1
La lezione di oggi
I fluidi reali
La viscosità
Flussi laminare e turbolento
La resistenza idrodinamica
2
La lezione di oggi
Forze di trascinamento nei fluidi
La legge di Stokes
La centrifuga
3

Viscosità

Flusso laminare

Flusso turbolento

Resistenza idrodinamica

La legge di Stokes

La centrifuga
4
viscosità
Domanda: come faccio a tener conto dell’attrito
tra le molecole di un fluido?
Esperimento
Lastra in moto con velocità v
Fluido viscoso
(magari miele…)
Dy
Dv
F  ηA
Dy
Lastra fissata a terra di area A
5
La viscosità

h è la viscosità

Si misura in Pa.s (pascal x secondo)

poise (P) = 0.1 Pa.s
(è una unità c.g.s .....)
F/A
[MLT 2 ]/[L2 ]
1 1


[ML
T ]
DIMENSIONALMENTE
1
Dv/ Dy
[LT ]/[L]
Temperatura
oC
Olio di
ricino (!)
Acqua
Aria
Sangue
Plasma
20
0.986
1.005 x 10-3
1.81 x 10-5
3.015 x 10-3
1.810 x 10-3
37
-
0.695 x 10-3
1.87 x 10-5
2.084 x 10-3
1.257 x 10-3
Nota:
hsangue/ hacqua e hplasma/ hacqua rimangono ~ costanti tra 0o e 37o
6

Viscosità

Flusso laminare

Flusso turbolento

Resistenza idrodinamica

La legge di Stokes

La centrifuga
7
Un fluido ideale scorre
in un condotto
Pareti del condotto
In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo uguale
Tutte le molecole viaggiano
alla stessa velocità
8
Un fluido reale scorre
in un condotto
Pareti del condotto
In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo diverso
Le molecole viaggiano a velocità diverse:
Vicino alle pareti sono ferme
Vicino al centro del tubo sono veloci
9
Il flusso laminare

Il fluido è reale

Non ci sono turbolenze (vedi dopo)
10
Il flusso laminare
Se la velocità al centro è vmax , si trova che la vmedia = 0.5 vmax
PORTATA
Q = Avmedia = 0.5Avmax
dove A è l’area della sezione del condotto
11
Caduta di pressione
dovuta alla viscosità
Fluido non viscoso




Fluido viscoso
Tubo orizzontale
Fluido viscoso
Lavoro per vincere le forze di viscosità  l’energia meccanica
non si conserva
Caduta di pressione
12
Caduta di pressione
dovuta alla viscosità
in un tubo cilindrico orizzontale
DPp R
Q =
8hl
4
Legge di Hagen-Poiseuille
13
Esercizio
Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il
sangue scorre con una portata di 1.0 cm3/s. Si trovi:
1.
Velocità media e massima del sangue
Q  Av
Condizioni al contorno
1
v  v Max
2
-6
3 -1
1.0

10
m
s
Q
1
-2
-1
2.0

10
ms

v   Q

-3
2
2
A
π
(4.0

10
m)
πR
v Max  2 v  4.0  10 -2 ms -1
14
Esercizio
Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il
sangue scorre con una portata di 1.0 cm3/s. Si trovi:
2.
La caduta di pressione in un tratto lungo 10 cm
Condizioni
contorno
a
DP π R 4
Q
8ηl
-3
η  2.084  10 Pa  s
8  (2.084  10 Pa  s)(0.1 m)(1.0  10
8 η lQ
DP 

4
πR
π  (4.0  10 -3 m) 4
-3
-6
m 3 s -1 )
 2.1 Pa
15
Esercizio
Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il
sangue scorre con una portata di 1 cm3/s. Si trovi:
3.
La potenza necessaria a mantenere la portata
W  L/Dt  F  Dx/ Dt  F  v 
DP  (πR 2 )  v 
(2.1 Pa )( π  (4.0  10 -3 ) 2 m 2 )( 2.0  10 2 ms -1 ) 
2.1  10 -6 W
16

Viscosità

Flusso laminare

Flusso turbolento

Resistenza idrodinamica

La legge di Stokes

La centrifuga
17
Il flusso turbolento
Dissipazione di energia meccanica
(maggiore rispetto al caso del flusso laminare)18
Il numero di Reynolds






