PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE
SUN 2010/2011
Quando sentiamo parlare di
“matematica”, pensiamo a quell’insieme
di numeri, definizione e teoremi che ci
accompagnano ogni giorno anche nelle
piccole cose. Ma in realtà esiste anche
un’altra matematica, ossia quella
dell’incerto…
Spesso nella vita quotidiana
affrontiamo scelte di cui non
sappiamo prevedere le
conseguenze. La parte della
matematica che si occupa di
razionalizzare le
interpretazioni dei fenomeni
casuali, invece che affidarsi
a pregiudizi, a superstizioni
o al fato, è detta calcolo
delle probabilità.
Quest’ ultima è nata come
scienza analitica nel
Seicento, tuttavia affonda
le proprie radici nell’età
antica, che ha fornito basi
concettuali in seguito
riprese ed ampliate.
Nella civiltà greco-latina
per l’interpretazione dei
fenomeni casuali ci si
affidava al concetto di
'Fato', che era invincibile e
persino gli dei vi dovevano
sottostare. Nella cultura
greca è personificato dalle
tre Moire (chiamate Parche
dai Romani). Una dea senza
scrupoli, Nemesis,
rappresentava la cieca
distribuzione della fortuna
per gli antichi greci con
intenzioni né buone né
cattive, ma semplicemente
in proporzione a seconda
dei suoi desideri.
Le tre Parche
Archimede
Un passo in avanti, che ha contribuito
agli studi riguardanti il calcolo
probabilistico, fu la scoperta del
“metodo di esaustione”.
Quest’ultimo viene tradizionalmente
attribuito ad Eudosso ma fu
perfezionato da Archimede. Si può
esplicare mediante l’assioma: se da
una qualsiasi grandezza si sottrae una
parte non inferiore alla sua metà e se
dal resto si sottrae ancora non meno
della metà della parte rimanente,
continuando questo processo, alla fine
rimarrà una grandezza inferiore a
qualsiasi grandezza dello stesso
genere già assegnata. Ciò permise di
verificare il rapporto tra due
determinate figure.
Nel Medioevo il problema
probabilistico ebbe una funzione
utilitaristica; fu, infatti,
adoperato per l’interpretazione
dei giochi d’azzardo. Potrebbe
essere che qualche giocatore
intelligente avesse sviluppato
qualche metodo, tuttavia non ci
sono pervenute trattazioni
sistematiche dell’argomento.
Wibold, vescovo vissuto attorno
all’anno 1000, inventò un gioco in
cui enumerò 56 virtù, ciascuna
corrispondente ai modi in cui tre
dadi possono essere lanciati, a
prescindere dall'ordine.
In seguito, durante l’epoca
rinascimentale, studiosi
come Tartaglia, XV-XVI
sec., e successivamente
Galileo e Cardano, XVI
sec., cominciarono ad
affrontare il problema,
gettando le basi della
futura disciplina.
Tartaglia
Galileo
A Niccolò Tartaglia (1499-1577) dobbiamo la
formulazione dell’omonimo triangolo, che fu in
seguito adottato dagli studiosi francesi
Pascal e Fermat. Tale triangolo permette di
calcolare rapidamente i coefficienti dello
sviluppo di un binomio. Per tale motivo i
numeri che compongono questo triangolo sono
anche detti coefficienti binomiali.
Cardano
Come sappiamo furono i dadi a portare i
matematici del XVII sec. a trattare il
problema del calcolo delle probabilità.
Uno dei protagonisti delle vicende fu il
Cavaliere di Merè, un incallito giocatore
d’azzardo, che, volendo trovare un metodo
che gli consentisse di vincere al gioco,
pose a Blaise Pascal due problemi che
ormai sono rimasti celebri nel mondo del
calcolo delle probabilità:
E’ più probabile avere un 6 lanciando 4
volte un dado o avere almeno una volta il
doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?
Se due giocatori, della stessa bravura,
interrompono all’improvviso un gioco in cui
vince chi per primo totalizza un fissato
numero di punti, come va divisa la posta se
nessuno raggiunge il punteggio?
