Analisi delle serie storiche
Metodi statistici per le decisioni economiche
C.d.l.m. Economia e commercio
a.a. 2013/2014
Prof. Francesco Campobasso
L’IMPORTANZA DELLA PREVISIONE
A LIVELLO AZIENDALE
Le condizioni economiche e del mercato cambiano
continuamente nel corso del tempo. Gli operatori devono
essere in grado di valutare e prevedere gli effetti di tali
cambiamenti sulla salute dell’azienda e quindi indirizzare
l’attività di pianificazione e controllo.
Le tecniche di previsione si basano sull’uso di dati
storici, dai quali l’analista cerca di comprendere la
struttura sottostante del fenomeno.
Cos’è una Serie Storica?
Una serie storica è un insieme di dati numerici
registrati ad intervalli regolari di tempo.
Assunzione di base: i fattori che hanno influenzato
l’andamento della serie nel passato e nel presente
continuano ad esercitare effetti analoghi anche nel futuro.
Primo obiettivo dell’analisi delle serie storiche è
individuare e isolare tali fattori ovvero decomporre la serie
storica in una serie di componenti facilmente
interpretabili.
PRINCIPALI COMPONENTI DI UNA SERIE STORICA
• Trend (Tt): tendenza di lungo termine all’incremento o
al decremento dei valori della serie.
• Stagionalità (St): scostamenti regolari intorno al trend
con cadenza fissa inferiore ad un anno.
• Ciclica (Ct): spiega gli scostamenti verso l’alto o verso il
basso dei dati rispetto al trend di natura più o meno
regolare, non stagionale, legati solitamente all’andamento
generale dell’economia.
• Irregolare o casuale (Et): legata a disturbi di natura
accidentale che determina oscillazioni di breve periodo.
MODELLI DI COMPOSIZIONE
• Modello additivo:
Yt = Tt + Ct + St + Et
• Modello moltiplicativo:
Yt = Tt x Ct x St x Et
Ovvero
Log( Yt )= Log(Tt) + Log(Ct) + Log(St) + Log(Et)
• Modello misto (con errore additivo):
Yt = Tt x Ct x St + Et
MODELLI DI COMPOSIZIONE
• Modello additivo: le fluttuazioni della serie non
variano con il suo livello
MODELLI DI COMPOSIZIONE
• Modello moltiplicativo: le fluttuazioni della serie
variano proporzionalmente con il suo livello
Analisi grafica
• La rappresentazione grafica dei valori della serie
permette di trarre le prime considerazioni di carattere
qualitativo sulla serie.
• Osservando un grafico è possibile individuare il modello
di composizione della serie, intuire se i valori della serie
manifestano un trend di lungo periodo oppure oscillano
intorno a un’immaginaria linea orizzontale parallela
all’asse dei tempi, se esiste una stagionalità, ecc.
Esempio di una serie a componenti additive
Esempio di una serie a componenti moltiplicative
SERIE STORICA
Analisi quantitativa
Previsione
Individuazione del modello e
delle componenti
Previsioni di breve o lungo
periodo sull’andamento futuro
della serie
Stima delle singole componenti
Stima del trend (Tt)
Esaminando il grafico è difficile stabilire se i valori della serie
seguano un trend di lungo periodo, poiché le forti oscillazioni
di breve periodo complicano l’impressione d’insieme.
• Tecniche di livellamento: favoriscono una corretta
visione delle tendenze di lungo periodo
Medie mobili
Livellamento esponenziale
Tecniche altamente soggettive, in quanto dipendono dalla
lunghezza del periodo ovvero dal peso scelto per la costruzione
delle medie
• Stima della funzione analitica f(t)
Metodo dei minimi quadrati
Medie Mobili
Una media mobile di periodo L consiste in una serie di medie
aritmetiche calcolate su una sequenze L valori osservati.
Indichiamo con 𝑀𝑀𝑡 𝐿 una media mobile centrata di periodo
dispari L.
Supponiamo ad esempio di voler calcolare una media mobile centrata con un
periodo L =5 anni su una serie di 11 anni.
