La mente non ha bisogno ,come un vaso,di essere riempita,
piuttosto, come legna, di una scintilla che l’accenda e vi infonda
l’ impulso della ricerca e l’amore ardente della vita. (Plutarco)
I PROBLEMI …. sono un PROBLEMA?
Educare alla matematica significa in primo luogo abituare a porsi
problemi significativi, tradurli in rappresentazioni matematiche adatte,
controllarne la risolubilità, trovare e interpretare correttamente e
validamente le soluzioni più adatte. (M. Pellerey 1975)
Ad ogni livello scolastico il risolvere problemi offre occasioni per acquisire
nuovi concetti e abilità, per arricchire il significato dei concetti già appresi e
verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza (…)
Componenti necessarie di questo approccio sono :
 l’impostare e risolvere problemi
 l’utilizzo delle sensazioni e delle percezioni
 la capacità di costruire storie e schemi interpretativi e sviluppare
argomentazioni
 l’affinare il linguaggio naturale e la capacità di organizzare il discorso con
speciale attenzione alla lingua italiana
(Progetto UMI-SIS Matematica 2001)
Dalle INDICAZIONI PER IL CURRICULUM 2012
La problematizzazione svolge una funzione insostituibile : sollecita gli
alunni a individuare problemi, a sollevare domande, a mettere in
discussione le conoscenze già elaborate, a trovare appropriate piste di
indagine, a cercare soluzioni originali.
Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione dei problemi, che
devono essere intese come questioni autentiche e significative, legate
alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai
quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una
regola. Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dalla
discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e
determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi
modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo
necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che si
intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando
possibili strategie risolutive.(….)
Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di
esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti
seguiti.
TRAGUARDI PER LO SVILUPPO
COMPETENZE (MATEMATICHE)
AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA
 Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici.
 Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo
il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il
procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla
propria.
AL TERMINE DELLA SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO:
 Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni
e la loro coerenza
 Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli
consentono di passare da un problema specifico ad una classe di
problemi
COSA E’ UN PROBLEMA?
Un problema è ogni ordine di difficoltà la cui soluzione implica la
possibilità di un’alternativa (Diz. Zanichelli)
Un problema nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere la
meta non può farlo in modo automatico o meccanico o attraverso un
comportamento appreso (…); la presenza di una motivazione e di un
impedimento che non permette l’azione diretta creano uno stato di
squilibrio e di tensione cognitiva che spinge l’individuo ad agire per
costruire l’equilibrio (G. Kanisza 1975)
Un problema è una domanda che per essere soddisfatta richiede una
teoria non conosciuta da chi si pone il problema(…)
E’ necessario che ci sia un minimo scarto fra ciò che il bambino conosce
e ciò che gli viene chiesto, se no possiamo parlare solo di esercizio.
(Antiseri 1985)
Il pensiero umano è caratterizzato dalla capacità di risolvere problemi. (G.
Polya,1967)
"Una grande scoperta risolve un grande problema, ma nella soluzione di
qualsiasi problema c'è un pizzico di scoperta.
Il tuo problema può essere modesto, ma se stimola la tua curiosità, tira in
ballo la tua inventiva e lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi sperimentare la
tensione e gioire del trionfo della scoperta".
"Se non riesci a risolvere un problema, ce ne sarà uno più facile che riesci
a risolvere: trovalo". (G. Polya,1967)
“Il fanciullo che apprende attraverso un processo di scoperta ricava una
maggiore ricompensa psicologica, infatti l’elemento più squisitamente
personale di ciò che l’uomo conosce è rappresentato da quanto egli
scopre di sé.” (Jerome Bruner)
Nella pratica didattica “la parola problema
assume per lo più il significato di una
etichetta che caratterizza un certo
tipo di esercizio: un testo che
pone una domanda finale”[1]
e che richiede procedimenti
che hanno a che fare con
le operazioni matematiche.
Quando si richiede ai bambini di applicare
semplicemente una regola, partendo dai dati,
allora si chiede loro solamente di svolgere un
esercizio, non di risolvere un problema!