Il cavaliere di Merè
La nascita della teoria delle probabilità, quindi, risale al XVII secolo
e va attribuita ai matematici francesi Pascal e Fermat.
Infatti per risolvere i problemi posti dal Cavaliere di Merè, Pascal
(1623-1662) si consultò con Pierre de Fermat(1601-1665) e ne
nacque una famosa corrispondenza epistolare.
Il 29 luglio 1654 Pascal scriveva a Fermat: "Vedo che la verità è
la stessa a Tolosa come a Parigi." I due grandi matematici
avevano scoperto le prime leggi della probabilità e inventato il
calcolo combinatorio. Sempre in quell’anno, infatti, Pascal
pubblica il Traité du Triangle Arithmétique dove si parla del
triangolo di Tartaglia.
Con i coefficienti binomiali, Pascal risolse il problema della
divisione della posta:
Se ad un giocatore mancano j punti per vincere e all’altro k, la
posta deve essere divisa nel rapporto seguente
Ma naturalmente lo studio della probabilità non si
esaurì con i risultati proposti dal francese Pascal ma
fu affrontato anche da altri studiosi europei.
Newton contribuì con la cosiddetta Formula di
Newton, che riprese gli studi sui coefficienti
binomiali di Tartaglia. Secondo tale formula la
potenza del binomio può essere scritta come:
Leibniz usa, ma non dimostra, che la somma dei
coefficienti binomiali su una riga è una potenza di
due:
Isaac Newton
Gottfried Wilhem Leibniz
Nonostante le numerose teorie enunciate nel XVII
secolo è solo nel corso del secolo successivo che
cominciarono ad essere enunciate le prime leggi e
definizioni riguardanti il calcolo delle probabilità.
Importante fu in questo senso il ruolo della
famiglia Bernoulli, le cui scoperte anticipavano la
formulazione della definizione classica di Laplace.
A Jacob Bernoulli (1654-1705) si devono in
particolare:
la
Jacob Bernoulli
risoluzione del problema delle navi mediante la
Distribuzione Binomiale
l’enunciazione della Legge dei Grandi Numeri
Il problema delle navi poneva tale interrogativo:
Se una nave ha probabilità p di naufragare, si chiede qual
è la probabilità che di n navi salpate, più o meno dello
stesso tipo e per la stessa rotta, k di esse facciano
naufragio.
Delta q=1-p la probabilità che la nave non naufraghi, la probabilità richiesta
è:
Tale formula è nota con il nome di Distribuzione Binomiale
Con la Legge dei Grandi Numeri nasceva la teoria della misura e dell’analisi
funzionale:
Un evento di probabilità p, sconosciuta, viene considerato in n prove indipendenti. Sia
Sn il numero di volte in cui l’evento si è verificato ed ε > 0 un numero piccolo a
piacere. Allora la probabilità che Sn /n differisca in modulo meno di ε da p, quando il
numero n di prove cresce all’infinito, è uguale a uno.
Daniele Bernoulli (1700-1782),
nipote di Jacob, nel suo Specimen
Theoriae novae de mensura sortis
affrontò, invece, il problema del
paradosso di Pietroburgo:
Supponiamo che Pietro e Paolo si
mettono a giocare a testa e croce
con una moneta. Se il primo lancio
dà testa, Paolo darà a Pietro una
corona; se il primo lancio dà croce,
ma si ottiene testa per la prima
volta al secondo lancio, Paolo darà a
Pietro due corone; […] Qual è la
somma che Pietro dovrebbe pagare
a Paolo perché questi accetti di
giocare?
Daniel Bernoulli
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
A inizio ‘800,
cominciarono a nascere
legami tra il calcolo delle
probabilità e le altre
discipline scientifiche:
nel 1809, durante il suo
studio degli errori di
osservazione in
astronomia, Gauss trovò
la curva che prenderà il
suo nome.
CAMPANA DI GAUSS
In prima approssimazione la curva di Gauss rappresenta la frequenza con la
quale si presentano gli errori casuali. È considerata
Gli errori più piccoli sono più frequenti di quelli grandi. Infatti per il punto P si
ha: errore -2, frequenza 82 %; per il punto Q errore -5, frequenza 14 %.
