Progetto
Scienza-Sport
2010
Liceo Scientifico Galileo Galilei
Classi V I – V G
Proff. E. Ciardiello - P. Diener
La Brachistocrona nello Slalom.
Influenza della massa dello sciatore sul tempo di
percorrenza.
Il problema è il seguente:
• A e B due punti fissati.
• M una massa puntiforme che si muove in un piano
verticale su una guida curva che connette due punti A
e B; la massa M è soggetta alla forza peso.
• Il tempo che M impiega per andare dal punto A al
punto B (con velocità iniziale nulla) dipende dalla
traiettoria, che è determinata dalla forma della guida.
• Contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, il
tempo non risulta minimo se la guida è quella di
lunghezza minima fra A e B (cioè una guida rettilinea).
La curva che permette alla particella di andare dal punto
A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata
brachistocrona, ossia curva del tempo più
corto.
In Passato:
• Già Galileo Galilei aveva notato che una sfera
arriva prima rotolando lungo un arco di cerchio
piuttosto che sulla corda del cerchio, anche se
essa è più corta. Il problema fu però proposto per
la prima volta in forma ufficiale da Johann
Bernoulli nel maggio 1697 quando produsse la
sua dimostrazione in ACTA ERUDITORIUM.
• Questo metodo corrisponde a quello che viene
oggi chiamato una discretizzazione del problema.
Il problema del Bagnino:
•
•
•
Immaginiamo di dividere il piano in cui
si muove il corpo in tante strisce
orizzontali, sufficientemente sottili così
da poter supporre che in ognuna delle
quali la velocità sia praticamente
costante. La traiettoria resta così divisa
in archi talmente piccoli da poter essere
approssimati con segmenti. La traiettoria
diventa quindi una poligonale.
Ma come deve muoversi il corpo
passando da una striscia all'altra in cui
ha una velocità diversa in modo da
ottimizzare il tempo di percorrenza? Il
problema si riconduce quindi al
cosiddetto problema del bagnino che
altro non è che un’applicazione della
legge di Snell per la rifrazione della
luce.
Un bagnino si trova sulla spiaggia nel
punto A, un bagnante sta annegando e si
trova nel punto B, ovviamente in mare.
Quale traiettoria deve percorrere il
bagnino per raggiungere il bagnante nel
minor tempo possibile, supponendo che
possa correre a velocità costante v1
sulla spiaggia e velocità v2, pure
costante nell'acqua?
RISPOSTA:
Tornando al problema …
• Se ora immaginiamo che le strisce orizzontali diventino sempre più
sottili e che il loro numero cresce indefinitamente, la poligonale tende
a diventare una curva. Le tangenti in ogni punto di questa curva
approssimano la sequenza di segmenti. L'angolo che la tangente
forma con la verticale deve essere legato alla velocità v dalla
relazione
• Poiché il campo gravitazionale è conservativo, la velocità dipende
solo dall'altezza y secondo la relazione
; in definitiva
la curva che
ottimizza il tempo di percorrenza deve verificare la relazione
• La curva che soddisfa tale relazione è la cicloide.
L’IDEA:
In tale discussione non si è tenuto conto dell'attrito. Noi
ci siamo posti il problema di determinare come cambia
la soluzione al problema se teniamo conto sia
dell'attrito dinamico fra corpo e piano, sia dell'attrito
aerodinamico.
A questo punto abbiamo diverse possibilità per affrontare il
problema:
• seguire alla lettera il procedimento di Bernoulli
• affrontare il calcolo delle variazioni
• Abbiamo quindi deciso di proseguire affrontando
parallelamente i due modi di procedere. Per
facilitarci il lavoro abbiamo aperto un sito wiki in
modo da seguire i progressi degli studenti da casa,
per scambiare idee e materiale e soprattutto per
permettere agli studenti di comunicare fra di loro per
scambiarsi informazioni e suggerimenti.
Il Metodo di Bernoulli:
•
•
•
•
•
Come deve muoversi il corpo passando da una striscia all'altra in modo da
ottimizzare il tempo di percorrenza?