[1] Rosetta Zan “Difficoltà in Matematica”, Ed. Springer 2007
Gli alunni elaborano modelli distinti e indipendenti
di “problema reale “ e “ problema scolatico”? (R.Zan 2009)
Le attuali ricerche sul problem solving investono competenze di varia
natura, dal campo più specificatamente matematico a quello pscicologico
(e linguistico NdR) e ciò vale a maggior ragione se consideriamo l’attività
di risoluzione dei problemi non unicamente come strumento, seppure
insostituibile, per favorire l’acquisizione di contenuti matematici, ma
come esercizio intellettuale estremamente rilevante e caratterizzante del
pensiero umano.
In tale ottica assume particolare rilevanza il ruolo del problema reale, non
necessariamente concreto, mentre il problema scolastico è spesso
profondamente irreale per alcune caratteristiche strutturali :
il campo di conoscenze in cui cercare la soluzione è stabilito a priori
si dovranno utilizzare conoscenze scolastiche acquisite
bisogna utilizzare tutti i dati e non mancano dati essenziali
la soluzione esiste ed è unica
“fare operazioni” e “dare la risposta” senza chiedersi “perché” si fa, ma
solo “come” si fa (NdR).
I processi risolutivi attivati da un bambino
possono essere bloccati
da una inadeguata rappresentazione
del problema(…);
l’influenza della formulazione del testo
sulla comprensione
e, quindi, sui processi risolutivi
è un elemento da tenere presente
quando, dato un problema,
passiamo dalla fase di osservazione
a quella di interpretazione dei comportamenti(…),
in questo processo di interpretazione
c’è un baratro invalicabile
fra quello che l’allievo “fa” e quello che l’allievo “è”
e spesso da ciò che l’allievo “non ha fatto”
si pretende di dedurre che l’allievo
“non ha le capacità”
( R. Zan 2009)
PROBLEMI : QUALI COMPETENZE?

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
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
Comprensione del testo
Individuare dati essenziali, dati mancanti, dati sovrabbondanti
Individuare relazioni fra i dati
Costruire relazioni e corrispondenze
Utilizzare in modo consapevole tecniche e procedure di calcolo
Sviluppare algoritmi risolutivi
Controllare la validità di tali algoritmi
Matematizzare il problema da risolvere attraverso processi di
generalizzazione e simbolizzazione che riducono l’effetto della
complessità
Padroneggiare modelli risolutivi in condizioni di certezza e di incertezza
Allenarsi al rigore e alla precisione mentale
Comprendere e utilizzare codici formali
Consapevolezza e valorizzazione dell’errore
............................................................
QUALI FATTORI INTERVENGONO NELLA
RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA?
 La presentazione del problema (testo e contesto)
 L’interazione del contesto problematico con conoscenze
e modelli di ciascun solutore
 Il rapporto di ciascun solutore con la propria matrice
cognitiva
 L’utilizzazione dell’errore come strumento di
informazione e di revisione di ipotesi
 Convinzioni sulla disciplina
 Convinzioni metacognitive
 ……………………………………
PROBLEM SOLVING – PROBLEM POSING
L’insieme dei processi necessari
ad analizzare,affrontare
e risolvere positivamente
una situazione problematica
Un modello di apprendimento e conoscenza che si
articola intorno alle modalità con le quali, a partire da
da una situazione problematica, si arriva a formulare
nuove questioni approfondendo e aggiungendo
significato agli stessi contenuti che si apprendono.
GENERAZIONE/CREAZIONE di problemi che supera
il “quanto sapere” puntando sul “come sapere”
e sull’”imparare a imparare”, acquisendo capacità di
analisi e sintesi, induzione e deduzione,intuizione e
Invenzione.
?
?
DA UN PROBLEMA AD UNA CLASSE DI PROBLEMI
PROBLEMI SIMILI … MA DIVERSI
PROBLEMI ANALOGHI… MA NON UGUALI
PROBLEM SOLVING
Il problem solving è un cambiamento comprovabile
che ha luogo nelle capacità di una persona
e che si circoscrive all’acquisizione di una regola (Gagnè1973)
Il problem solving è un atto di apprendimento nel senso
che nel comportamento del soggetto, dopo che il problema
è stato risolto, si manifesta un genere di prestazione che
prima non possedeva e che gli permette la generalizzabilità
a classi di problemi.