Le medie mobili centrate sono calcolate su sequenze consecutive di 5
osservazioni:
𝑦1 + 𝑦2 +𝑦3 +𝑦4 + 𝑦5
𝑀𝑀3 5 =
5
𝑦2 +𝑦3 +𝑦4 + 𝑦5 + 𝑦6
𝑀𝑀4 (5) =
5
…
𝑦7 + 𝑦8 +𝑦9 +𝑦10 + 𝑦11
𝑀𝑀9 (5) =
5
Stima del trend (Tt)
La stima del trend T(t) mediante medie mobili centrate di
ordine L è definita nel seguente modo:
𝑇𝑡 = 𝑀𝑀𝑡 𝐿 =
𝑦𝑡−(𝐿−1)/2 + … + 𝑦𝑡+(𝐿−1)/2
𝐿
t=(L-1)/2,…,n-[(L-1)/2]
• Una media mobile centrata di lunghezza L sufficientemente
elevata, individua un trend lineare.
• Un valore troppo elevato di L tenderà a distorcere i risultati
individuando artificiosamente un trend lineare.
• In assenza di altre informazioni, si preferiscono medie
mobili di basso ordine, ad esempio a 3 o a 5 termini.
Medie Mobili
t
MM(3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
….
266,0
145,9
183,1
119,3
180,3
168,5
231,8
224,5
192,8
122,9
336,5
185,9
….
198,3
149,4
160,9
105,4
193,5
157,6
216,4
180,1
217,4
215,1
238,9
….
MM(5)
178,9
129,0
146,2
184,9
169,2
157,7
221,7
212,5
206,5
197,8
….
MM(7)
185,0
179,1
185,8
177,2
208,2
209,0
212,7
200,9
198,9
….
MM2(3)=(266,0+145,9+183,1)/3=198,3
MM3(5)=(266,0+145,9+183,1+119,3+180,3)/5=178,9
MM4(7)=(266,0+145,9+183,1+119,3+180,3+168,5+213,8)/7=163,3
Medie Mobili
serie dati osservati
MM(3)
MM(5)
MM(7)
450
400
350
300
250
200
150
100
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
La lunghezza L scelta per la media mobile influenza il risultato
della perequazione. All’aumentare del numero di termini, la
spezzata che unisce i punti perequati si fa sempre più
smussata.
Medie Mobili
• Le medie mobili sono filtri lineari che causano perdite
di informazioni in corrispondenza dei primi e degli
ultimi (L-1)/2 termini della serie per i quali non è
possibile calcolare alcun valore stimato del trend.
• La perdita dei primi termini è poco importante, mentre
quella dei termini più recenti ha conseguenze rilevanti
ai fini previsivi.
Livellamento esponenziale
• Tecnica utilizzata per smussare una serie storica di dati al
fine di individuare la tendenza di lungo periodo.
• Consiste nell’applicazione alla serie dei dati una media
mobile ponderata esponenzialmente:
𝑇𝑡 = 𝑤𝑦𝑡 + 1 − 𝑤 𝑇𝑡−1 t= 2, …, n
dove 0< w <1 è il peso o fattore di smorzamento
assegnato soggettivamente.
• Con valori bassi di w infatti vengono meglio evidenziate
le tendenze di lungo periodo della serie, mentre valori
elevati consentono più precisi previsioni di breve
periodo.
Livellamento esponenziale
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
….
𝑦𝑡
266
145,9
183,1
119,3
180,3
168,5
231,8
224,5
192,8
122,9
336,5
185,9
….
w=0,1
266
254,0
246,9
234,1
228,8
222,7
223,6
223,7
220,6
210,9
223,4
219,7
….
w=0,3
266
230,0
215,9
186,9
184,9
180,0
195,5
204,2
200,8
177,4
225,2
213,4
….
w=0,5
266
206,0
194,5
156,9
168,6
168,6
200,2
212,3
202,6
162,7
249,6
217,8
….