Graficamente la curva ha la forma di una campana, è simmetrica, è asintotica
rispetto all'asse orizzontale.
C'è però anche un altro modo di usare la curva di Gauss: essa può
rappresentare la probabilità p con la quale un certo errore può presentarsi.
Se le misure sono già state eseguite, sulle ascisse si riportano gli scarti:se la
loro distribuzione è simile a quella della curva di Gauss, significa che abbiamo
operato correttamente.
Come si vede la curva di Gauss ha una grande importanza nella teoria degli
errori, nella statistica, nel calcolo delle probabilità.
Definizione classica di probabilità
Pierre Simon de Laplace
(1749 – 1827)
Laplace, nella sua opera Théorie analytique des
probabilités del 1812, ci fornì la sua celebre
definizione conosciuta come classica:
La probabilità di un evento E è il rapporto tra il
numero m dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e
il numero n dei casi possibili, supposti tutti
equiprobabili.
La definizione di Laplace, tuttavia, risultava
facilmente criticabile in quanto presupponeva:
1. l’equiprobabilità dei possibili esiti elementari
2. la possibilità di conteggiarli in termini
combinatori
3. la finitezza del loro numero
Pierre Simon de Laplace
Definizione frequentista di probabilità:
Antoine Cournot
(1801-1877)
Circa 30 anni dopo la comparsa del lavoro
di Laplace, Antoine Cournot e Robert
Leslie Ellis separatamente proposero una
nuova definizione di impostazione
statistica, nota come definizione
frequentista:
La probabilità di un evento E è il rapporto
tra il numero k di volte che si è verificato
E e le n prove effettuate.
Naturalmente quando n tende a infinito
questo rapporto corrisponderà a quello
individuato da Laplace.
Ma anche questa definizione venne
sottoposta a molte critiche in quanto
conteneva elementi di arbitrarietà o
quantomeno di soggettività.
Antoine Cournot
De Finetti fu il primo
matematico a rispondere alla
questione del calcolo della
probabilità con la teoria
soggettivista che si definisce
come
“il prezzo che un individuo
razionale e coerente ritiene
equo pagare per ricevere un
guadagno unitario al
verificarsi dell’evento.”
Agli inizi del ‘900 prese il sopravvento l’idea di
svincolare il concetto di probabilità da ogni
riferimento concreto.
La sistemazione definitiva è dovuta a Kolmogorov che
nel 1933 propose una definizione di probabilità
prendendo come punto di partenza alcuni assiomi
che esprimono la natura , le proprietà
matematiche degli enti su cui opera e i relativi
legami.
Sia
lo spazio degli eventi possibili.
Si dice probabilità una qualsiasi funzione P definita
sulla classe degli eventi tale che:
1.
Se A è un evento allora
2.
Se
è l’evento certo allora
3.
Se
sono eventi a due a due
incompatibili allora
In tal modo la probabilità acquista
ufficialmente la dignità di disciplina
matematica.
Kolmogorov
Superato il muro del determinismo la
probabilità fece il suo ingresso trionfale
nel mondo fisico fin dai primi anni del ‘900.
Nel 1905 Albert Einstein spiegò il moto
browniano in termini casuali scoprendo che
tutto il mondo degli atomi è governato da
leggi probabilistiche.
Nel 1910 Rutherford, Bateman e Geiger
vinsero il Nobel per la fisica: scoprirono
che il numero di particelle emesso da una
sostanza radioattiva è una variabile
aleatoria (con distribuzione di Poisson).
Nel 1928 i fisici Paul e Tatiana Ehrenfest
vinsero il Nobel per aver spiegato la
diffusione dei gas mediante un modello
probabilistico (catene di Markov).
Nel 1926 Einstein
scriveva a Max Born: “Tu
ritieni che Dio giochi a
dadi col mondo, io credo
invece che tutto
obbedisca ad una legge
….”.
