Area e perimetro …
che confusione!
Anna Maria Facenda
Paola Fulgenzi
Janna Nardi
Floriana Paternoster
Daniela Rivelli
Daniela Zambon
Sezione Mathesis di Pesaro
www.mathesispesaro.altervista.org
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”Confusione” tra Area e perimetro:
difficoltà molto frequente in Geometria
Più evidente quando i due concetti
vengono messi in relazione: ad area
maggiore/minore “deve” corrispondere
perimetro maggiore/minore e viceversa
I due concetti non risultano separati
quindi anche le loro variazioni “devono”
essere analoghe
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Ostacolo con radici …
• ….. storiche (Galileo):
« … ignorando che può essere un recinto eguale a
un altro, e la piazza contenuta da questo assai
maggiore della piazza di quello: il che accade non
solamente tra le superfici … »
(Discorso intorno alle due nuove scienze ….)
• … epistemologiche: concettualizzare
l’area richiede un salto mentale verso
l’astrazione
• … ma forse anche didattiche!
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Infatti generalmente nel lavoro in classe su aree e
perimetri:
• L’attenzione è focalizzata prevalentemente sul
calcolo
• Le situazioni riguardano figure statiche
• Le procedure (formule) sono “trasmesse” e non
“scoperte” attivamente
Si favorisce così la nascita e il consolidamento di uno schema mentale:
area e perimetro legati da un “destino comune”
Eventuali conflitti cognitivi non hanno in genere la forza di contrastare
tale schema, una volta stabilizzato
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La nostra proposta, centrata sulla utilizzazione di
figure dinamiche, non vuole essere una ricetta ma
offrire spunti di riflessione.
Le sue caratteristiche sono:
• il ricorso alla percezione attraverso l’operatività
• la dinamicità, che crea un numero infinito di casi
e arricchisce l’esperienza
• il numero e la diversità dei modelli che amplia la
variabilità e il campo di applicabilità delle
percezioni
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Prima di presentarla in dettaglio diamo alcuni cenni sul
quadro teorico a cui facciamo riferimento.
A nostro avviso la Matematica non è la scienza delle
formule trasmesse e apprese ma conoscenza da
esplorare e strutturare anche in modo creativo
L’attività matematica ha lo scopo di:
• Arricchire le risorse degli alunni
• Rendere gli alunni consapevoli delle proprie
potenzialità e delle capacità di analisi e di
critica
I concetti matematici dovrebbero prendere forma,
nell’età dell’obbligo e non solo, attraverso attività
concrete
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Per apprendere sono
necessari interesse e
motivazione, che
possono essere suscitati
coinvolgendo gli alunni
In attività quali:
Con questa modalità di
lavoro l’insegnante non è
più “trasmettitore di
conoscenza” , ma è:
• manipolazione
• osservazione
• esplorazione e
scoperta
• verbalizzazione e
discussione
• il garante scientifico e
metodologico
• colui che propone
stimoli e modelli di
apprendimento
• la guida, che orienta e
… che si mette in gioco
per dare la possibilità
agli alunni di “giocare”
ad apprendere
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Inoltre è più facile imparare a pensare
matematicamente:
• se si lavora non solo con la mente ma anche
con le mani
• se si opera in un contesto che dà spazio alle
interazioni alunno-alunno e alunno-docente
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I modelli dinamici (come anche i software
dinamici Cabri e GeoGebra), che sono
rappresentazioni degli oggetti matematici, sono
materiali preziosi per l’attività matematica:
• sono duttili ed adattabili (favoriscono anche
l’integrazione di alunni BES)
• consentono un feedback immediato
• stimolano ad osservare, fare congetture,
discutere, argomentare …
•spostano l‘attenzione dal prodotto al processo
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Il dinamismo ha una connotazione spaziotemporale e favorisce:
• l’interrogarsi sui rapporti di causa-effetto
• la trasformazione delle relazioni causali e
cronologiche in logico-deduttive
Modelli e software si possono utilizzare in
maniera complementare e sinergica:
entrambi consentono di esplorare ed
approfondire le situazioni proposte
attraverso esperienze diversificate e ricche .