T2(w=0,1)=145,9*0,1+266,0*(1-0,1)=254,0
T3(w=0,1)=183,1*0,1+254,0*(1-0,1)=246,9
T3(w=0,3)=183,1*0,3+230,0*(1-0,3)=215,9
Livellamento esponenziale
serie dati osservati
w=0,1
w=0,3
w=0,5
450
400
350
300
250
200
150
100
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Se lo scopo è unicamente quello di smussare la serie eliminando le
variazioni cicliche e irregolari, conviene adottare un valore basso
(prossimo a zero) di w; se invece si vuole anche effettuare una previsione
di breve periodo, si rivela più conveniente la scelta di valori elevati
(prossimi a uno) di w.
Livellamento esponenziale
Ciascun valore della serie smussata dipende da tutti i valori
osservati precedenti:
𝑇𝑡 = 𝑤𝑦𝑡 + 𝑤(1 − 𝑤)𝑦𝑡−1 +𝑤(1 − 𝑤)2 𝑦𝑡−2 + ⋯ +𝑤(1 − 𝑤)𝑛−1 𝑦1
I pesi assegnati a ciascun valore osservato in precedenza non
sono costanti, ma decrescono passando dai più recenti a quelli
più lontani nel tempo.
Metodo dei minimi quadrati
Prima di effettuare l’analisi vera e propria della serie storica,
farsi un’idea generale dell’andamento della serie con l’ausilio
di rappresentazioni grafiche.
• Trend lineare
𝑇𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑡
• Trend quadratico
𝑇𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑡 + 𝑏2 𝑡 2
• Trend esponenziale
𝑇𝑡 = 𝑏0 𝑒 𝑏1 𝑡 -> 𝑙𝑜𝑔𝑇𝑡 = 𝑙𝑜𝑔𝑏0 + 𝑡𝑏1 = 𝛽0 + 𝑏1 𝑡
con 𝛽0 = 𝑙𝑜𝑔𝑏0
Trend esponenziale in 𝑦𝑡 -> Trend lineare in 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑡
Metodo dei minimi quadrati
Si stimano i coefficienti 𝑏0 e 𝑏1 in modo che
𝑛
2
(𝑦
−
𝑇
)
𝑡 =minimo
𝑡=1 𝑡
La variabile indipendente è il tempo, con la convenzione di
far partire l’asse delle ascisse (l’asse dei tempi) dal primo
periodo per il quale sono disponibili i dati e quindi di
considerare il primo anno o il primo trimestre o il primo
mese come il periodo zero (X = 0).
Se ad esempio stiamo lavorando con una serie di 24 anni, al primo
verrà assegnato il valore 0, al secondo il valore 1 e così via fino al
ventiquattresimo anno a cui sarà assegnato il valore 23.
Metodo dei minimi quadrati
Le stime dei minimi quadrati possiedono un’importante
proprietà, nota come decomposizione della varianza totale:
Dev Tot = Dev Regr + Dev(Res)
dalla quale si può definire un indice che misura la bontà di
adattamento della retta di regressione:
𝑅 =
2
Dev(Regr)
Dev(Tot)
con 0 ≤ R2 ≤ 1.
Un primo criterio per scegliere il grado del polinomio
(lineare o quadratico) è confrontare i rispettivi 𝑅2∗ corretti:
𝑅2∗
= 1−
Dev(Res)/(n−p)
Dev(Tot)/(n−1)
con p= 2 trend lineare, p= 3 trend quadratico.