Albert Einstein
Il gioco del lotto (o semplicemente lotto)
.
è un gioco d’ azzardo, e probabilmente il
gioco a premi più diffuso in Italia.
Etimologia
La parola "lotto" deriva dal francese "lot", che
significa sia "porzione" che "sorte". Il termine,
giunto nella penisola iberica, è documentato come
"lote" in spagnolo e "loto" in portoghese. Il verbo
francese "lotir", inoltre, significa "dividere la
sorte" o "assegnare la sorte". Ma analogo lemma si
ritrova nell'antico inglese "hlot" ("cosa toccata in
sorte"), cui corrispondono "Los" nel
tedesco moderno e "lot" nel danese
Progenitore
Solo dal 1448 si ha notizia certa della diffusione, a Milano, delle
cosiddette "borse di ventura", indicate da molti storici come il primo
nucleo di quello che più tardi diverrà il vero Gioco del Lotto moderno.
Il gioco consisteva nell'assegnare sette "borse" contenenti,
rispettivamente dalla prima alla settima, 300, 100, 75, 50, 30, 25,
20 ducati in contanti. Chiunque, pagando un ducato, aveva la
possibilità di veder inserito in un recipiente di vimini un biglietto
recante il proprio nome.
In un secondo recipiente, venivano depositati altrettanti biglietti,
sette dei quali recavano l'ammontare dei diversi premi mentre i
restanti erano in bianco. Nominato uno dei presenti ad effettuare le
operazioni, veniva estratto un biglietto dal recipiente contenente i
nomi, e uno da quello dei premi: se al nome estratto risultava
abbinato un biglietto bianco, non si vinceva nulla; se invece ne veniva
estratto uno recante un premio, l'ammontare di questo veniva
consegnato al vincitore.
Caratteristiche del gioco
Consiste in tre estrazioni settimanali (martedì, giovedì e sabato) che vengono
effettuate
a
partire
dalle
ore
20:00
per
dieci
ruote: Bari, Cagliari, Firenze, Genova, Milano, Napoli,Palermo, Roma, Torino, Venezi
a e Nazionale. Per ogni ruota vengono estratti 5 numeri tra l'1 e il 90 senza
reimmissione, nel senso che un numero una volta estratto non viene reimmesso
nell'urna. L'estrazione è effettuata su tutte le ruote attraverso un'urna
meccanica che mischia le palline con un getto di aria compressa e le cattura con
una nicchia rotante ai bordi dell'urna. Il gioco consiste nello scommettere sui
numeri estratti sulle varie ruote.
Si può scommettere di indovinare, su una ruota, su più ruote o su tutte le ruote:
l'ambata, o estratto semplice, ovvero un solo numero (l'ordine di estrazione non
conta);
l'estratto determinato, ovvero un numero e la posizione in cui viene estratto;
l'ambo, ovvero due numeri;
il terno, ovvero tre numeri;
la quaterna, ovvero quattro numeri;
la cinquina, ovvero cinque numeri.
Si possono giocare fino a 10 numeri sulla stessa scheda. La vincita è pagata a quota
fissa e dipende da quanti numeri si sono indovinati, da cosa si è giocato e da quanti
numeri sono stati messi in gioco.
Gioco “non Equo”
Il gioco del lotto è un gioco definibile "non equo", laddove per gioco equo si
intende un gioco che paga al vincitore una vincita pari alla posta giocata
moltiplicata per l'inverso della probabilità di vincità.
il
ratio
vincita
equa/vincita
reale
segue
il
seguente
trend: 1,6, 1,6, 2,61, 4,26, 7,32,
e se si considera la trattenuta del 6% sulla vincita tali valori sono ancora più
alti.
Il Superenalotto è un gioco d'azzardo a premi gestito dalla sisal ,
introdotto per la prima volta in Italia il 3 dicembre 1997, in
sostituzione del gioco dell‘enalotto . Il suo ideatore è stato Rodolfo
Molo che fu uno degli inventori del Totocalcio. Nel regolamento
originario, in vigore fino al 30 giugno 2009, la combinazione vincente,
esattamente come l'Enalotto, era legata alle estrazioni del lotto ed
era composta dai primi numeri estratti delle ruote
di Bari, Firenze, Milano,Roma, Napoli e Palermo.