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Classi coinvolte:
II D (scuola secondaria di primo grado), 25 alunni
VA (scuola primaria), 23 alunni
V B (scuola primaria), 23 alunni
In nessuna delle classi erano presenti alunni portatori di
handicap, in tutte vi erano alunni con bisogni educativi speciali
(certificati)
Le classi di scuola primaria hanno lavorato con materiali, per
tutto il ciclo; la classe di scuola secondaria aveva alle spalle un
solo anno di esperienze con modelli dinamici.
L’attività si è svolta per otto ore, un’ora alla settimana.
Ad ogni incontro erano presenti due insegnanti: l’insegnante di
classe (I) e l’insegnante ricercatore (IR); generalmente
l’insegnante di classe svolgeva il ruolo di verbalizzatore, mentre
l’insegnante ricercatore coordinava il lavoro di analisi e di
discussione.
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Modelli dinamici utilizzati:
Ogni alunno ha costruito personalmente i
modelli seguendo le indicazioni fornite
dall’insegnante; per gli alunni delle quinte
l’insegnante ha preparato alcune parti del
secondo e terzo modello, al fine di accorciare
i tempi di esecuzione.
L’osservazione e l’esplorazione hanno avuto
inizio con una fase di lavoro individuale e hanno
preso l’avvio dalla consegna:
“Muovi” i tre modelli e per ciascuno scrivi le tue
osservazioni su Area e Perimetro delle figure che
si formano.
Ogni alunno ha verbalizzato per iscritto le
proprie considerazioni.
Tempo impiegato: un’ora e un quarto circa.
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Modello 1
Modello 2
Si formano
triangoli
isoperimetrici
ma non
equiestesi
Si formano
quadrilateri e
triangoli
equiestesi,
ma non
isoperimetrici
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Modello 3
Si formano triangoli
con perimetro
variabile e con
area che presenta
delle fasi di
variazione e delle
fasi di permanenza
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Dopo la comunicazione dei risultati delle osservazioni individuali,
in ogni classe è iniziata la discussione collettiva, secondo l’ordine
stabilito per i modelli.
Durante la discussione sono stati utilizzati, forniti dalle insegnanti,
altri modelli come contro esempi o esempi di appoggio.
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Ultima fase del lavoro: “modelli di verifica”
Sono stati forniti in successione, sempre dalle
insegnanti, altri tre modelli (A, B, C) ed è stata data la
stessa consegna: “Muovi” i tre modelli e per ciascuno
scrivi le tue osservazioni su Area e Perimetro delle
figure che si formano.
L’esplorazione è avvenuta attraverso la sola
discussione collettiva.
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Presentiamo ora una selezione dei brani
di dialogo a nostro avviso più
interessanti, con il nostro commento
Molte delle riflessioni sono nate
spontaneamente dalla curiosità e dalle
intuizioni degli alunni.
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Grazie al dinamismo dei modelli, emerge il conflitto tra
misconcezione e dati percettivi; gli alunni stessi ne diventano
consapevoli:
(II D)
Giulia: in base a come lo muovi, si schiaccia
però … se lo spago è lo stesso non capisco
perché cambia l’area
(VB)
Vittoria: Non cambia il P perché lo spago è sempre uguale.
(II D)
Giulia: tu vedi che l’altezza diminuisce e la base
aumenta … allora diresti “perché l’area cambia?”
( V A)
IR: cosa accade al perimetro?
Molti: cambia.
IR: se varia ci sarà un massimo e un minimo … molti sono perplessi ..
Joni: ma i pezzi sono sempre gli stessi …
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L’abitudine ad una metodologia operativa su materiali dotati di
movimento ha fornito un “bagaglio” di strumenti utili in situazioni nuove
e ha contribuito a formare immagini mentali solide (sanno escogitare
strategie operative, di verifica e controllo, efficaci):
(V B)
Nina, Gioele: sono figure simmetriche …
……
Gioele: il segmento AB [la base comune a tutti i triangoli- n.d.a.] fa da asse, è qua
in mezzo (lo indica sul modello … )c’è un asse perpendicolare all’altro.
……
Luca T: basta fare ¼ di movimento per avere tutti i tipi di figure.
(II D)
IR: come faccio ad essere sicura che è isoscele?
Sole: fai le misure ..
IR: non ho il righello …
Sole: fai col palmo …
Marta: guardi gli angoli …
Gianmarco: lo dividi a metà, fai l’asse di simmetria ..