A questo punto, per rispondere alla domanda, schematizziamo il problema come
segue: il corpo, partendo dal punto A con velocità iniziale zero, deve
raggiungere un punto B, e supponiamo che sia soggetto oltre che alla forza
peso anche a forze di attrito dinamico con il piano e aerodinamiche.
Ipotizziamo che possa muoversi solo lungo tratti rettilinei e che possa solo
cambiare la direzione della traiettoria. Insomma un problema simile a quello del
bagnino ma complicato dal fatto che la velocità non è costante.
Dobbiamo allora cercare una relazione analoga alla legge di Snell che ci
permetta di determinare come deve muoversi il corpo passando da un tratto
all’altro in modo da ottimizzare il tempo di percorrenza.
Il risultato ottenuto è la legge di Snell in cui alle velocità costanti bisogna
sostituire la velocità media (che nel caso del moto uniformemente accelerato
coincide con la media delle velocità) in ogni striscia.
Con l’utilizzo del foglio di calcolo abbiamo verificato che in corrispondenza del
tempo minimo le relazioni sono in effetti verificate.
Nel grafico seguente è rappresentata l’arco di
cicloide, che sappiamo essere la soluzione al
problema, con i punti ottenuti con il nostro metodo!
Sono stati ottenuti 30 punti, il tempo di percorrenza
è di 1.166 s, il punto iniziale è l'origine e il punto finale ha coordinate (4; -4).
Il caso dell’attrito dinamico.
•
Dopo aver sperimentato, con ottimi risultati, che il metodo utilizzato funziona,
abbiamo cominciato ad introdurre l'attrito dinamico con il piano. L'equazione
del moto di un corpo che scivola lungo un piano inclinato è la seguente:
•
Dove g è l'accelerazione di gravità, θ è l'angolo fra il piano e la verticale e
μ è il coefficiente di attrito dinamico. Cominciamo a considerare solo due
tratti, così come abbiamo fatto in precedenza, per determinare una relazione
che sostituirà la legge di Snell valida solo in assenza di attrito.
Un corpo di massa m
Velocità iniziale vi
Scivola lungo un piano inclinato da un altezza h
Raggiunge in fondo al piano una velocità vf che può essere determinata
dalla seguente considerazione: il lavoro La fatto dalla forza di attrito per uno
spostamento del corpo di ∆s è pari alla variazione di energia meccanica, per
cui
•
•
•
•
•
E quindi:
Il caso dell’attrito aerodinamico.
• Dal punto di vista teorico l’introduzione dell’attrito
aerodinamico non comporta nessun ulteriore problema. Dal
lavoro dello scorso anno, a cui facciamo riferimento per
maggiori dettagli, possiamo ricavare le funzioni necessarie al
nostro scopo.
L’equazione del moto di un corpo di massa m che scivola
lungo un piano inclinato di un angolo θ rispetto alla verticale
è:
• Usando un foglio di calcolo, senza grosse difficoltà, abbiamo
determinato il valore di x che minimizza il tempo di
percorrenza.
Il risultato è rappresentato nel grafico seguente in cui sono confrontate le
traiettorie ideali nei casi analizzati: assenza di attrito (arco di cicloide), presenza
di solo attrito dinamico e infine presenza di attrito sia dinamico che
aerodinamico.
I dati per il caso di attrito aerodinamico sono stati ottenuti considerando un corpo di
massa 200 g di forma cilindrica di diametro 20 cm e altezza 40 cm.
Il coefficiente di attrito dinamico è stato posto pari a 0.4.
La scelta delle dimensioni del cilindro è dettata dall’idea di realizzare un’esperienza
utilizzando il nostro apparato sperimentale.
Fase sperimentale
 Il punto di partenza è quello di dare una risposta al problema:
 un corpo, partendo dal punto A con velocità iniziale zero, deve raggiungere un
punto B, sottoposto, oltre che alla forza peso, anche a forze di attrito dinamico
con il piano e aerodinamiche;
 ipotizzando che possa muoversi solo lungo tratti rettilinei e che possa solo
cambiare la direzione della traiettoria, quale deve essere la traiettoria che rendere
minimo il tempo di percorrenza?
