I problemi classici della Geometria Greca
di Carmelo Di Stefano
Perché nasce la geometria?
Essenzialmente due ipotesi.
I sacerdoti mi dicevano che questo re [Sesostri, che regnò dal 1874
al 1841 a.C] distribuì la terra a tutti gli Egiziani, assegnando a
ciascuno un ugual lotto quadrangolare, e che trasse le sue rendite
da questa fonte: col prescrivere che si versasse un’imposta annuale.
Che se il fiume portava via a qualcuno una parte del suo lotto,
questi si recava da lui, gli comunicava ciò che era avvenuto, ed egli
mandava a controllare e misurare di quanto fosse diminuito il
terreno, affinché in avvenire il versamento fosse proporzionato
all’imposta prescritta. E così io credo che sia stata scoperta e
introdotta nell’Ellade la geometria.»
Erodoto (485 a.C. - 425 a.C ), Storie
«è logico che, essendo state scoperte numerose arti, le
une dirette alle necessità della vita e le altre al
benessere, si siano sempre giudicati più sapienti gli
scopritori di queste che non gli scopritori di quelle, per
la ragione che le loro conoscenze non erano rivolte
all’utile. Di qui, quando già si erano costituite tutte le
arti di questo tipo, si passò alla scoperta di quelle
scienze che non sono dirette né al piacere né alle
necessità della vita, e ciò avvenne dapprima in quei
luoghi in cui gli uomini dapprima furono liberi da
occupazioni pratiche. Per questo le arti matematiche si
costituirono per la prima volta in Egitto: infatti là era
concessa questa libertà alla casta dei sacerdoti.»
Aristotele(384 a.C. – 322 a.C.) Metafisica
Quali che siano le motivazioni della nascita della
Geometria, in ogni caso fra i greci essa diviene un
sistema ipotetico-deduttivo, come la definirà molto più
tardi Mario Pieri (1860 – 1913).
Pertanto essa è basata, in Euclide, su Definizioni,
Postulati e Nozioni comuni.
Le Definizioni sono spesso modi per indicare l’idea
che l’Autore ha di certi oggetti geometrici, spesso
primitivi, cioè non dimostrabili, come punto, retta,
piano, …
I Postulati sono i risultati base del sistema, quelli che
condizionano la sua struttura futura.
Le Nozioni comuni, sono invece verità in qualche
modo innate, come le proprietà dell’uguaglianza.
Sono proprio i Postulati che condizionano la
costruibilità degli oggetti geometrici.
Postulati del Libro I degli Elementi di Euclide (?325 a.C.- ?265 a.C.)
«
I. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un
qualsiasi punto a ogni altro punto;
II. E che una retta terminata si possa prolungare continuamente
in linea retta;
III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni
distanza;
IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro;
V. E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli
interni e dalla stessa parte minore di due retti, le due rette
prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte
in cui sono gli angoli minori di due retti.»
«Sebbene alcuni dei maggiori traguardi che ha
raggiunto la mente umana siano posti in forma
negativa, è eccessivamente pericoloso discuterne i limiti in modo categorico. Tali traguardi
sono che non vi è un moto perpetuo, che la velocità della luce non può essere superata, che il
cerchio non può essere quadrato con riga e
compasso, che analogamente un angolo non
può essere trisecato e così via. Ognuno di questi
risultati è il culmine di grandi sforzi intellettuali. […] Sebbene siano negazioni, queste e
altre scoperte sono successi positivi e grandi
contributi alla conoscenza.»
Oscar Morgenstern, 1963
Duplicazione del cubo
Il problema viene spesso posto come leggendario.
Secondo alcuni si narra che durante la peste di Atene del
430 a.C., fu chiesto all’oracolo di Delo come far finire il
flagello. Fu risposto raddoppiando l’altare di Apollo.
