, commutativa?
3) Alcune figure geometriche presentano delle "simmetrie": per
una data figura esistono, cioè, una o più rette rispetto alle quali,
applicando una simmetria assiale, si ottiene come figura trasformata la figura stessa. Trova degli esempi, indicando gli “assi di
simmetria”.
U.D. 9 – Geometria 2
a
2
parte:
Simmetrie centrali come
trasformazioni del piano
Q'
Simmetrie centrali - 1
P'
Def. 7 - Due punti P e P' si dicono simmetrici rispetto ad un dato punto O se esso è
il punto medio del segmento PP'.
O
P
PO  OP'
Q
Def. 8 - Due figure F1 e F2 si dicono
simmetriche rispetto ad un dato punto
O se ogni punto di F2 è simmetrico rispetto ad O di un punto di F1 e, viceversa, ogni punto di F1 è simmetrico
rispetto a O di un punto di F2.
O
Simmetrie centrali - 2
Come nel caso delle simmetrie assiali, è possibile introdurre la seguente definizione:
Def. 9 - Si dice simmetria centrale o simmetria di centro O una
trasformazione del piano per cui ad ogni punto P del piano stesso
viene associato il suo simmetrico P' rispetto al punto O.
Il punto O viene detta centro di simmetria, mentre P e P' si diranno corrispondenti nella simmetria considerata.
Diremo anche che al piano è stata applicata una simmetria centrale.
Da quanto detto circa i punti uniti di una trasformazione, si osserva che il centro O di simmetria è l’unico punto unito per la simmetria centrale considerata.
Simmetrie centrali - 3
Partiamo dall’osservare le seguenti figure:
O
O
La simmetria di centro O è stata ottenuta componendo due simmetrie assiali, i cui assi erano perpendicolari tra loro e tali da intersecarsi proprio nel punto O…
Simmetrie centrali - 4
K
P''
~
~ ~
Vale infatti il seguente:
Teorema 1 - Ogni simmetria centrale di centro O può essere ottenuta
come composizione di due simmetrie assiali, i cui assi a e b risultino
tra loro perpendicolari ed incidenti nel punto O.
a
Hp:
ab
H
//
//
P'
P
abO
//
O
b
Th:
a(P)  P'
b(P')  P''
PO  OP''
P, O, P'' allineati
Corollario 1 - Per il teorema ed il postulato 1, vale che due figure
simetriche rispetto ad un punto O sono congruenti
Postulato 3 - Dato un punto O del piano, esiste una e una sola
simmetria di centro O.
Per la prossima lezione….
Studia gli appunti presi a lezione; inoltre:
1) Disegna un triangolo rettangolo e rappresenta quindi la figura
ad esso simmetrica rispetto ad uno dei suoi vertici.
2) Svolgi il precedente esercizio per un trapezio scaleno.
3) Disegna un triangolo isoscele ed un punto ad esso esterno;
rappresenta quindi la figura ad esso simmetrica rispetto a tale
punto; verifica che tale figura si può ottenere anche componendo due opportune simmetrie assiali.
4) Esistono figure geometriche che presentano delle simmetrie
centrali? Prova a trovare degli esempi.
5) Cerca delle illustrazioni di opere artistiche ove si presentino
delle simmetrie assiali o centrali (fotocopiale e incollale sul
quaderno): evidenzia con il colore gli assi o i centri di simmetria.
U.D. 9 – Geometria 2
a
3
parte:
Traslazioni come
trasformazioni del piano
Traslazioni - 1
Alcune definizioni:
Def. 10 - Due semirette si dicono parallele se giacciono sulla
stessa retta o su due rette parallele.
s'
Def. 11 - Due semirette parallele s ed
s', si dicono concordi se, fissato un semipiano che abbia come retta origine
una retta non parallela alle semirette
considerate, contiene una parte illimitata di entrambe. Diremo anche che
tali semirette hanno uguale verso, ovvero che sono equiverse.
s
Traslazioni - 2
Ancora definizioni:
Def. 12 - Un segmento AB si dice orientato
(e l'ordine con cui sono scritti i suoi estremi
in questo caso esprime il modo in cui è orientato) se lo pensiamo come una parte della
semiretta che ha origine in A e passa per B;
lo indicheremo con il simbolo AB;
per rappresentarlo, si aggiungerà una freccia
all’estremo B.
