Conservazione energia
Esercizio 5
Esercizio 5
Un corpo parte da A con velocità v0, calcolare il lavoro fatto
nei vari tratti e la velocità in F.
C
A
B
D
E
F
Esercizio 5
LAB=0
L=F.Ds cosq
LBC=-F.Ds sina
Ds
LAB=F.Ds cos90 LBC=F.Ds cosq
cosq=0
q=90°
Ds
q
B
A
Fg=mg
q
Ds
a 90°<q<180°
-1<cosq<0
cosq=cos(90+a)
=-sina
D LDE=Fh
C
Fg=mg
LAB=0
h=Ds sina
LCD=0
E
LBC=-Fh
Ds
LCD=0
Fg=mg
LDE=Fh
F
LEF=0
LEF=0
Esercizio 5
L=F.Ds cosq
Ds
LAB=0
LBC=-Fh
q
Ds
Fg=mg
q
B
A
Ds
D
C
LCD=0
Ds
h=Ds sina
Fg=mg
Fg=mg
a
E
F
LDE=Fh
LEF=0
L= LAB+ LBC+ LCD+LDE+ LEF= 0 -Fh +0 +Fh +0 =0
Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza peso mg su questi diversi percorsi
L1=mg . Ds L1=mg Ds sin q =mg h
L2=LAC+LCB=mg.Ds1+mg.Ds2=mg(Ds1sinq1+Ds2sinq2)
=mg(h1+h2) =mgh
L2=LAD+LDB=mg.Ds3+mg.Ds4 =mg(Ds3sinq3+Ds4sinq4)
A
Ds
=mg(h3+h4) =mgh
q3
3
h3
h
D
h1
h4
h2
Ds4
Ds1
E’ uguale!!
q1
C
h=Ds sin q
h3=Ds3 sin q3
h1=Ds1 sin q1
h2=Ds2 sin q2 h4=Ds4 sin q4
Ds2
q2
q
q4
B
Ed è uguale anche al lavoro in
caduta libera
Anche se
zAla quota z effettiva del percorso è diversa, il lavoro è uguale perché
dipende solo dalla differenza delle quote dei punti iniziale e finale h=zA-zB.
zB
A
Ds3
q3
D
h
zA
Ds4
Ds1
q1
C
Ds2
q2
zB
q
q4
B
Anche su ogni altro percorso il lavoro è uguale a mg(zA-zB).
Il Lavoro dipende solo dalle posizioni dei punti A e B e non dal
percorso scelto per connetterli.
A
h3
Ds3
q3
D
h1
h4
h2
Ds4
Ds1
q1
C
Ds2
q2
q
q4
B
E su un percorso chiuso?
LAB=mg (zA-zB)
LBC=mg (zB-zC)
LCD=mg (zC-zD)
LDA=mg (zD-zA)
A
zA
B
zB
L=LAB+LBC+LCD+LDA
zD
zC
D
C
L=mg(zA-zB+zB-zC+zC-zD+zD-zA)=0
Su tutti i percorsi chiusi il lavoro totale fatto dalla forza
peso è nullo.
Anche altre forze si comportano così:
Per esempio:
La forza elastica,
La forza elettrica,
La forza gravitazionale.
Le forze per cui il lavoro è nullo su qualunque percorso
chiuso sono dette conservative.
Per questo tipo di forze (e solo per queste) vale il
teorema di conservazione dell’energia
• Esempio della gravità:
Il lavoro tra due punti A e B è:
LAB=mg (zA-zB)
Inoltre vale il teorema lavoro-energia:
L AB
1
1
2
2
= mv B  mv A
2
2
Quindi
1
1
2
2
m gz A  m gz B = mv B  mv A
2
2
1
1
2
2
m gz A + mv A = m gz B + mv B
2
2
Energia potenziale nel punto A Energia potenziale nel punto B
Energia cinetica nel punto A
Energia cinetica nel punto B
La somma di energia potenziale più energia
cinetica nei due punti è uguale
En. Cin. in A + En. pot. in A= En. Cin. in B + En. pot. in B
KA+UA = KB+UB
Questo risultato esprime il teorema di conservazione dell’energia
Commento sulla conservazione dell’energia
Energia
totale
600
500
Energia
400
300
Energia
cinetica
Energia
potenziale
200
100
0
5
4
3
2
z
1
0
Nella caduta libera l’energia potenziale si converte in
energia cinetica.
• Questo processo è sfruttato nelle centrali idroelettriche
Nei mulini:
Consideriamo un caso in cui non c’è la forza peso, ma solo
l’attrito
• Prendiamo il percorso analizzato precedentemente e appoggiamolo in
orizzontale su un tavolo.