Sole: basta piegarlo …
IR: se ho degli strumenti da disegno?
Sole: con il compasso per misurare se tutti i lati sono uguali …
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( II D)
IR: come faccio ad essere sicura che occupa sempre ¼?
Nicholas è incerto …
……..
Luna: la ritaglio, la incastro, la sposto ... così faccio per tutte.
Marta: muovendo, quello che perdo da una parte lo ritrovo dall’altra
…
Gianmarco: se ruoti la figura … la ritagli e la incastri
IR: e il perimetro? Alcuni dicono che cambia.
Demis: come nel modello 2 ..
Giacomo: è la stessa cosa del modello 2.
Demis: solo che nell’altro era la metà …
( V A)
IR: ora ritorniamo al nostro quesito; perché l’area non cambia?
Alcuni: (le figure che si formano) sono la metà del quadrato … lo
provo con la simmetria o la rotazione.
IR: possiamo giustificarlo in altro modo? Supponiamo di non
conoscere simmetria e rotazione …
…….
Nicola G: guardi il quadrato che lo contiene …
Alcuni: prendo il righello e misuro
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Si fa spazio e si consolida la consapevolezza che area e perimetro
non sono necessariamente determinati dagli stessi elementi della
figura:
( II D)
Giovanni: il P non cambia perché lo spago è quello;
l’area cambia a seconda della forma che crei, l’area
diminuisce ..
Demis: muovendo lo spago resta la base ma cambia
l’altezza.
Federico: il filo elastico si modella, lo spago resta uguale
…
IR: allora cosa si modifica?
Giacomo: cambia il perimetro ..
IR: e l’area?
Giacomo: varia. L’area massima ce l’ha il quadrato …
Gianmarco: quando ci sono le diagonali perpendicolari.
Federico: l’altezza diminuisce …
Demis: quindi l’area diminuisce.
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(V A )
IR: cosa accade?
Molti: il P non cambia, i bastoncini sono
sempre gli stessi … l’area dipende
dall’altezza (ad un vertice è fissato un filo a
piombo)
Per validare le intuizioni sul Perimetro gli alunni ricorrono a stime;
per l’Area, invece, alla percezione: si conferma che
concettualizzare l’area è più difficile:
(II D)
Chiara: l’area resta sempre uguale perché la parte colorata è
sempre la metà del quadrato totale. Il P cambia perché i lati
diminuiscono e aumentano
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Qualche riflessione sul metodo di lavoro e sulle sue ricadute positive.
L’operatività e il dinamismo offrono un terreno favorevole a stili cognitivi
diversi; resta però essenziale dar voce agli alunni (argomentare,
discutere):
( V B)
Swami: faccio ruotare metà triangolo e lo trasformo in un quadrato …
IR: e le posizioni intermedie?
Alcuni: sono sempre ¼ …
IR: come faccio ad essere sicura?
Luca T: taglio la parte che sborda e lo trasformo in un quadratino
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Le variazioni/permanenze di area e perimetro sono state inserite in un
quadro più ampio di osservazione e analisi delle figure ( tipologia,
proprietà, condizioni di costruibilità….).
Area e perimetro non solo come “risultati di calcolo” ma anche come
ulteriori elementi di conoscenza e caratterizzazione delle figure.
( II D)
“Muovendo” il modello gli alunni osservano che si può ottenere anche un
trapezio ….
IR: cosa deve avere una figura per essere un trapezio?
Jiayi: dipende … non so …
IR: se dico che deve avere “almeno due lati paralleli …”
Gianmarco: allora sì, anche le figure generate dall’ultimo modello sono trapezi
…
IR: se dico “solo due lati paralleli …”
Molti: allora no.
……….
Demis: non si può fare il deltoide.
(V A )
Nicola: si possono ottenere tutte le figure …
Alcuni: non si può ottenere il deltoide
Alcuni: (si possono ottenere) anche trapezi e il rombo … si osservano
attentamente tutte le possibilità.
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L’uso di materiali non significa che si debba per forza restare “confinati”
al concreto; al contrario, è possibile e agevole accedere ad un primo
livello di formalizzazione:
(II D)
IR: indichiamo come si calcola il P ..