VARIABILI CHE INTERVENGONO NELL’ATTIVITA’ DI
PROBLEM SOLVING
VARIABILI ESTERNE
Stimoli (fisici,verbali,iconici,ecc)
Direttive (indicazioni sulla visione del
problema o su alcuni dei suoi aspetti)
Istruzioni (interventi per indirizzare alla
soluzione)
VARIABILI INTERNE
Quantità di informazioni possedute
Facilità a richiamare alla memoria
informazioni possedute
Capacità di selezionare concetti
Flessibilità nel fare ipotesi
Capacità di confrontare il caso
specifico con il caso generale
FASI DEL PROBLEM SOLVING
G. Polya in Come risolvere i problemi (1983)
CAPIRE IL
PROBLEMA
Qual è l’incognita? Quali sono i dati?Qual è la condizione da
soddisfare?
E’ possibile soddisfarla? La condizione è sufficiente a
determinare l’incognita? O è insufficiente? O è superflua?
O è contraddittoria? Si disegni la figura, si introduca un
conveniente sistema di notazione, si separino le varie parti
della condizione.
Si determinano i legami fra dati e incognita
Il problema è già noto? E’ noto un problema simile o
IDEARE UN
connesso con questo?Conosci una regola che può esserti
PIANO PER
TROVARE LA utile? Un problema simile può aiutarti? Puoi risolvere una
parte del problema? Puoi dedurre qualcosa di utile dai dati?
SOLUZIONE
Puoi pensare ad altri dati utili a trovare l’incognita? Hai
usato tutti i dati? Tutte le condizioni?Tutte le informazioni
essenziali del testo?
ESEGUIRE IL
PIANO
Sviluppo del piano
Esegui il tuo piano di risoluzione, controllando ogni
passaggio. Puoi vedere che è esatto? Puoi provare che è
esatto?
ESAME DELLA
SOLUZIONE
TROVATA
Verifica del risultato
Puoi verificare il risultato? Puoi verificare il procedimento?
Puoi ottenere il risultato in modo diverso? Puoi vederlo a
prima vista? Puoi usare il risultato o il metodo per risolvere
un altro problema?
L’attività di problem solving permette all’allievo di:
“Penetrare” i legami fra i dati
Scoprire regolarità e non regolarità dei risultati
Scoprire analogie e differenze fra “processi”
Scoprire analogie e differenze fra “prodotti” di
processi analoghi
FASI DEL PROBLEM POSING
(S. Brown –M. Walter “L’arte del Problem Posing”)





Accettazione del dato
E se non
Lista degli attributi
Analisi del nonAi
Fare ciclo
Un esempio per chiarire !
Una formichina vuole effettuare un percorso quadrato partendo da A, passando poi per B,
poi per C e per D fino a tornare in A.
A
D
B
C
Il lato del quadrato è di 200 metri. Durante il giorno la formichina riesce a percorre tanti
metri quanto misura un lato ma durante la notte un forte vento la riporta indietro della
metà del percorso fatto durante il giorno.
Se parte lunedì mattina da A, quando riuscirà a percorrere tutto il tragitto tornando in A?
Accettazione del dato:
 il percorso ha forma quadrata;
 la formica passa prima per A, poi per B, poi per C e per D e infine torna in
A;
 il lato del quadrato misura 200 metri;
 di giorno la formica percorre tanti metri quanto misura il lato del quadrato;
 di giorno la formica percorre 200 metri;
 di notte la formica è portata indietro dal vento della metà del percorso;
 di notte la formica torna indietro di 100 metri;
 la formica parte lunedì
Il percorso quadrato può essere rappresentato linearmente e … il disegno
ci può parlare!!!
A--------A1------B------ B1---------C------- C1------- D---------D1------A
0
100
200
300
400
500 600
700
800
Lun mart
merc
gio
ve
sa
do
notte notte
notte
notte notte notte
E se non
Se IL LATO DEL QUADRATO NON misurasse 200 METRI?
Se il lato MISURASSE 100metri?
……………………….
Se la lumaca NON TORNASSE INDIETRO la notte DELLA META’ DEL
PERCORSO FATTO DI GIORNO?
Se tornasse indietro di ….?
…………………………
 Lista degli attributi
 Analisi del nonAi
 Fare ciclo
Si ripete la lista degli attributi con la NUOVA ipotesi ( lato 100 m,
…,torna indietro di.. , il lato di…e torna indietro di…, ecc)
Un altro esempio
…. che si presta bene al problem posing
Paolo ha comprato dei pesci rossi che vuole mettere nel
suo acquario da 36 litri.
