Decadimenti
Conservazione del 4-Impulso
• Conseguenza delle proprieta’ di invarianza per traslazione
nello spazio e nel tempo per un sistema isolato:
– Conservazione del 4-impulso totale in ogni processo fisico
• Numero e tipo di particelle nello stato iniziale sono in
generale diversi da quelli nello stato finale:
– Creazione e distruzione di particelle
• Di enorme importanza nelle applicazioni della cinematica
relativistica allo studio di fenomeni specifici.
– E’ spesso possibile individuare altre quantita’ conservate
Fabrizio Bianchi
2
Decadimento a Due Corpi (1)
• Particella “madre” di massa M che decade in due particelle
“figlie” di massa m1 ed m2
• Lavoriamo nel sistema del CM della particella madre,
imponendo la conservazione del 4-impulso (omettiamo per il
momento gli “*” che identificano le quantita’ nel CM):
• Le particelle figlie escono back-to-back nel sistema del CM
Fabrizio Bianchi
3
Decadimento a Due Corpi (2)
• Da cui:
Fabrizio Bianchi
4
Decadimento a Due Corpi (3)
• E quindi:
Fabrizio Bianchi
5
Decadimento a Due Corpi (4)
• Riarrangiando i termini:
Fabrizio Bianchi
6
Decadimento a Due Corpi (5)
• In conclusione, riintroducendo gli “*”, troviamo che |p|*
delle particelle figlie, nel sistema del CM della particella
madre e’:
• Se m1=m2=m
• Se m1=m2=0
Fabrizio Bianchi
7
Decadimento a Due Corpi (6)
• Energia delle particelle “figlie” nel sistema del CM della
particella “madre”:
• Osservazioni:
– Impulso delle particelle “figlie” e’ uguale, la loro energia in generale
no
– Impulsi (in modulo) ed energie hanno un valore fisso nel CM:
Caratteristica dei processi a due corpi
– Perche’ l’impulso abbia valori reali deve essere
come ci si attende intuitivamente
– Nulla ci dice la cinematica della distribuzione angolare: essa e’
fissata da regole dinamiche legate al momento angolare ed allo stato
quantico della particella che decade
Fabrizio Bianchi
8
Decadimento a Due Corpi (7)
• Qual e’ l’impulso delle particelle figlie nel riferimento del
LAB, nel quale la particella madre viaggia con velocita’
b=p/E ? Applicazione della relazione impulso-angolo trovata
prima:
• Come atteso, due situazioni possibili:
Fabrizio Bianchi
9
Decadimento po->gg (1)
• Consideriamo il decadimento po ->gg nel CM
• Nel CM del p0 escono back-to-back 2 fotoni monocromatici di
67.5 MeV ciascuno
Fabrizio Bianchi
10
Decadimento po->gg (2)
• Nel sistema del LAB il po si muove con impulso pp
(scegliamo asse z nella direzione di volo del po)
• TdL di un fotone dal CM al LAB:
Fabrizio Bianchi
11
Decadimento po->gg (3)
• Ricaviamo minima e massime energia del fotone nel LAB
Fabrizio Bianchi
12
Decadimento po->gg (4)
• Nel CM i fotoni sono monocromatici.
– Nel LAB c’e’ correlazione energia-angolo
• Se consideriamo un gran numero di decadimenti
osserviamo una distribuzione statistica di angoli di
decadimento a cui corrisponde una distribuzione statistica
di energie dei fotoni.
• Il decadimento del po e’ isotropo nel suo CM (ossia la
distribuzione angolare dei fotoni e’ costante in cosq ed in
j):
Fabrizio Bianchi
13
Decadimento po->gg (5)
• Distribuzione dell’energia del g nel LAB
• Ci aspettiamo quindi distribuzione piatta tra Emin ed Emax
del fotone.
Fabrizio Bianchi
14
Decadimento po->gg (6)
• Distribuzione angolare
Fabrizio Bianchi
15
Scoperta del po (1)
•
Scattering di p- su p. Possibili reazioni:
1)p  p  ng
2)p  p  np 0
p 0  gg
•
Caso 1): impulso di g ed n ha unico valore: g monocromatico
Fabrizio Bianchi
16
Scoperta del
o
p (2)
• Caso 2). Ci aspettiamo:
• Impulso del po con un unico valore
• Distribuzione piatta in Eg
• Valore minimo dell’angolo fra i 2 g
Fabrizio Bianchi
17
Scoperta del po (3)
• Scatteri di p- in cui si ipotizza vengano prodotti po soprattutto in
avanti.
• In questo caso pp e’ fissato (al valore dell’impuso del p incidente
se si trascurano le differenze di massa)
• Contatori vedono flusso di g dal bersaglio
– Due contatori in posizione simmetrica rispetto al fascio osservano 2
g in coincidenza
– Variando l’angolo fra i contatori si osserva che al di sotto di un certo
angolo i conteggi vanno a zero
• Distribuzione di energia dei g
e’ piatta
• Il p0 e’ stato scoperto !
Fabrizio Bianchi
18
Decadimenti di K e p a Riposo
• Decadimenti di K e p “da fermi” in emulsioni nucleari.