A questi numeri si affiancavano il cosiddetto "Numero Jolly", ovvero il
primo estratto (o il secondo o il terzo e così via in caso di uguaglianza)
della ruota di Venezia, ed il numero "SuperStar", ovvero il primo
estratto sulla ruota nazionale.
Dal 1º luglio 2009, con l'entrata in vigore del nuovo regolamento, la
combinazione vincente del Superenalotto ed i numeri Jolly e
SuperStar non dipendono più dai numeri estratti sulle ruote del Lotto,
ma da due estrazioni separate (una per determinare la sestina ed il
Jolly e un'altra a parte per il SuperStar), effettuate mediante
macchine a mescolamento pneumatico.
Il Superenalotto (a differenza, ad esempio, del Lotto) è un gioco a vincita
variabile, nel senso che il montepremi (più eventualmente il jackpotdel
concorso precedente) di ogni concorso viene suddiviso nelle 5
categorie di vincita e spartito in modo equo tra i vincitori delle singole
categorie. Pertanto la vincita dipende dal montepremi e dal numero di
altri vincitori della stessa categoria.
Il primo "sei" in assoluto fu indovinato il 17 gennaio 1998 a Poncarale,
provincia di Brescia, e valse 11 miliardi di lire. Una particolare vincita si
ebbe nell'autunno 1998 a Peschici: 100 persone giocarono un sistema
vincendo 63 miliardi di lire.
Un caso particolare si ebbe poi a Bitonto: due "sei" nella stessa ricevitoria
(uno tratto da un sistema e uno "spurio"), che fruttarono, in totale, circa
quarantaquattro miliardi di lire. E un altro caso particolare lo si ebbe il
31 gennaio 2009 quando la sestina vincente fu azzeccata da 5 vincitori.
Il SuperEnalotto ha al suo attivo la più alta vincita in un gioco a premi
italiano, pari a poco più di 177 milioni di €, assegnato a un sistema di 70
quote da 24 € giocato on line, che ha indovinato la sestina vincente dopo
nove mesi di attesa.
La vincità singola più alta finora assegnata è invece di 147.807.299,08 €,
vinti il 22 agosto 2009 a Bagnone, in provincia di Massa-Carrara, con una
schedina da 2 euro, dopo un'attesa lunga 7 mesi.
Il montepremi più alto nella storia delle lotterie europee appartiene
all'EuroMillions. Il 3 febbraio 2006 la lotteria che viene estratta a
Parigi, ha distribuito 183 milioni di euro a tre vincitori (due francesi e un
portoghese). Il Superenalotto detiene il primato della più alta vincita mai
aggiudicata a una sola persona in Europa.
Si vince, dopo aver scommesso su una schedina, indovinando:
 il terno, ovvero tre numeri;
 la quaterna, ovvero quattro numeri;
 la cinquina, ovvero cinque numeri;
 il cinque più uno, ovvero cinque numeri più il numero jolly;
 il sei, ovvero i sei numeri della combinazione base (escluso
il numero jolly).
La giocata minima si ottiene marcando due combinazioni (sei
numeri su ciascun pannello) per un importo pari a 1,00 €,
mentre la giocata massima su una schedina è di 27.132
colonne (corrispondente ad una giocata di 19 numeri su un
pannello) per un importo pari a 13.566,00 €.

La seguente tabella riporta le combinazioni messe in gioco e le
probabilità di vincita secca (sei numeri) a seconda del totale di
numeri giocati in combinazione integrale su un solo pannello.