 Per sperimentare abbiamo costruito un doppio piano inclinato.
 Variando gli angoli di inclinazione dei due piani, abbiamo fatto scivolare un
carrellino, con ruote bloccate, e misurato attraverso due sonar sincronizzati posti
all’inizio e alla fine del percorso come variava la posizione nel tempo, determinando
quindi la legge oraria.
 Nel nostro modello teorico non si è mai tenuto conto che nel passaggio da un
tratto all’altro la velocità presenta una discontinuità. Non è stata una
dimenticanza in quanto tale discontinuità scompare nel passaggio dal discreto al
continuo.
 In una misura reale, invece, il carrello nel passare da un piano all’altro, soprattutto
nel caso in cui la differenza di angolo di inclinazione fra i due piani è rilevante,
subisce un urto. Ciò significa che la velocità iniziale nel secondo tratto non è quella
finale del primo, ma solo la sua proiezione nella direzione del secondo tratto.
 Tenuto conto di ciò siamo stati indotti a modificare il modello per adattarlo alla fase
sperimentale.
 I risultati ottenuti sono stati confrontati con quelli previsti teoricamente. Per l’analisi
dei dati si rimanda all’indirizzo
http://scienza-sport.wikispaces.com/sperimentazione.
Apparato sperimentale
• L’apparato sperimentale è essenzialmente costituito da due binari
costruiti da noi (docenti e studenti) sospesi a tre aste per scaffalature
(vedi foto) di diverse altezze (2 m, 1,5 m e 1 m). Le due aste poste
alle estremità sono state fissate ad una distanza di circa 2 m. L’asta
centrale viene spostata per poter variare l’angolo di inclinazione dei
due piani.
• I due binari sono stati agganciati fra loro usando del velcro, delle
astine di legno e morsetti e appoggiati alle aste attraverso reggi
mensole. Sui binari viene fatto scorrere un carrellino costruito
utilizzando materiale disponibile nel nostro laboratorio di fisica.
• Abbiamo bloccato le ruote del carrello, frapponendo fra le ruote e
l’asse una rondella, in modo che le ruote scivolassero senza ruotare.
Sul carrellino è stato posizionato un disco di cartone rivestito da un
foglio di alluminio in modo da poter essere più facilmente rilevato dal
sonar.
COEFFICIENTE DI ATTRITO
DINAMICO:
•
Il primo passo è stato quello di determinare il
coefficiente di attrito dinamico fra carrello e binari.
Abbiamo utilizzato un sonar interfacciato con una
calcolatrice Texas Instruments TI 89. Dopo aver
misurato con un goniometro, agganciato ai binari,
l'angolo θ di inclinazione del binario rispetto alla
verticale, abbiamo lasciato libero il carrellino e misurato,
attraverso il sonar, come variava la sua posizione nel
tempo.
• I dati sperimentali sono stati analizzati con il software
open source GnuPlot. La legge oraria del carrellino è:
• la velocità iniziale v0 è nulla poiché la rilevazione dei dati
inizia prima di lasciar andare il carrellino, la posizione r0
e il tempo t0 iniziali vengono letti dai dati forniti dalla
calcolatrice.
• L'accelerazione e legata al coefficiente di attrito
attraverso al relazione;
• L'angolo di inclinazione è stato misurato
precedentemente e quindi l'unica incognita è il
coefficiente di attrito dinamico μ fra piano e carrellino.
• Il software GnuPlot costruisce la migliore curva
teorica, compatibile con la legge del moto, che fitta i
dati sperimentali e quindi fornisce il " migliore" valore di
μ. Come esempio riportiamo i risultati ottenuti per un
angolo di inclinazione di 52°.
Come esempio riportiamo i risultati ottenuti per un
angolo di inclinazione di 52°.