Pertanto si costruì un altare le cui dimensioni erano
doppie di quello attuale e la peste non cessò, poiché in tal
modo il volume dell’altare era 8 volte quello iniziale. Il
problema, noto per tale motivo come problema deliano, è
perciò quello di costruire un cubo di volume 2, cioè un
3
segmento di lato
2
Trisezione dell’angolo
Il problema probabilmente nasce per costruire poligoni regolari i
cui lati siano multipli di 9. Infatti già Antifone (Atene 480 a.C.;
Atene 411 a.C) prima e Brisone (Heraclea 450 a.C., ? 390 a.C.)
dopo di lui, cercando di determinare un valore approssimato di
quello che attualmente si chiama , avevano utilizzato per primi il
cosiddetto metodo di esaustione, inscrivendo e circoscrivendo
poligoni regolari in un cerchio. Così lo stesso Archimede (Siracusa
287 a.C., Siracusa 212 a.C.) determinò il suo famoso valore di 3,14
proprio partendo da un triangolo equilatero e raddoppiandone i lati
aveva inscritto e circoscritto poligoni di 96 lati. Trisecando
l’angolo quindi si poteva passare dal triangolo al poligono di 9 lati,
di 27 e così via.
Quadratura del cerchio
Proprio le questioni accennate sul calcolo di , hanno
portato in modo naturale alla ricerca di una procedura per
costruire un quadrato, quindi il suo lato, avente la stessa
area di un cerchio. Il che equivale a costruire un
segmento lungo appunto . Il problema era molto
popolare, come testimoniato dal seguente estratto da
Aristofane (450 a.C., 385a.C.) da Gli uccelli (414 a.C.)
METONE: Sono fra voi...
GABBACOMPAGNO: Malanno come sopra! A far che cosa, tu? Con che
proposito? Con che disegno? Che t'indusse a fare questo viaggio?
METONE: Misurar vo' l'aria, e spartirvela a iugeri!
GABBACOMPAGNO: Perdio! E tu chi sei?
METONE: Chi sono io? Metone, conosciuto per l'Ellade e a Colono!
GABBACOMPAGNO (Accennando ai suoi strumenti): E dimmi un po': che
roba è mai codesta?
METONE: Son misure per l'aria. Hai da sapere che l'aria, su per giú, somiglia
a un forno. Dunque, prima ci adatto questa squadra, dall'alto punto poi
questo compasso... Capisci?
GABBACOMPAGNO: Niente affatto!
METONE: E poi spartisco con la squadra diritta, affinché il circolo ti risulti
quadrato, e in mezzo resti la piazza, e in questa sbuchino le vie diritte, proprio
verso il centro... come si vede in una stella: essa è rotonda, e dritti vibra d'ogni
parte i raggi!
GABBACOMPAGNO: Ma quest'uomo è un Talete!
Duplicazione del cubo
Archita (Taranto 428 a.C: - ? 350 a.C.)
 375 a.C. Duplica il cubo usando superfici tridimensionali
Duplicazione del cubo
Menecmo (Alopeconesso 380 a.C. - ? 320 a.C.)
Duplica il cubo con sezioni coniche. Con una parabola e un’ellisse
Duplicazione del cubo
Menecmo (Alopeconesso 380 a.C. - ? 320 a.C.)
Duplica il cubo con sezioni coniche, con due parabole.
Duplicazione del cubo
Con analoghe considerazioni ma con strumenti molto più potenti, anche
René Descartes (La Haye 31/03/1596 – Stoccolma 11/02/1650) nel
1637, ne La Geométrie, duplica il cubo con sezioni coniche, con una
parabola e una circonferenza.
Duplicazione del cubo
Gregorio di Saint Vincent (Bruges 8/09/1584 – Gand 27/01/1667), nel
1647 in Opus geometricus quadraturae circuli et sectionum coni decem
libris comprehensum, usa un’iperbole e una circonferenza.
Duplicazione del cubo
Diocle (Karisto 240 a.C. - Eubea 180 a.C.), studia una
particolare curva, detta cissoide, che serve anche per quadrare il cerchio, oltre che per duplicare il cubo.
TRISEZIONE DELL’ANGOLO
In effetti i Greci riescono a trisecare l’angolo, ma con una procedura non
permessa, ossia con l’inserzione di misure, o come essi la chiamano con
una neiuseis. Si mostra che il problema equivale a risolvere un’equazione algebrica di III grado.
Ippia (Elide  460 a.C. -  400 a.C.) usa una strana curva, per
trisecare l’angolo. Ovviamente questa curva non è costruibile
con riga e compasso.