Def. 13 - Due o più segmenti orientati si
dicono concordi (o equiversi) quando sono le
semirette di cui essi sono parte (parallele e)
concordi.
B
A
Traslazioni - 3
Ora possiamo dare la definizione di traslazione:
Def. 14 - Si dice traslazione una trasformazione del piano per la
quale, fissato un segmento orientato AB, ad ogni punto P del piano viene associato un punto P' in modo che il segmento orientato
PP' sia parallelo, equiverso e congruente ad AB.
P'
P
R'
Q
R
τ
A
Una traslazione, spesso
indicata con il simbolo τ
Q' (la lettera tau dell’alfabeto greco), è quindi individuata in modo unico
B da un segmento orientato
assegnato AB (detto anche vettore della traslazione).
Traslazioni - 4
… è possibile che una traslazione possegga dei punti uniti?
Considerato come è stata definita la traslazione, è evidente che
essa non ne possiede!
Si può dimostrare che la composizione di due traslazioni è ancora
una traslazione (a differenza di ciò che accadeva per le simmetrie…); qui di seguito una esemplificazione:
B
τ
A
τ'
C
τ'oτ
A
(somma di vettori secondo la regola
del parallelogramma....)
τ
B
τ'oτ
τ'
C
Traslazioni - 5
Vale il seguente teorema:
Teorema 2 - Ogni traslazione τ individuata da un dato segmento
orientato AB può essere ottenuta come composizione di due simmetrie assiali  e ‘ per le quali, detti r ed r' i rispettivi assi, valga
che:
1) r ed r' siano paralleli tra loro;
2) la distanza d tra r ed r' sia uguale alla metà della lunghezza del segmento AB
3) r ed r' siano perpendicolari al segmento AB
4) il verso del segmento orientato AB coincida con quello
che da r porta ad r'.
Traslazioni - 6
r
r'
1) r // r'
2) d 
AB
3) r  AB, r' AB
4) il verso del segmento
orientato AB coincida
con quello che da r porta ad r'.
A
B
d  AB
d2
Corollario 2 - Valendo il postulato sulla congruenza di due figure
simmetriche in una simmetria assiale ed il teorema appena enunciato, segue che una traslazione trasforma ogni figura in una ad
essa congruente.
Per la prossima lezione….
Studia gli appunti presi a lezione; inoltre:
1) Disegna un triangolo rettangolo PQR in modo che uno dei
suoi cateti sia disposto orizzontalmente. Considera quindi
due rette verticali a e b:
- applica nell’ordine al triangolo PQR le simmetrie assiali a
e b e ricava il triangolo traslato P'Q'R'; rappresenta il
vettore della traslazione corrispondente;
- copia in un nuovo disegno il triangolo PQR e le rette a e b;
applica quindi nell’ordine a PQR le simmetrie b e a: verifica il risultato ottenuto e fai le tue osservazioni.
2) Cerca delle illustrazioni di opere artistiche ove si presentino
delle traslazioni (fotocopiale e incollale sul quaderno): evidenzia con il colore il vettore della traslazione.
U.D. 9 – Geometria 2
a
4
parte:
Rotazioni come
trasformazioni del piano
Rotazioni - 1
Consideriamo:
- un angolo  con vertice O: diciamo a e a'
rispettivamente il primo e il secondo lato
dell'angolo ;
- un angolo  con vertice O: diciamo b e b' rispettivamente il primo e il secondo lato dell'angolo ;
- una circonferenza di centro O, sulla quale
sia stato fissato un orientamento.
I lati degli angoli  e  intersecheranno la
circonferenza in quattro punti (non necessariamente distinti) A e A', B e B' (con ovvio
significato dei simboli).
a'
a
A

O

A'
B
B'
b'
Diremo che  e  hanno lo stesso orientamento se, sulla circonferenza orientata, accade che A precede A' e B precede B‘ (ovvero
che A segue A' e B segue B‘).
b
Rotazioni - 2
Def. 15 - Si dice rotazione una trasformazione del piano per la
quale, fissato un punto O ed un angolo orientato  di vertice O,
ad ogni punto P del piano viene associato un punto P' in modo
che l'angolo PÔP' abbia la stessa ampiezza e lo stesso orientamento dell'angolo .