Abbiamo fatto quattro misurazioni ottenendo i
risultati riportati in tabella:
Angolo di inclinazione in
gradi decimali
61.5 ± 0.5
61.50 ± 0.5
52.0 ± 0.5
52.0 ± 0.5
Coefficiente di
attrito dinamico
62
0.3765 ± 0.0006
61.5
0.3871 ± 0.0006
61
0.3977 ± 0.0006
62
0.3765 ± 0.0004
61.5
0.3870 ± 0.0004
61
0.3976 ± 0.0004
52.5
0.372 ± 0.001
52
0.384 ± 0.001
51.5
0.395 ± 0.001
52.5
0.3760 ± 0.0007
61.0
0.3873 ± 0.0007
51.5
0.3988 ± 0.0007
Medie
Media
0.39 ± 0.01
0.39 ± 0.01
0.39 ± 0.01
0.38 ± 0.01
0.39 ± 0.01
L'errore sulla misura dell'angolo è stato posto pari 0.5°. Per tener conto di tale errore
sulla valutazione del coefficiente di attrito abbiamo interpolato i dati con il valore centrale
e i valori estremi dell'intervallo di variazione. Possiamo quindi concludere che
μ = 0.39 ± 0.01 che è vicino ai valori risultanti da tabelle reperibili in rete.
Verifica del modello con attrito dinamico
• Una volta determinato il coefficiente di attrito
dinamico siamo pronti a verificare la validità del
nostro modello. Cominciamo ad analizzare i tempi
di discesa del carrello, tenendo conto per il
momento solo dell'attrito dinamico. A causa delle
ridotte dimensioni del carrello è ragionevole
supporre che, almeno per i brevi tratti considerati,
sia predominante l'attrito dinamico su quello
aerodinamico.
• Cambiando la posizione dell'asta centrale abbiamo
variato le inclinazioni dei due binari. Abbiamo
posizionato un sonar nella posizione più alta in
modo che coprisse il primo tratto e uno dal basso in
modo da coprire il secondo tratto. Siamo stati attenti
a posizionare il punto di partenza e di arrivo del
percorso in modo che il carrello si trovasse
all'incirca alle stesse altezze nelle varie esperienze.
• E' stato possibile sincronizzare i due sonar
interfacciandoli, attraverso strumentazione della
Texas, ad un computer sul quale è installato il
software in dotazione Logger Pro.
Esempio dei dati ottenuti in cui l'inclinazione del primo
binario (quello da cui il carrello parte da fermo) è stata
posta pari 34° e quella del secondo 58.5°.
 Dal grafico appare evidente che il cambio di pendenza non è istantaneo (il
carrello non è un punto materiale come nelle nostre simulazioni) per cui i
punti che vanno da 1.14 s a 1.2 s devono essere esclusi dall'anali. Inoltre, nel
cambiare pendenza, il carrello subisce un urto; ci è sembrato ragionevole
supporre che nell'urto solo la componente parallela della quantità di moto,
acquistata dal carrello alla fine del primo tratto, alla direzione del secondo
tratto si conservi nell'urto. Ciò significa che la velocità iniziale nel secondo
tratto non è quella finale del primo, ma solo la sua proiezione nella direzione
del secondo.
 Quest'ultima considerazione ci ha indotto ad adattare il nostro modello
teorico, in cui il punto materiale in ogni tratto rettilineo parte con la velocità
acquistata alla fine di quello precedente, per poterne verificare
sperimentalmente la sua validità.
 Nel modello teorico l'urto non ha incidenza nei risultati finali, in quanto la
variazione della quantità di moto tende a zero suddividendo i vari percorsi
rettilinei in segmenti sempre più piccoli fino a che la poligonale non diventa
una curva continua.
 Abbiamo quindi adattato il modello per tener conto di tale correzione.
Nei grafici seguenti sono stati messi a confronto i dati
sperimentali con quanto previsto dal modello.
GRAZIE PER
L’ATTENZIONE!
Presentazione a cura di
Alessandra Leonori
VG