• La forza peso non agisce, perché è compensata dal sostegno del
tavolo, c’è solo l’attrito.
A
lAB
B
lDA
lBC
D
lCD
C
Calcoliamo il lavoro, ma stavolta della forza d’attrito
A
LAB=-mmg lAB
LBC= =-mmg lBC
LCD= =-mmg lCD
LDA= =-mmg lDA
lAB
B
L=LAB+LBC+LCD+LDA
D
C
L=-mmg(lAB+lBC+lCD+lDA)
Il lavoro è:
L=-mmg(lAB+lBC+lCD+lDA)
=-m mg l
Quindi diverso da zero!!!!
Quando sul sistema agiscono forze conservative e
forze non conservative contemporaneamente:
Uin=mgh
h
Con attrito
Kin=0
Kfin=1/2m v22
con
Senza attrito
Kfin=1/2m v12 Ufin=0
Nel caso senza attrito:
v1>v2
Uin=mgh
h
Kin=0
Kin+Uin = K1fin+Ufin
Uin = K1fin
Con attrito
K1fin > K 2fin
K2fin=1/2m v22
co
Senza attrito
Ufin=0
K1fin=1/2m v12
Nel caso con attrito: Kin+Uin > K2fin+Ufin
Uin > K2fin
L’energia potenziale si trasforma tutta in cinetica
nel caso senza attrito
• Nel caso con attrito l’energia potenziale si trasforma solo in parte in
cinetica
• La frazione mancante si trasforma in altre forme di energia, calore,
suono, luce, ecc.
L=F . Ds
Se ci sono sia la forza peso che l’attrito
L=Fg . Ds+Fa . Ds
L=mgzA-mgzb-mmglAB
Applico il teorema
lavoro-energia
L=mgzA-mgzb-mmglAB =1/2 mvB2-1/2mvA2
mgzA+ 1/2mvA2 =1/2 mvB2 + mgzb + mmglAB
Questa parte va in altre forme di energia
Potenza
• La potenza è il rapporto tra l’energia trasformata in un processo e il
tempo di durata di questo processo.
Energia
P=
tempo
L’unità di misura della potenza è
1 Joule
1 Watt =
1s
Esempi:
• Nelle cascate l’energia potenziale è trasformata in energia cinetica
• un asciugacapelli da 2 kW converte energia elettrica in energia termica
e meccanica al ritmo di 2 103 J/ s
• una lampada da 22 W converte energia elettrica in energia termica e
luminosa al ritmo di 22/ J s;
• una caldaia a gas da 24 kW converte 2,4 104 J /s di energia chimica in
energia termica e meccanica
• Metabolismo basale
E’ il dispendio energetico minimo per sopperire alle funzioni vitali di
base: respirazione, battito cardiaco, ecc..
Per un uomo di 70 Kg è circa 80 W
Potenza della natura
Nonostante la loro notorietà, le cascate del Niagara sono piuttosto basse (52 m). In
compenso hanno un’enorme portata d’acqua, con una media annua di 110000 m3/ min.
Quanta potenza viene dissipata dalla cascata?
Densità dell’acqua
r=1kg/dm3 =10 3kg/m3
M/t= r 110000/60 J/s
P=Mgh/t=52 9.8 r 110000/60 J/s
P=Mgh/t=52 9.8 103 110000/60 J/s
52 m
P=Mgh/t=934 106 W=934 MW
Al centro del lago di Ginevra si trova il Jet d’Eau, che come dice il nome è un
enorme getto d’acqua visibile anche dagli aerei. La fontana lancia fino a
140 m di altezza 500 l d’acqua ogni secondo. A quale velocità esce l’acqua dalla
fontana? Calcola quanta energia consuma in un giorno il Jet d’Eau.
P=Mgh/t
M/t=500 Kg/s
140 m
P=500 9.8 140 J/s =500 9.8 140 J/s =6.86 10 5 W
1
2
Mgh = Mv
2
v = 2 gh
1 2
gh = v
2
= 52.38 m/s
v = 2 gh
2
= 188 km/h
E=Pt=6.86 105 3600 24 J=592 108 J=5.9 1010 J
v=0
Una forza F che muove un corpo a velocità costante v per un tratto Ds compie un lavoro:
L = F .Ds
In questa situazione la potenza erogata è:
L
Δs
P=
= F
Dt
Δt
P = Fv
• Un’automobile di media cilindrata necessita di una potenza di 1,5 10 4
W per procedere a 100 km/ h (28 m/ s). La risultante delle forze di
attrito e di resistenza aerodinamica che si oppongono al moto è:
L = F .Ds
L
Δs
P=
= F
Dt
Δt
1.5 104 = F 28
F=1.5 104 /28 =535 N
P = Fv