Archimede (Siracusa 287 a.C. - Siracusa 212 a.C.) costruisce
anch’egli una curva dinamica, una spirale, che fra le altre
cose serve per trisecare l’angolo.
Nicomede (? 280 a.C. – 210 a.C.) 
230 a.C: scrive Sulle concoidi in
cui presenta una curva che serve
per quadrare il cubo e per
trisecare l’angolo.
Pappo (Alessandria  290 – 350) circa nel 320 nelle sue
Collezioni matematiche, triseca l’angolo come intersezione di
una circonferenza e di un’iperbole di eccentricità 2.
Trisezione dell’angolo
Étienne Pascal (Clermont Ferrand 02/05/1588 – Parigi
24/09/1651), padre del più noto Blaise, nel 1637 scopre una
curva, chiamata poi Lumaca di Pascal, che può servire a
trisecare l’angolo.
Trisezione dell’angolo
Colin Mac Laurin (Kilmodan Febbraio 1698 Edimburgo 14/06/1746)
Nel 1724 in Geometria organica sive descriptio linearum curvarum
universalis determina una curva che può servire per trisecare gli
angoli.
Ippocrate (Chio  470 a.C. - ?  410
a.C.)  440 a.C. scrive i primi Elementi
di Geometria, a noi non pervenuti. Da
un frammento della Storia della
Geometria di Eudemo (Rodi 350 a.C.
- ? 290 a.C.), sappiamo che riesce a
quadrare delle figure a contorno non
rettilineo: le lunule.
Qualcuno dice che il secondo esempio per Ippocrate
era la dimostrazione che anche il cerchio potesse
quadrarsi, dato che avevamo espresso la sua area
come differenza di un trapezio quadrabile e delle
lunule quadrabili. Ciò è ovviamente falso poiché in
questo modo non abbiamo quadrato le tre lunule.
E’ stato dimostrato, ma solo nel 1766, che vi sono
esattamente 5 lunule quadrabili.
Ci sono anche costruzioni bene approssimate di segmenti
che sono lunghi circa . Per esempio la seguente è del
gesuita polacco Adam Kochansky e si trova in Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accomodatae, articolo pubblicato nel 1685 su Acta Eruditorum 4, 394-398.
Dinostrato (?  390 a.C. - ?  320 a.C.) usa la
curva di Ippia che abbiamo già visto, perché
questa permette anche di quadrare il cerchio.
Soluzioni (negative) dei problemi
Costruire con riga e compasso, dal punto della geometria
analitica significa determinare le intersezioni fra una retta e una
circonferenza, cioè risolvere un sistema di secondo grado,
quindi costruire numeri soluzioni di equazioni di II grado.
Soluzioni (negative) dei problemi
Con riga e compasso possiamo costruire numeri interi,
razionali e anche irrazionali quadratici. In generale
possiamo costruire tutti e soli i numeri del tipo
a b k
In cui a, b e k sono numeri costruibili.
Così possiamo costruire per esempio:
2  3 5
1 2
4
1 3  2  5 2
Soluzioni (negative) dei problemi
Gauss (Brunswick 30/04/1777 Göttingen 23/02/1855) aveva
congetturato che i problemi della duplicazione del cubo e della
trisezione di un angolo non sono risolvibili con riga e compasso, ma senza dimostrazione.
Charles Sturm (Ginevra 29/09/1803 - Parigi 18/12/1855) lo dimostrò ma non lo pubblicò.
Pertanto è Pierre Laurent Wantzel (Parigi 05/06/1814 Parigi
21/05/1848) che nel 1837 pubblica il teorema secondo il quale i
problemi della duplicazione del cubo e della trisezione
dell’angolo non possono essere risolti con riga e compasso.
Ossia che
Un’equazione algebrica di III grado a coefficienti razionali ha
radici costruibili se e solo se ha almeno una radice razionale.
Soluzioni (negative) dei problemi
Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover
12/04/1852 Monaco 06/03/1939), nel 1882 in Über die
Zahl prova che π è trascendente, quindi non si può
costruire con riga e compasso un quadrato che ha la
stessa area di un dato cerchio.
Ovviamente con la simbologia moderna è
facilissimo costruire infinite curve che
risolvono i problemi della duplicazione
del cubo e della quadratura del cerchio.