Per riempire l’acquario ha a disposizione due brocche, una
da 3 litri e una da 5 litri.
Ad ogni viaggio sceglie una sola brocca che riempie sino
all’orlo e la svuota del tutto nell’acquario.
Qual è il numero minimo di viaggi che Paolo dovrà fare
per riempire esattamente l’acquario?
ALCUNI PROBLEMI … per smentire che
“nella pratica didattica la parola problema assume per lo più il
significato di un’etichetta che caratterizza un certo tipo di esercizio: un
testo che pone una domanda finale e che richiede procedimenti che
hanno a che fare con le operazioni matematiche”.
?
La maestra chiede ai bambini di portare a scuola
qualche vecchio giornale. La mattina seguente ogni
bambino si presenta con un pacco di vecchi giornali.
Che confusione di fogli!
Per mettere ordine la maestra suggerisce ai bambini di
raggruppare i fogli dei giornali in rotolini, rotoli e
rotoloni con questa tecnica : un rotolino è fatto da 10
fogli di giornale, un rotolo è fatto da 10 rotolini e un
rotolone è fatto da 10 rotoli. I bambini si mettono a
lavoro e in un angolo dell’aula sistemano 7 rotoloni, 4
rotoli , 2 rotolini e 3 fogli sfusi.
Quanti fogli di giornale avevano portato in classe gli
alunni?
Se invece ogni rotolino fosse stato fatto da 20 fogli,
ogni rotolo da 20 rotolini e ogni rotolone da 20 rotoli ,
quanti rotoloni, quanti rotoli , quanti rotolini e quanti
fogli sfusi i bambini avrebbero sistemato nell’angolo
della classe?
Quante monete da 50 centesimi
servono per formare 2,30 euro?
Spiega come hai fatto a dare la
risposta.
 La merenda che preferisci costa 2,30
euro e vuoi procurarti la somma in
modo da non dovere avere resto . In
quanti modi puoi raccogliere la somma
che ti serve ?
Barbara, la sorella di Daniele, ha comprato allo
spaccio della Perugina una scatola di
cioccolatini per regalarla all’amica Silvia per il
compleanno.
Nella scatola ci sono 5 file di cioccolatini
composte ciascuna da 4 cioccolatini.
Daniele di nascosto mangia 5 cioccolatini e al
loro posto riposiziona solo l’involucro.
Quanti cioccolatini troverà nella scatola
Silvia?
E se Daniele avesse mangiato due cioccolatini
per ogni fila quanti cioccolatini sarebbero
rimasti?
Spiega il tuo ragionamento.
In un negozio di lampadari ho visto
lampadari a 2 luci e a 3 luci.
Conto le lampadine : sono in tutto 20.
Quanti, secondo te, possono essere i
lampadari?
Spiega come hai fatto a trovare la
risposta.
 Il numero 34 è la somma di quattro numeri
naturali consecutivi
34 = 7+ 8 +9 +10
Trova degli altri numeri, fra 40 e 50, che sono anche
loro somma di quattro numeri naturali consecutivi
e spiega come hai fatto.
Cosa si può dire circa i numeri che risultano
somma di quattro numeri naturali consecutivi?
 Secondo te ci sono numeri per cui è vero che
la loro somma è uguale al loro prodotto?
FACCIAMO UN GIOCO!
Ognuno pensi un numero di 2 cifre e lo scriva in un
foglietto.
Nello stesso foglietto ognuno scriva anche il numero
che si ottiene invertendo le cifre del numero pensato.
Scrivete alla lavagna il numero che ognuno ha ottenuto
come differenza fra i due numeri ( dal più grande si
tolga il più piccolo!) .
Quale caratteristica hanno tutti questi numeri scritti
alla lavagna?
Se fate la stessa cosa con un numero di tre cifre notate
la stessa caratteristica?
I 60 alunni delle classi quinte della
Scuola Leonardo da Vinci vanno a Roma
a visitare i Musei Vaticani .
Metà di loro entrano subito nella sala
dove sono esposti i reperti egizi, dei
restanti solo la metà è ammessa alla
visita della Cappella Sistina e gli altri
vanno a visitare la Pinacoteca.
Sapresti dire quanti bambini visitano la
Cappella Sistina e quanti la Pinacoteca?
Spiega come hai fatto a dare la risposta.
Un gruppo di ragazzi delle scuole di Perugia si
trova in visita ai Musei Vaticani .
Metà di loro entrano subito nella sala dove
sono esposti i reperti egizi, dei restanti la metà
è nella sala dove sono esposti i reperti romani,
13 sono in visita della Cappella Sistina e 15
vanno a visitare la Pinacoteca.
Sapresti dire quanti sono i ragazzi delle scuole
di Perugia in visita ai Musei Vaticani?
Spiega come hai fatto a dare la risposta.
I 60 alunni delle classi quinte della Scuola
Leonardo da Vinci vanno a Roma a visitare i
Musei Vaticani .
La maggior parte di loro entrano subito nella
sala dove sono esposti i reperti egizi, un
gruppo più piccolo è nella sala dove sono
esposti i reperti romani e gli altri 15 vanno a
visitare la Pinacoteca.
Sapresti dire di quanti bambini può essere
formato il gruppo che è nella sala dei reperti
egizi e quello che è nella sala dei reperti
romani?
Spiega come hai fatto a dare la risposta.
Luca ha 53 anni e sua figlia ne ha 21.
Fra quanti anni l'età di Luca sarà i 5/3 dell'età
di sua figlia? Metti una crocetta sulla risposta
fra le seguenti che ritieni giusta:
(a)
(b)
(c)
(d)
21
27
33
18
Spiega come hai fatto ad individuare la
risposta giusta.
Tre amiche Bianca, Rosa e Viola si
incontrano e notano che i loro vestiti
sono del colore del loro nome, ma
nessuna di loro ha il vestito del colore
del suo nome.
Viola ha un vestitino a pieghe di un bel
colore sgargiante.
Secondo te è possibile indovinare il
colore del vestito di ognuna delle tre
amiche.
Nel libro dei Dolci di Lisa Boni mia figlia Paola legge la
ricetta della :
CIOCCOLATA ALLA FRANCESE
( Per 4 persone ) – In una casseruola mettete 160 gr di
cioccolato fondente grattugiato, unite 4 cucchiai d’acqua e
ponete sul fuoco a bagnomaria finchè il cioccolato si sarà
sciolto. Togliete dal fuoco la cioccolata e sbattetela
energicamente, poi diluitela con altri 8 cucchiai d’acqua e
aggiungete lentamente un litro di latte bollente. Versate
nelle tazze e servite subito.
Paola pensa di preparare la Cioccolata alla francese per la
merenda del pomeriggio che farà insieme ai suoi 7
compagni di classe che ha invitato e mi chiede di farle
trovare gli ingredienti necessari.
Vado di corsa al supermercato e compro la roba che serve.
Cosa ho comprato e in quale quantità?
Scrivi la ricetta della Cioccolata alla francese per 2
persone.
Un ranocchio, un canguro e una lepre
partendo tutti dalla casella 0 saltano sulla
“linea dei numeri”.
Il ranocchio fa sempre salti da 3 caselle ,
il canguro da 6 e la lepre da 4 e ciascun
animale lascia la propria impronta sulla
casella dove poggia le zampe.
Nella casella 96 ci sono le impronte di
tutti e tre gli animali.
In quali altre caselle prima della 96 ci
sono le impronte di tutti e tre gli animali?
Un giorno, il re chiese al suo giullare: «Sai
dirmi l'età delle mie tre fìglie? Sappi che il
prodotto dell'età delle tre è 36, e che la somma
è pari al numero delle finestre del palazzo che
abbiamo di fronte.».
Il giullare replicò: «Sire, la soluzione è alla mia
portata, ho solo necessità di un altro piccolo
aiuto».
Il re, allora, aggiunse: «La più grande ha gli
occhi azzurri», e il giullare diede la risposta
corretta.
Secondo te qual è stata la risposta del
giullare?
Come hai fatto tu a trovarla?
Edoardo ha 42 biglie e vuole metterle in 7
scatolette in modo che :
- ognuna delle scatolette contenga un
numero diverso di biglie;
- la scatoletta che contiene meno biglie abbia
solo una biglia e quella che ne contiene di
più ne abbia 10;
- una sola scatoletta contenga un numero di
biglie doppio di quello di un’altra.
Puoi aiutare Edoardo ad ordinare le sue 42
biglie nelle 7 scatolette?
Con quali regole tu avresti sistemato le 42
biglie nelle 7 scatolette?