Numero giocati
su un pannello
Combinazioni in
gioco
Probabilità di
vincita
Calcolo
matematico
6
1
1 su 622.614.630
622.614.630
7
7
1 su 88.944.947
88.944.974
8
28
1 su 22.236.237
22.236.236
9
84
1 su 7.412.079
7.412.078
10
210
1 su 2.964.832
2.964.831
11
462
1 su 1.347.651
1347650
12
924
1 su 673.825
673.825
Il numero SuperStar è un numero casuale tra 1 e 90, indipendente
dalla sestina del Superenalotto, generato dal terminale al
momento della convalida ed è abbinato alle combinazioni per le
quali è stata scelta l'opzione "SuperStar". Questa nuova
formula di gioco complementare è stata introdotta con il
concorso n. 37 del 28 marzo 2006.
Fino al 30 giugno 2009 il numero SuperStar corrispondeva al primo
numero estratto sulla ruota Nazionale, mentre a partire dal 1º
luglio 2009 viene determinato con un'apposita estrazione e lo
si può scegliere anche personalmente, marcandolo sull'apposita
sezione prevista nella nuova versione della schedina.
Nel caso in cui si
indovini una
combinazione del
superenalotto e
il numero
superstar si ha
diritto a uno dei
seguenti premi
aggiuntivi:
Punteggio su una colonna
con superstar
Probabilità di uscita
0
1 su 137,7
1
1 su 302,4
2
1 su 1935,9
3
1 su 29.403,9
4
1 su 1.071.625,5
5
1 su 111.181.183,2
5+
1 su 9.339.219.450
6
1 su 56.035.316.700

Il SuperEnalotto è il gioco d'azzardo a premi più
difficile al mondo di tutti i tempi (l'EuroMillions, che
distribuisce pure premi molto ricchi, è giocato su meno
numeri); centrare 6 numeri, ciascuno tra 1 e 90,
rappresenta il record assoluto di minima probabilità fra
tutti i giochi del mondo di questa tipologia, da sempre;
infatti rispetto agli altri giochi d’azzardo italiani questo
è il più difficile dai vincere il montepremi e il più diffuso
per le sue alte vincite.
gioco
Numeri
giocati
Probabilita di vincita del premio
massimo
Superenalotto
6
1 su 622.614.630
Lotto(cinquina)
5
1 su 43.949.268
Totogol
7
1 su 17.297.280
Totocalcio
14
1 su 4.782.969
Win for Life
10+1
1 su 3.695.120
La quota derivante dall'incasso delle giocate che è distribuita fra i
vincitori è pari al 34,648%.
Del totale delle giocate, la quota trattenuta dall'erario è pari a
circa il 53,6%, tranne che per le giocate effettuate in Sicilia,
per le quali il 12,5% è trattenuto dalla Regione. L'8% è
trattenuto dal punto vendita, il 3,73% va al concessionario
(attualmente la Sisal) e il 34,648% costituisce il montepremi .
Le vincite, in contanti, non sono tassate.
Il montepremi totale viene ripartito tra le cinque categorie di
premi nelle seguenti proporzioni:

Ai 6 va il 20% del montepremi totale;

Ai 5 + numero Jolly va il 20% del montepremi totale;

Ai 5 va il 15% del montepremi totale;

Ai 4 va il 15% del montepremi totale;

Ai 3 va il 30% del montepremi totale.
Guadagnare dal Superenalotto non è solo chi scommette ma anche le
casse dello Stato. Su cento euro incassati, per esempio, la lotteria
gestita da Sisal, ne versa il 49,5% allo Stato, ben al di là di quel 20 e
30 per cento, previsto per gli altri giochi, e del 5% associato
alle scommesse sportive.
Così nei primi nove mesi del 2008 la raccolta ha raggiunto il miliardo e 460
milioni, di cui 723 destinati allo Stato. Come si calcolano le somme di
vincita? Il montepremi è costituito dal 38% dell’incasso totale e viene
ripartito in 5 parti uguali fra le cinque categorie di vincita 6, 5+, 5, 4,
3.
In assenza di vincitori con il 6 e con il 5+, la quota del montepremi viene
riportata (con il meccanismo chiamato jackpot) al concorso successivo.
Nel caso in cui il jackpot raggiunga il tetto stabilito dal regolamento
(50 miliardi per il 6, e 25 miliardi per il 5+) e non ci siano ancora
vincitori, l’incremento non sarà più dell’intera parte di montepremi, ma
solo del 4%.