Il punto O considerato verrà detto centro della rotazione.
Per come è stata definita la rotazione, è possibile fare le seguenti:
Oss. 6 - Unico punto unito di una rotazione è il suo centro.
Oss. 7 - La composizione di due rotazioni aventi lo stesso centro
e rispettivamente di ampiezza 1 e 2 è ancora una rotazione di
centro O di ampiezza 1 + 2 ; si può anche dimostrare che, più in
generale, la composizione di due rotazioni (anche di centri
diversi) è ancora una rotazione.
Rotazioni - 3
Vale il seguente
Teorema 3 – Ogni rotazione di centro O ed ampiezza  si può ottenere
dalla composizione di due simmetrie
assiali di assi r ed s, tali che:
- r ed s si intersecano nel punto O;
- l’angolo di rotazione  è doppio
^
dell’angolo convesso rs;
- il verso di rotazione è uguale a
quello che, percorrendo l’angolo
^ porta da r ad s.
convesso rs,
O
r
s
Rotazioni - 3
Vale il seguente
Teorema 3 – Ogni rotazione di centro O ed ampiezza  si può ottenere
dalla composizione di due simmetrie
assiali di assi r ed s, tali che:
- r ed s si intersecano nel punto O;
- l’angolo di rotazione  è doppio
dell’angolo convesso rs;
- il verso di rotazione è uguale a
quello che, percorrendo l’angolo
convesso rs, porta da r ad s.
r

—
2
O
Corollario 3 - Valendo il precedente postulato sulla congruenza di
due figure simmetriche in una simmetria assiale ed il teorema appena enunciato, segue che una rotazione trasforma ogni figura in una
ad essa congruente.
s
U.D. 9 – Geometria 2
5a parte:
Isometrie
Isometrie - 1
Def. 16 - Si dice isometria una trasformazione che conserva le
distanze, nel senso che, dati due punti qualsiasi del piano P e Q, i
loro trasformati P' e Q' sono tali per cui PQP'Q'.
Quindi c’è uno stretto legame tra i concetti di:
isometria

congruenza
Rivediamo insieme i legami tra congruenza
e trasformazioni del piano…
QUINDI: simmetrie assiali, simmetrie centrali, traslazioni e
rotazioni sono tutte isometrie, poiché operano delle trasformazioni del piano tali per cui, data una figura, la sua trasformata
risulta congruente a quella data; ciò si verifica in particolare per i
segmenti, come richiesto dalla definizione di isometria.
Isometrie - 2
Abbiamo visto, allora, che ognuna delle trasformazioni fin qui
considerate verifica la definizione di isometria.
È vero anche il viceversa, poiché vale l’importante:
Teorema: qualsiasi isometria (ovvero ogni movimento rigido
piano) o è una traslazione o una rotazione o una simmetria
assiale o una composizione di queste trasformazioni.
Addirittura, per quello che abbiamo visto nei precedenti paragrafi,
possiamo enunciare il seguente:
Teorema 4 - Ogni isometria o è una simmetria assiale o
una composizione di simmetrie assiali.
rileggiamo insieme….
Post. 1 - Due figure simmetriche rispetto ad una retta r sono congruenti.
(dalla diapositiva Simmetrie centrali 4)
Teorema 1 - Ogni simmetria centrale di centro O può essere ottenuta
come composizione di due simmetrie assiali, i cui assi a e b risultino tra
loro perpendicolari ed incidenti nel punto O.
Corollario 1 - Per il post. 1 ed il teo. 1, vale che due figure simmetriche
rispetto ad un punto O sono congruenti.
(dalla diapositiva Traslazioni 4 )
(dalla diapositiva Rotazioni 3 )
Teorema 2 - Ogni traslazione τ individuata da un dato segmento orientato
AB si può ottenere come composizione di due opportune simmetrie assiali
Corollario 2 - Per il post. 1 ed il teo. 2,
vale che una traslazione trasforma ogni figura in una ad essa congruente.
Teorema 3 – Ogni rotazione di centro
O ed ampiezza  si può ottenere dalla
composizione di due opportune simmetrie assiali.
Corollario 3 – Per il post. 1 ed il teo. 3,
vale che una rotazione trasforma ogni
figura in una ad essa congruente.
U.D. 9 – Geometria 2
Fine