Scelta del trend attraverso lo strumento delle differenze
prime, seconde e percentuali
Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend
lineare, le differenze prime fra i valori della serie sono costanti:
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = 𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 = ⋯ = 𝒚𝒏 − 𝒚𝒏−𝟏
Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend
quadratico, le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti:
𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = [ 𝒚𝟒 − 𝒚𝟑 − 𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 ] = ⋯ =
= [ 𝒚𝒏 − 𝒚𝒏−𝟏 − 𝒚𝒏−𝟏 − 𝒚𝒏−𝟐 ]
Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend
esponenziale, le differenze percentuali fra i valori della serie sono
costanti:
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒚𝟑 − 𝒚𝟐
𝒚𝒏 − 𝒚𝒏−𝟏
∗ 𝟏𝟎𝟎 =
∗ 𝟏𝟎𝟎 = ⋯ =
∗ 𝟏𝟎𝟎
𝒚𝟏
𝒚𝟐
𝒚𝒏−𝟏
Scelta del trend attraverso lo strumento delle
differenze prime, seconde e percentuali
𝑦𝑡
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
62,0
63,0
65,5
69,5
75,0
82,3
91,2
101,5
113,0
126,2
140,8
Differenze
prime
1,0
2,5
4,0
5,5
7,3
8,9
10,3
11,5
13,2
14,6
Differenze
seconde
1,5
1,5
1,5
1,8
1,6
1,4
1,2
1,7
1,4
Differenze
percentuali
1,6
4,0
6,1
7,9
9,7
10,8
11,3
11,3
11,7
11,6
Le differenze seconde mostrano un andamento più erratico,
pertanto il trend quadratico può fornire una adeguata
interpolazione della serie.
Stima del trend
Stimiamo il trend quadratico con il metodo dei minimi
quadrati. Si ha:
𝑇𝑡 = 61,9 + 0,28𝑡 + 0,8𝑡 2
(𝑅2 ≌ 1,0)
160
140
120
100
80
60
40
20
1998
1997
1996
1995
1994
1993
1992
0
1991
61,9
62,98
65,66
69,94
75,82
83,30
92,38
103,06
115,34
129,22
144,70
1990
62,0
63,0
65,5
69,5
75,0
82,3
91,2
101,5
113,0
126,2
140,8
1989
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
𝑇𝑡
1988
𝑦𝑡
Stima della componente stagionale (St)
Valutare l’andamento della serie in punti differenti
dall’anno, considerando la componente della serie come
fenomeno puramente infrannuale.
Eliminazione della componente stagionale (St)
Studiare le altre componenti al netto dell’effetto della
stagionalità eliminando la componente stagionale
(destagionalizzazione).
Assunzioni:
1) la componente stagionale è una componente ciclica di
periodo d (con d=12 per le serie mensili, d=4 per le
serie trimestrali, ecc.)
2) 𝑑𝑘=1 𝑠𝑘 =0
Stima della componente stagionale (St)
1) Si determina inizialmente una prima stima del trend al netto
della componente stagionale calcolando le medie mobili
centrate di lunghezza L=d+1
𝑦𝑗−(𝐿−1)/2 +..+𝑦𝑡+(𝐿−1)/2
𝑀𝑀𝑗 𝐿 =
j=(L-1)/2,…,n-(L-1)/2
𝐿
La media mobile avrà anche l’effetto di attenuare le componenti a frequenza
più alta (componente residua).
Quando d è pari dovrebbe essere utilizzata una media mobile non
centrata affinché la stima della componente stagionale non venga
viziata dal fatto che il primo e l’ultimo termine nella media si
riferiscano allo stesso dato annuale.
Sarebbe più opportuno calcolare le medie mobili non centrate di
periodo d. Tali medie non sono riferite a nessun dato grezzo poiché
cadono tra il termine d/2 e il termine (d+1)/2 di ogni gruppo di d
periodi. Una seconda media mobile deve essere calcolata tra questi due
termini non centrati consecutivi, il che equivale a calcolare una media
mobile centrata a d+1 termini ponderata, in cui si assegna peso 1 al
primo e ultimo termine della media e peso 2 a gli altri termini centrali.
Stima della componente stagionale (St)
2) Si calcolano le differenze tra i valori della serie 𝑦𝑗 e la media
mobile 𝑀𝑀𝑗 𝐿 :
[𝑦𝑗 − 𝑀𝑀𝑗 (𝐿)]
j=(L-1)/2,…,n-(L-1)/2
3) Si elimina la componente residua determinando la media
aritmetica di tali differenze per il periodo k =1, ..., d:
𝑤𝑘 = 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒{𝑦𝑘+𝑙𝑑 − 𝑀𝑀𝑘+𝑙𝑑 , 0 ≤ 𝑙 < 𝑖𝑛𝑡(𝑞) -1} k=1, …, d
dove q=n/d è il numero di anni all’interno della serie di
lunghezza n.