Una volta fatto il ‘botto’ del Superenalotto, la vincita non è soggetta a
tassazione perché le responsabilità fiscali risultano già assolte all’atto
della giocata attraverso l’imposta unica di gioco e la percentuale,
spettante al montepremi, è fissata a livello nazionale.
Tempio del gioco
d’azzardo
Montecarlo è una città celebre per il suo casinò
e per il gran premio di formula uno.
Montecarlo è anche il nome di un metodo statistico,
molto utilizzato nelle scienze applicate, per simulare
risultati che non si è in grado di valutare direttamente e
che richiederebbero calcoli molto complicati. Il suo nome
per certi aspetti ricorda quanto accade al tavolo da
gioco. Proprio come le sequenze di numeri generati da una
roulette, il metodo si fonda su sequenze di numeri
prodotti a caso.
Le applicazioni del metodo Montecarlo sono enormi: fisica
nucleare, fisica della materia, dinamica delle popolazioni,
problemi finanziari, problemi di traffico, informatica.
METODO MONTECARLO
Le sue origini risalgono alla metà degli anni 40, quando per il Progetto
Manhattan, ci fu una straordinaria concentrazione di matematici e
fisici: John von Neumann, Stanisław Marcin Ulam, Enrico Fermi e Nicholas
Constantin Metropolis (che coniò il nome Montecarlo). Il più famoso
utilizzo di tale metodo è quello di Enrico Fermi, che nel 1930 usò un
metodo casuale per calcolare le proprietà del neutrone.
Ecco come è nata l’idea di calcolare l’area di una figura curvilinea
servendosi del caso. Si disegna in un quadrato Q la superficie chiusa S a
contorno curvilineo di cui si vuole calcolare l’area .
Si faccia cadere da una certa altezza sul quadrato una manciata di riso, si
contino quanti chicchi sono caduti dentro la superficie S di cui si vuole
calcolare l’area e quanti sono caduti in tutto il
quadrato Q. Il rapporto tra il numero dei
chicchi caduti dentro S e quelli caduti dentro
tutto Q si assume come rapporto tra le aree
delle figure S e Q.
E’ possibile simulare con l’elaboratore elettronico il lancio dei chicchi di riso.
Si pensi il quadrato Q di lato l e la figura S inseriti nel primo quadrante di un
piano cartesiano in modo che i vertici del quadrato abbiano rispettivamente
coordinate A(0 ; 0), B(l ; 0), C(l ; l) e D(0 ; l) e si generino con la funzione
RANDOM n coppie ordinate di numeri casuali compresi tra 0 e l.
Intendendo ogni coppia rispettivamente come ascissa e ordinata di un punto,
otteniamo n punti casuali ognuno dei quali simula la caduta di un chicco di riso.
I punti casuali ottenuti potranno cadere dentro o fuori la figura S , cadranno
comunque dentro il quadrato Q.
Il rapporto tra il numero dei punti dentro S e quelli dentro tutto Q si assume
come rapporto tra le aree delle figure S e Q.
Simulando il lancio di 215 chicchi di riso si è valutata l’area di un cerchio di
raggio 2 inserito in un quadrato di lato 4.
Si sono ottenuti 169 punti dentro la circonferenza . L’area S del cerchio
risulta i
dell’area del quadrato Q che vale 16 ;
si ha pertanto :
quindi
,
otteniamo che
. Sapendo che
vale 3,14.
e
IL SEGMENTO DI PARABOLA
Ripetendo l’operazione un numero molto grande di volte (legge dei grandi
numeri) il rapporto fra il numero di punti che cadono internamente all’area
(casi favorevoli) e il numero totale di tentativi (casi possibili) approssima
l’area considerata in quanto rappresenta il rapporto (frequenza) tra l’area
della figura e l’area del quadrato in cui essa è racchiusa che, per le
convenzioni fatte, è uguale a uno. Ovviamente il metodo può essere
applicato anche racchiudendo l’area da calcolare in un generico rettangolo
di dimensioni note.