• Energie fissate ->Range in emulsione nucleare fissati
• Dal range delle tracce osservate: Riconoscimento p vs. K
Fabrizio Bianchi
19
pstop->mn
Fabrizio Bianchi
20
Kstop->mn
Fabrizio Bianchi
21
K,p->mn in volo
Fabrizio Bianchi
22
Identificazione dei K in Alice
Fabrizio Bianchi
23
Fasci di Neutrini (1)
• Costruzione dei fasci di neutrini e’ basata sui decadimenti K,p>mn
– K,p prodotti in collisioni protoni-nuclei
• Nel CM della particella madre:
• Il decadimento e’ isotropo, quindi la distribuzione di energia nel
LAB:
Fabrizio Bianchi
24
Fasci di Neutrini (2)
• Spettro di energia dei neutrini molto largo
– Per un dato evento l’energia del neutrino incidente non e’ nota
• E’ possibile ricavare l’energia del neutrino dall’angolo di
emissione
• Relazione tra angolo ed energia si trova dalla
conservazione del 4-impulso
Fabrizio Bianchi
25
Fasci di Neutrini (3)
Se Ep>>mp
Per piccoli angoli:
Fabrizio Bianchi
26
Fasci di Neutrini (4)
Fabrizio Bianchi
27
Fasci di Neutrini (5)
Fabrizio Bianchi
28
Neutrini dal CERN al Gran Sasso (1)
Fabrizio Bianchi
29
Neutrini dal CERN al Gran Sasso (2)
Fabrizio Bianchi
30
Neutrini dal CERN al Gran Sasso (3)
Fabrizio Bianchi
31
Invarianti
• (Quantita’) invariante:
– Grandezza fisica che ha lo stesso valore in tutti i
sistemi di riferimento.
• Esempi:
– Norma di un 4-vettore
– Massa (a riposo) di una particella
– Prodotto scalare di due 4-vettori
• Utili per trattare in modo abbreviato e semplice
molti problemi di cinematica relativistica
Fabrizio Bianchi
32
Gradi di Liberta’
• Stato finale ad N corpi con massa fissata.
–
–
–
–
3N componenti dell’impulso
Normalmente lo stato iniziale (massa ed impulso) e’ noto
-> 4 vincoli dalla conservazione del 4-impulso
In generale 3N-4 gradi di liberta’
• Decadimenti a due corpi: 6-4=2 gradi di liberta’
– Normalmente angoli q* e j* della direzione del volo nel
CM
– Di solito j* non e’ significativo -> una sola variabile
dinamicamente rilevante: q*
• Decadimento a 3 corpi: 9-4=5 gradi di liberta’
Fabrizio Bianchi
33
Decadimento a 3 Corpi (1)
• 3 particelle nello stato finale:
– 3x3=9 Componenti impulso di 3 particelle
• Conservazione del 4-impulso totale:
• 4 relazioni di conservazione = vincoli
– 9-4=5 gradi di liberta'
• 3 variabili non significative dinamicamente
– (Es.: Orientamento della terna di assi nel CM (3 angoli) non
rilevante)
– 2 variabili dinamicamente significative
Fabrizio Bianchi
34
Decadimento a 3 Corpi (2)
• Consideriamo la somma dei 4-impulsi delle particelle
1 e 2 dello stato finale:
• Il modulo quadro di P, che e’ un invariante,:
• sarebbe la massa a riposo al quadrato se P fosse il
4-impulso di una particella.In questo caso e’ la
massa a riposo del sistema di due particelle.
– Non dipende solo dalla massa a riposo ma anche dagli
impulsi (in modulo e direzione) delle due particelle
Fabrizio Bianchi
35
Decadimento a 3 Corpi (3)
• Applichiamo ora la conservazione del 4-impulso :
• Definiamo gli invarianti:
• Il cui significato fisico e’ quello di massa invariante delle 3
coppie di particelle che si possono formare in uno stato
finale a 3 corpi
• Vale la relazione:
• Quindi solo due delle si sono indipendenti
Fabrizio Bianchi
36
Decadimento a 3 Corpi (4)
Fabrizio Bianchi
37
Decadimento a 3 Corpi (5)
• Regioni di variabilita’ delle 3 masse invarianti:
• Considerando le prime 2
come indipendenti:
• La regione accessibile del
piano m12, m13 non e’ un
rettangolo
Fabrizio Bianchi
38
Decadimento a 3 Corpi (6)
Fabrizio Bianchi
39
Decadimento a 3 Corpi (7)
Fabrizio Bianchi
40
Decadimento a 3 Corpi (8)
Questa equazione definisce una curva nel piano (s2.s1) che delimita
la regione ammessa
Fabrizio Bianchi
41
Dalitz Plot (1)
• Modo di rappresentare le variabili dinamiche in una
reazione con stato finale 3 a corpi:
Ogni evento: un punto
Modo interessante per
individuare la produzione di
stati instabili (risonanze),
che si individua dall’accumulo
di eventi in certe regioni
Fabrizio Bianchi
42
Dalitz Plot (2)
Fabrizio Bianchi
43