4) Le quantità 𝑤𝑘 (indici di stagionalità) non possono
essere assunte come stima della componente stagionale
perché non rispettano il vincolo di somma a zero.
Allora si calcolano le deviazioni stagionali:
𝑑
𝑗=1 𝑤𝑗
𝑠𝑘 = 𝑤𝑘 −
k=1, …, d
𝑑
Questa stima si riferisce ad un ciclo stagionale completo,
ma si prolunga per continuità all’intero periodo di
osservazione ponendo 𝑠𝑘 = 𝑠𝑘+𝑙𝑑 .
Eliminazione della componente stagionale (St)
La serie storica destagionalizzata è definita come:
𝑑𝑡𝑘 = 𝑦𝑡 − 𝑠𝑘
t=0, …, n-1
k=1, …, d
𝒚𝒕
gen 01
feb 01
mar 01
apr 01
mag 01
giu 01
lug 01
ago 01
set 01
ott 01
nov 01
dic 01
gen 02
feb 02
mar 02
apr 02
mag 02
giu 02
lug 02
ago 02
set 02
ott 02
nov 02
dic 02
….
49
41
41
42
44
38
39
21
40
45
41
38
46
41
44
45
40
42
39
23
47
45
45
42
….
MM
(yt-MM) 𝒘𝒌 𝒘𝒌-𝒘𝒌 𝒔𝒌
L=13
2,8
2,7
3,8
3,6
2,5
1,1
40,4
-1,4
-2,7 -2,8 -2,8
39,8
-18,8 -20,5 -20,6 -20,6
40,0
0,0
2,7
2,6
2,6
40,3
4,7
2,7
2,6
2,6
40,2
0,8
2,3
2,2
2,2
40,0
-2,0
-0,2 -0,3 -0,3
40,1
5,9
2,9
2,8
2,8
38,8
2,2
2,8
2,7
2,7
40,8
3,2
3,9
3,8
3,8
41,2
3,8
3,7
3,6
3,6
41,2
-1,2
2,6
2,5
2,5
41,3
0,7
1,2
1,1
1,1
41,8
-2,8
-2,8
41,6
-18,6
-20,6
41,9
5,1
2,6
42,5
2,5
2,6
42,5
2,5
2,2
43,2
-1,2
-0,3
….
….
….
….
….
𝒚𝒕
𝒅𝒕𝒌
46,2
38,3
37,2
38,4
41,5
36,9
41,8
41,6
37,4
42,4
38,8
38,3
43,2
38,3
40,2
41,4
37,5
40,9
41,8
43,6
44,4
42,4
42,8
42,3
….
…
gen 03
feb 03
mar 03
apr 03
mag 03
giu 03
lug 03
ago 03
set 03
ott 03
nov 03
dic 03
gen 04
feb 04
mar 04
apr 04
mag 04
giu 04
lug 04
ago 04
set 04
ott 04
nov 04
dic 04
Somma
Media
…
44
44
45
51
45
49
41
21
49
47
50
49
48
49
54
47
55
45
43
29
44
50
47
46
MM
(yt-MM) 𝒘𝒌 𝒘𝒌-𝒘𝒌 𝒔𝒌
L=13
…
…
…
…
…
43,1
0,9
2,8
41,7
2,3
2,7
43,7
1,3
3,8
43,7
7,3
3,6
44,1
0,9
2,5
44,4
4,6
1,1
44,8
-3,8
-2,8
45,2 -24,2
-20,6
46,0
3,0
2,6
46,2
0,8
2,6
46,5
3,5
2,2
46,5
2,5
-0,3
46,0
2,0
2,8
45,1
3,9
2,7
46,8
7,2
3,8
46,9
0,1
3,6
46,9
8,1
2,5
46,6
-1,6
1,1
-2,8
-20,6
2,6
2,6
2,2
-0,3
1,4
0,1
𝒅𝒕𝒌
…
41,2
41,3
41,2
47,4
42,5
47,9
43,8
41,6
46,4
44,4
47,8
49,3
45,2
46,3
50,2
43,4
52,5
43,9
45,8
49,6
41,4
47,4
44,8
46,3
Destagionalizzazione
serie dati osservati
MMd=13
L = 13
MM
dest
60.0
55.0
50.0
45.0
40.0
35.0
30.0
25.0
gen 01
mar 01
mag 01
lug 01
set 01
nov 01
gen 02
mar 02
mag 02
lug 02
set 02
nov 02
gen 03
mar 03
mag 03
lug 03
set 03
nov 03
gen 04
mar 04
mag 04
lug 04
set 04
nov 04
20.0
L’andamento dei dati destagionalizzati attenua le oscillazioni