Verifica del teorema di Archimede: l’area del segmento
parabolico è 2/3 dell’area del rettangolo in cui è
inscritto.
Consideriamo una parabola con il vertice nell’origine degli assi (per
comodità; comunque è sempre possibile eseguire una traslazione per
portarla in questa posizione) e poiché la curva è simmetrica rispetto l’asse
y, ne consideriamo solo la parte nel I quadrante.
Costruiamo con excel una tabella
che ci permetta di rappresentare
la curva e le rette parallele agli
assi cartesiani che la delimitano,
individuando così il rettangolo che
racchiude la figura di cui vogliamo
calcolare l’area.
Archimede e il segmento di Parabola
Archimede usa il procedimento di esaustione per calcolare l'area del
segmento di parabola, nel suo scritto Quadratura della parabola :
(naturalmente la dimostrazione che diamo qui non segue letteralmente
quella di Archimede, ma la traduce in linguaggio e simbologia attuale).
Si vuole determinare l'area del segmento di parabola delimitato dal
segmento AB . A tal scopo si traccia il triangolo ABC inscritto alla
parabola (cioè il triangolo formato prendendo il punto C come il punto
sull'arco di parabola che è più distante dal segmento AB ), e su di esso
ancora dei triangoli ( AEC e CDB costruiti in modo analogo) inscritti
alla parabola.
Sia ora S l'area cercata ; A 0 l'area del triangolo ABC , A 1 l'area coperta dai
triangoli AEC e CDB , A2 l'area che si copre ripetendo la costruzione su tutti i
lati AE , EC, CD, DB e così via per A 3 , A4 , ... , A n . Ad ogni passo il numero
dei triangoli raddoppia, ma la somma di essi è un quarto di quelli del passo
precedente, cosicché abbiamo:
Sia A0,A1 ,A2, ... ,A n , una successione di grandezze, ognuna quadrupla della
successiva. allora:
La dimostrazione si avvale di due lemmi:
Lemma 1: L'area del triangolo inscritto è maggiore di metà dell'area del segmento di parabola (cioè, nell'esempio in
figura, l'area del triangolo ABC è maggiore di metà dell'area tratteggiata in Fig. 6).
Lemma 2: La somma delle aree dei triangoli AEC e CDB è uguale ad un quarto dell'area di ABC.
Applicazione del metodo: Ago di Buffon, calcolo di π
Il problema dell'ago di Buffon è una questione posta nel XVIII secolo
da Georges-Louis Leclerc conte di Buffon: supponiamo di avere un
pavimento in parquet, costituito da strisce di legno parallele, tutte della
stessa larghezza, e facciamo cadere un ago sul pavimento. Qual è la
probabilità che l'ago si trovi su una linea fra le due strisce?
Il problema può essere ricondotto a un procedimento del metodo
Montecarlo per ottenere un valore approssimato di π. Si lascia cadere un
ago di lunghezza t su una superficie sulla quale si siano tracciate righe
parallele a distanza t l'una dall'altra...
La probabilità che l'ago incroci una linea èdata da P = 2/π Se l'ago viene
lanciato N volte, indicando con Nx il numero di volte che l'ago
incrocia una linea Nx/N tende a P
all'aumentare di N e quindi 2 N/Nx
tende a π.
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Sia M un punto di coordinate (x,y) con
0<x<1 e 0<y<1.
Scegliamo casualmente i valori di x e y.
Sia x2 + y2 < 1 allora il punto M
appartiene al disco di centro (0,0) di
raggio 1.
La formula per determinare l'area di un
disco è il raggio elevato al quadrato per π.
Nell'esempio il raggio è pari a uno e quindi
l'area di interesse è 1*π = π. Il punto può
cadere solo in uno dei quattro quadranti
del disco e quindi la probabilità che cada
all'interno del disco è π/4.
Facendo il rapporto del numero dei punti
che cadono nel disco con il numero dei tiri
effettuati si ottiene un'approssimazione
del numero π/4 se il numero dei tiri è
grande.
Hanno partecipato:
Gli studenti
con la collaborazione di: