Risoluzione Triangoli
rettangoli
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Risolvere un triangolo rettangolo
significa trovare la misura dei tre
lati a, b, c e l’ampiezza dei tre
angoli , , , conoscendo tre
elementi, di cui almeno uno sia
un lato.
C

a
Sono possibili quattro casi
b
Esempi:
 Altezza di una torre inaccessibile

c
A
 = 90°
 Test di autoverifica

B
 Esercizio di fisica
 Risoluzione in excel
I quattro casi possibili si ottengono secondo che siano note:
C

a
1.
le misure dei due cateti
2.
le misure dell’ipotenusa e di un cateto
3.
la misura dell’ipotenusa e l’ampiezza
di un angolo acuto
4.
la misura di un cateto e l’ampiezza di
un angolo acuto
b


c
A
 = 90°
B
Considerazioni
1° caso:
Siano note le misure dei cateti b e c.
Determinare la misura dell’ipotenusa a e l’ampiezza degli angoli acuti  e .
C
b
tg   ctg
c

a
b
Per il Teorema di PITAGORA:


c
A
 = 90°
B
a
b 2 c 2
2° caso: Siano note le misure dell’ipotenusa a e del cateto b.
Determinare la misura del cateto c e l’ampiezza degli angoli acuti  e .
C

b
sen   cos
a
a
b
Per il Teorema di PITAGORA :


c
A
 = 90°
B
c
a b
2
2
3° caso: Siano note la misura dell’ipotenusa a e l’ampiezza
dell’angolo acuto .
Determinare le misure dei cateti b e c e l’ampiezza dell’angolo acuto .
C
  90  

b  a sen
a
b

c
A
 = 90°
c  a cos 

B
4° caso: Siano note la misura del cateto b e l’ampiezza dell’angolo
acuto .
Determinare le misure dell’ipotenusa a, del cateto c e l’ampiezza
dell’angolo acuto .
  90  
C

b
a
cos
a
b

c
A
 = 90°
c  b tg

B
Risoluzione di un importante problema pratico
Si vuole misurare l’altezza h di una torre inaccessibile
Osserviamo la figura:
•
Si misura  con un teodolite;
•
Si misura d
Si calcola :
1) tg  = h/d
2) h= d tg 
h

d
Risoluzione trigonometrica di problemi geometrici
I teoremi prima enunciati ci permettono di fare alcune
riflessioni:
1. Si possono risolvere quesiti di geometria piana o
solida procedendo per via trigonometrica: si sceglie
come incognita un angolo e si utilizzano le funzioni
seno, coseno,….
2. Si fa la ricerca delle limitazioni dell’incognita;
3. Si traduce il problema in equazione goniometrica;
4. Si valuterà il numero di soluzioni per stabilire se il
problema
è
determinato,
indeterminato
o
impossibile.
Test di autoverifica
N. Test sui triangoli rettangoli
1 La somma dell’ampiezza
risposta
dell’angolo retto e di uno acuto è
uguale a 135°.Quanto misura
l’altro angolo acuto?
2
Se =60° e c=5, allora…
=
b=
a=
3
Se =45° e a=6, allora…
=
b=
c=
Risoluzione in excel
Teorema di PITAGORA
c b  a
2
C

2
a
2
Dimostrazione
b


c
A
 = 90°
B
Esempi
Dimostrazione del teorema di Pitagora
b
a
Dato il triangolo di lati
a, b e c
b
a
Se costruiamo i
seguenti quadrati si
ottiene
ab
( a  b)  c  4
2
2
a
b
2
Svolgendo i calcoli
a2  b2  c2
a
b
Esempi
Pn  Pt  P
2
2
2
C

Pn
Pn  Pt  P 2
2
a
P
b
Pt


c
A
 = 90°
2
B
In fisica il teorema
di
Pitagora
è
utilizzato
per
trovare il modulo
di una forza date le
componenti di una
sua scomposizione
Esempi
C

a
b


c
A
 = 90°
B
Esempi
C

a
b


c
A
 = 90°
B
PITAGORA
Secondo la tradizione, Pitagora era nativo dell'isola di Samo.
Non si conosce con certezza l'anno di nascita: secondo il calcolo degli storici
moderni, basato sull'analisi dei dati lasciatici dagli antichi, esso è collocato tra il
640 e il 570 a.C. Quest'ultima data è quella che riscuote i maggiori consensi. Il
padre Mnemarco era incisore di sigilli e la madre Partenide era considerata la
più bella donna di Samo. Il nome di Pitagora significa "predetto dalla Pizia",
poiché alla madre incinta fu predetto dalla Pizia, la profetessa dell'oracolo di
Delfi, che avrebbe partorito un "figlio più bello e sapiente di chiunque fosse mai
esistito, destinato a recare in ogni aspetto della vita grandissimo giovamento
all'intero genere umano" (Dalla Vita pitagorica di Giamblico). Fin dalla sua prima
infanzia fu educato alla musica, alla poesia, al disegno e all'esercizio ginnico.
Ebbe come maestri i più rinomati sapienti della Grecia, tra cui Talete e
Anassimandro. Talete "gli trasmise quanti insegnamenti potè. Poi, adducendo
la sua vecchiaia e la sua debolezza, lo invitò a recarsi in Egitto e a incontrarsi
soprattutto con i sacerdoti di Menfi e Diospoli.
Ebbe così inizio la lunga serie dei suoi viaggi che lo portarono a contatto delle
maggiori civiltà e culture del suo tempo. Come dice Ione da Chio "conobbe ed
apprese il pensiero di tutti gli uomini". Ebrei, fenici, egiziani, caldei, persiani,
indiani, etiopici, celti, ciascuno gli avrebbe rivelato qualche segreto e ceduto
qualche importante insegnamento: dagli ebrei avrebbe appreso l'arte di
interpretare i sogni, dai fenici la scienza dei numeri, in Egitto, dove rimase
ventidue anni, avrebbe imparato l'arte del parlare simbolico, la geometria e la
dieta catartica. Quindi, passato in Babilonia, dove dimorò per dodici anni,
diventò esperto di astrologia e astronomia, attingendo al tesoro di osservazioni
astronomiche accumulate nel corso di molti secoli dai sacerdoti caldei.
Pitagora, "La vie des hommes illustres" di
Théviet
continua
PITAGORA
Si sarebbe anche perfezionato in medicina e musica e da Zoroastro avrebbe appreso di fisica, di
economia e politica, ma soprattutto sarebbe stato istruito nelle pratiche religiose e sopra le forme di
astinenza necessarie alla santità. Ma la vera maestra di saggezza e santità sarebbe stata l'India dove
Pitagora arrivò per visitare i bramani. La tradizione ci presenta quindi la figura di Pitagora come sintesi
universale delle culture del suo tempo, in grado di riassumere in sé l'esperienza dell'intero genere
umano. Dopo tutti questi viaggi, ricco di tutto il sapere dei popoli, iniziato a tutte le forme di misteri,
conoscitore profondo di uomini, istituzioni, usi e costumi, fece finalmente ritorno nell'isola di Samo. Ma
qui, benché ammirato e stimato come eminentissimo sapiente, sembra che Pitagora trovò grosse
difficoltà nell'intraprendere la sua opera di insegnamento e di riforme che si era prefisso come missione.
Ebbe un solo allievo a Samo e per averlo fu costretto a pagare tre oboli per ogni teorema che gli
insegnava. Fu così che, per la poca propensione ad apprendere dei suoi concittadini e per il clima
refrattario dovuto alla tirannia cui era soggetta Samo, Pitagora decise di spostarsi altrove e la scelta
cadde sulla città di Crotone. Sembra che sia sbarcato prima a Sibari e che poi abbia raggiunto Crotone,
dove il suo arrivo fu visto come un evento voluto dagli dei. Qui tenne subito una serie di discorsi agli
anziani, ai giovani, ai fanciulli e alle donne, affascinando gli uditori.
A Crotone rimase per venti anni, incidendo molto sulla vita e i costumi di questa città, riformandone le
istituzioni di governo e il culto, e persino introducendo un sistema di pesi e di misure ed un nuovo tipo
di moneta con il caratteristico tripode, emblema della religione apollinea e quindi del carattere divino
dell'uomo pitagorico. Ma gli ultimi tempi della sua permanenza a Crotone furono amareggiati dalla
crescente ostilità nei confronti della sua scuola. Probabilmente le cose andarono così: l'influenza
politica della scuola pitagorica era stata notevole e duratura e ciò non poteva, passati i primi
entusiasmi, che generare invidia e rancore in coloro che ne erano stati esclusi, e delusione e
malcontento in coloro che volevano governi più democratici o più tirannici. Il crotoniate Cilone,
espulso dalla scuola, si fece capo di un partito anti-pitagorico che si rafforzò in occasione della guerra
che portò alla distruzione di Sibari, allorché i pitagorici si opposero alla spartizione delle terre di
conquista al popolo. Pitagora si allontanò allora da Crotone e si trasferì a Metaponto dove, dopo
aver insegnato per altri diciannove anni, morì nel 409 a.C. Dopo la partenza di Pitagora da Crotone, si
ebbero vicende alterne che portarono alla formazione di governi tirannici, alla loro caduta e
all'instaurazione di governi oligarchici, finché la scuola pitagorica non fu distrutta con un incendio
della casa di Milone in cui erano riuniti i più eminenti tra i pitagorici. 
TEODOLITE
Si compone di un cannocchiale astronomico con
livella a bolla d'aria e reticolo, e di due cerchi
graduati. La parte mobile di un cerchio ruota col
cannocchiale in un piano verticale; il lembo interno
dell'altro gira, insieme alla parte superiore dello
strumento, in un piano orizzontale. Sopra una
piattaforma sono disposte due livelle a bolla d'aria o
una livella sferica.
Il cannocchiale è smontabile con facilità dalla sua
legatura ed usabile separatamente.