della serie storica osservata
-5.00
-10.00
-15.00
-20.00
-25.00
gen 01
mar 01
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set 01
nov 01
gen 02
mar 02
mag 02
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gen 04
mar 04
mag 04
lug 04
set 04
nov 04
Stima della componente stagionale (St)
5.00
0.00
Stima della componente ciclica (Ct)
Molti autori parlano di trend-ciclo come unica
componente, date le difficoltà teoriche che spesso si
incontrano nel separarle. Supponendo di voler
individuare la componente ciclo, allora:
1) Si stima il trend Tt e la eventuale stagionalità St;
allora la serie Yt - Tt - St sarà una stima di Ct + Et
2) Si elimina la componente residua Et con una media
mobile di breve periodo sulla serie Ct + Et
Eliminazione della componente ciclica
Occorre determinare la durata media dei cicli all’interno
della serie e sulla base di tale dato si procede al calcolo
delle medie mobili.
N.B.: Tecnica altamente soggettiva perché dipende dalla
lunghezza del periodo scelto per la costruzione delle medie.
Stima della componente casuale (Et)
Irregolare o casuale (Et): legata a disturbi di natura
accidentale che determina oscillazioni di breve periodo.
Generalmente si stima per differenza una volta individuate
le altre componenti.
• Modello additivo:
Et = Yt -Tt - Ct - St
• Modello moltiplicativo:
Et = Yt /(Tt x Ct x St)
ovvero
Log( Et )= Log(Yt) - Log(Tt) - Log(Ct) - Log(St)
• Modello misto (con errore additivo):
Et = Yt – (Tt x Ct x St)
PREVISIONE SERIE STORICA
Determinazione del trend su dati destagionalizzati
1) Si calcolano le medie mobili centrate di lunghezza L=d+1
2) Si calcola il trend 𝑇𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑡 con il metodo dei minimi
quadrati, sulle medie mobili
3) Si calcolano la deviazioni stagionali
𝑠𝑘 = 𝑤𝑘 −
𝑑
𝑗=1 𝑤𝑖
𝑑
k=1, …, d
La forma analitica della serie sarà
𝑦𝑡𝑘 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑡 + 𝑠𝑘
t=0, …, n-1 k=1, …, d
𝒚𝒕
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
gen 01
feb 01
mar 01
apr 01
mag 01
giu 01
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ago 01
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dic 01
gen 02
feb 02
mar 02
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ago 02
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ott 02
nov 02
dic 02
….
49
41
41
42
44
38
39
21
40
45
41
38
46
41
44
45
40
42
39
23
47
45
45
42
…
MM
L=13
𝒔𝒌
𝑻t
𝒚t=𝑻t+𝒔𝒌
40,4
39,8
40,0
40,3
40,2
40,0
40,1
38,8
40,8
41,2
41,2
41,3
41,8
41,6
41,9
42,5
42,5
43,2
…
2,8
2,7
3,8
3,6
2,5
1,1
-2,8
-20,7
2,6
2,6
2,2
-0,3
2,8
2,7
3,8
3,6
2,5
1,1
-2,8
-20,7
2,6
2,6
2,2
-0,3
…
37,8
38,0
38,3
38,5
38,7
38,9
39,2
39,4
39,6
39,8
40,1
40,3
40,5
40,7
41,0
41,2
41,4
41,6
41,9
42,1
42,3
42,5
42,8
43,0
…
40,6
40,7
42,0
42,1
41,2
40,0
36,4
18,7
42,2
42,4
42,2
40,0
43,3
43,4
44,7
44,8
43,9
42,7
39,1
21,4
44,9
45,1
45,0
42,7
…
𝒚𝒕
…
24 gen 03
25 feb 03
26 mar 03
27 apr 03
28 mag 03
29 giu 03
30 lug 03
31 ago 03
32 set 03
33 ott 03
34 nov 03
35 dic 03
36 gen 04
37 feb 04
38 mar 04
39 apr 04
40 mag 04
41 giu 04
42 lug 04
43 ago 04
44 set 04
45 ott 04
46 nov 04
47 dic 04
…
44
44
45
51
45
49
41
21
49
47
50
49
48
49
54
47
55
45
43
29
44
50
47
46
MM
L=13
…
43,1
41,7
43,7
43,7
44,1
44,4
44,8
45,2
46,0
46,2
46,5
46,5
46,0
45,1
46,8
46,9
46,9
46,6
𝒔𝒌
𝑻t
𝒚t=𝑻t+𝒔𝒌
…
2,8
2,7
3,8
3,6
2,5
1,1
-2,8
-20,7
2,6
2,6
2,2
-0,3
2,8
2,7
3,8
3,6
2,5
1,1
-2,8
-20,7
2,6
2,6
2,2
-0,3
…
43,2
43,4
43,7
43,9
44,1
44,3
44,6
44,8
45,0
45,2
45,5
45,7
45,9
46,1
46,4
46,6
46,8
47,1
47,3
47,5
47,7
48,0
48,2
48,4
…
46,0
46,1
47,4
47,5
46,6
45,5
41,8
24,1
47,6
47,8
47,7
45,4
48,8
48,8
50,1
50,2
49,3
48,2
44,5
26,8
50,3
50,5
50,4
48,1
gen 01
mar 01
mag 01
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nov 01
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mar 04
mag 04
lug 04
set 04
nov 04
Stima del trend 𝑇t rispetto alle medie mobili
MM
MM d=13
L = 13
Tt
51
49
47
45
43
41
39
37
35
gen 01
mar 01
mag 01
lug 01
set 01
nov 01
gen 02
mar 02
mag 02
lug 02
set 02
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gen 03
mar 03
mag 03
lug 03
set 03
nov 03
gen 04
mar 04
mag 04
lug 04
set 04
nov 04
Serie storica stimata
Tt
serie dati osservati
serie stimata
60.0
55.0
50.0
45.0
40.0
35.0
30.0
25.0
20.0
PREVISIONE SERIE STORICA
• Modello stimato:
𝑦𝑡𝑘 = 37,8 + 0,23 𝑡 + 𝑠𝑘
t=0, …, n-1 k=1, …, d
con 𝑠𝑘 :
k
1
2
3
4
5
6
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
𝑠𝑘
2,8
2,7
3,8
3,6
2,5
1,1
…
7
8
9
10
11
12
…
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
…
-2,8
-20,7
2,6
2,6
2,2
-0,3
• Allora la previsione per il mese di Maggio del 2005 (52.esimo
mese dal primo dato disponibile della serie stimata), è:
𝑦𝑡𝑘 = 37,8 + 0,23(52) + 2,5 = 52,26
PREVISIONE SERIE STORICA
Metodo livellamento esponenziale
(previsioni di breve periodo)
La previsione al tempo t+1 modifica la previsione
precedente 𝑇𝑡
𝑇𝑡+1 = 𝑤𝑦𝑡 + 1 − 𝑤 𝑇𝑡
La previsione tiene conto dell’errore di
previsione (𝑦𝑡 −𝑇𝑡 ) commesso nel prevedere 𝑦𝑡
ponderato secondo il valore del parametro di
smussamento w, infatti:
𝑇𝑡+1 = 𝑤𝑦𝑡 + 𝑇𝑡 − 𝑤𝑇𝑡 = 𝑇𝑡 +𝑤(𝑦𝑡 − 𝑇𝑡 )