Giovanni: nel triangolo è la diagonale del quadrato
più 2 lati del quadrato ..
IR: come lo possiamo scrivere …
Molti: lato per due .. gli alunni dicono d+2l
IR: nella posizione a rettangolo?
1l 1l
l

l

  3l
Alcuni:
2 2
(V A)
IR scrive alla lavagna le formule del calcolo dell’area dettate dagli
alunni.
Carlotta: per il trapezio la somma delle basi è il lato del quadrato,
(B+b)×h:2 diventa l×l:2
Alcuni: per il triangolo b×h:2 diventa l×l:2
Altri: per il rettangolo l:2×l è lo stesso di l×l:2
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(VB)
IR: cosa rappresenta una formula?
Gioele: farci trovare qualche cosa di specifico…
Mathias: a mettere dei numeri al posto delle lettere.
IR: se per il rettangolo scrivo b×h ..
Luca T: è algebra ..
Luca S: per trovare l’area in maniera precisa …
Luca T: serve per tutti i rettangoli
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(V
A)
IR: e il perimetro?
Molti: cambia.
Tutti assieme indicano il perimetro minimo del
quadrato e massimo del triangolo rettangolo
isoscele:
1l 1l 1l 1l
    2l
2 2 2 2
1d 1d
1l  
ld
2
2
Nicola G: la diagonale è più lunga del lato ..
IR: e i casi intermedi?
Carlotta e Nicola: più piccolo del triangolo e più grande del quadrato …
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La curiosità spontanea dei ragazzi ha “aperto la porta” a tante altre
considerazioni:
l’infinito …
(V A)
Si sta discutendo su tipologia e numero dei triangoli che si formano
Alcuni: scaleni ottusangoli e degenere … e dall’altra parte la stessa cosa.
IR: quante figure? individuano infiniti tr. rettangoli, infiniti acutangoli, infiniti
ottusangoli e quattro tr. rettangoli isosceli …
Elisa: infinito+infinito= infinito più grosso.
IR: è più grande?
Nicola P: è come 0+0=0
Joni: ma 1+1=2
Nicola G: non si può contare.
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proporzionalità …
(V A)
Si discute sulle variazioni dell’area in relazione alla misura dei lati in elastico:
IR: come aumenta l’area al variare di una dimensione? C’è confusione …
IR: se da 5 passo a dieci …
Nicola: è il doppio … sì, l’area è il doppio.
IR: e per il P?
Joni: va avanti di 10 … si comportano in modo diverso.
massimi e minimi …
(V B)
IR: cosa accade al perimetro?
Mathias: è sempre diverso, perché tiri l’elastico …
Luca T: nei punti B e C è massimo … (vertici in alto)
IR: lo capisco dal ..
Andrea: dal filo teso …
IR: se svolto l’angolo B?
Luca S: diminuisce .
IR: il minimo?
Molti: il caso degenere …(la partenza)
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Trarre conclusioni non è facile, o forse non è possibile, poiché
l’esperienza:
• È organizzata in maniera non compiutamente scientifica, in
quanto è solo una proposta di lavoro.
• È condotta su un campione limitato e per un tempo breve
(soprattutto tenendo conto della portata del problema)
Tuttavia vogliamo condividere con voi le nostre osservazioni e
impressioni
Durante le attività sui “modelli di verifica” emergono:
• Maggiore disinvoltura nell’esplicitare i concetti
• Utilizzo di un linguaggio più preciso e ricco
• Maggiore autonomia nelle diverse fasi del lavoro
E la confusione tra area e perimetro? Certo non può dirsi
“debellata”… ma i ragazzi si dimostrano più attenti al
problema e più consapevoli delle possibili misconcezioni
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Non è casuale che alcune fasi dell’attività si siano svolte con più
naturalezza ed efficacia nelle due classi quinte primaria, che
hanno un vissuto scolastico omogeneo, caratterizzato dall’uso
costante di modelli dinamici.
Quindi:
VALE LA PENA , SECONDO NOI, DI PROVARE
QUESTA STRATEGIA.
ASPETTIAMO, SE VOLETE,
IL RISCONTRO DELLE
VOSTRE ESPERIENZE.
GRAZIE!
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Bibliografia
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La vita
scolastica
Mathesis
Pesaro n. 3 p. 29
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