I vortici dissipano energia meccanica
La legge di Hagen-Poiseuille non è più valida
E’ il dominio della fisica non - lineare
Uso regole empiriche
Definisco il Numero di Reynolds (NR)
Nel caso di un tubo di flusso di raggio R, NR vale:
2ρvR
NR 
η
Sperimentalmente si trova che:




NR < 2000: flusso laminare
2000 < NR < 3000: flusso instabile (può cambiare da laminare  turbolento
NR > 3000: flusso turbolento
19
esperimento: rubinetto dell’acqua
Esercizio
Nella grande arteria di un cane, il raggio è 4.0x10-3 m,
la velocità media del sangue 1.99x10-2 ms-1 e
la viscosità h = 2.084x10-3 Pa.s.
La densità è r = 1.06x103 kg.m-3.
Trovare il numero di Reynolds e stabilire
se il flusso sia o meno laminare.
2ρvR
NR 

η
2  (1.06  10 3 kg  m -3 )  (1.99  10 -2 ms -1 )(4.0  10 -3 m)


-3
2.084  10 Pa  s
 81
Il flusso è quindi laminare
20

Viscosità

Flusso laminare

Flusso turbolento

Resistenza idrodinamica

La legge di Stokes

La centrifuga
21
La resistenza idrodinamica

Fluido viscoso

Condotto con pareti rigide

Se voglio una portata Q devo applicare una DP

Definisco Resistenza di un condotto:
DP
r =
Q
se utilizzo Poiseuille:
8h l
r =
4
πR
Unità di misura Pa.s.m-3
DP π R 4
Q =
8h l
Analoga alla resistenza elettrica (legge di Ohm):
 DP analoga a DV (differenza di potenziale)
 Q analoga alla i (corrente)
22
Esercizio (parte I)
Nell’aorta umana di raggio interno ra = 1 cm, la portata del sangue
è Q = 5 l/min.
La viscosità del sangue è h = 4.75.10-3 Pa.s. Se vi sono 5.109
capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un
raggio interno di rc = 4 mm, determinare:
1. La velocità media del sangue nell’aorta
2. La velocità massima del sangue nell’aorta
3. La velocità media del sangue nei capillari
23
Esercizio
Domanda 1
La velocità media del sangue nell’aorta
Q  A v media
v media =
Q
Q
=
A
π R2
æ
l öæ -3 m 3 ö æ 1 min ö
ç5
֍10
÷
÷ ç
è min øè
l ø è 60 s ø
-1
=
=
2.65×10
m/s
-2 2
(3.14)(10 )
Domanda 2
La velocità massima del sangue nell’aorta
v max  2  v media
vmax = 2 × vmedia = 2 ×(2.65×10-1 m /s) = 5.3×10-1 m/s
24
Esercizio
Domanda 3
L’area dei capillari si ottiene moltiplicando
l’area di 1 capillare per l’area del singolo capillare


A capillari  (5  109 )  π  (4  10 6 m) 2  0.251 m 2
La portata è costante per l’equazione di continuità
Q  A v media
v media =
Q
A capillari
æ
l öæ -3 m 3 ö æ 1 min ö
ç5
֍10
÷
÷ ç
è min øè
l ø è 60 s ø
=
= 0.33 mm/s
2
0.251 m
25
Esercizio (parte II)
Nell’aorta umana di raggio interno ra = 1 cm, la portata del sangue
è Q = 5 l/min.
La viscosità del sangue è h = 4.75.10-3 Pa.s. Se vi sono 5.109
capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un
raggio interno di rc = 4 mm, determinare:
4. La perdita di carico (DP/l) nell’aorta
5. La perdita di carico media dei capillari nel letto vascolare
dell’aorta
6. La resistenza idrodinamica per unità di lunghezza nell’aorta
7. La resistenza idrodinamica media per unità di lunghezza in
ciascun capillare
26
Esercizio
Domanda 4
Applico Poiseuille per calcolare la DP/l nell’aorta
DP π R 4
Q
8ηl
æ
l öæ -3 m 3 ö æ 1 min ö
(8)(4.75×10 ) ç 5
֍10
÷
֍
è
ø
è
min è
l ø 60 s ø
DP
8h Q
3
=
=
=
100
N/m
l
π R4
(3.14)(10-2 )4
-3
27
Esercizio
Domanda 5
Applico Poiseuille per calcolare la DP/l nei capillari,
sapendo che la portata in ciascun capillare è data da
Q capillare 
 l
5
 min
3
 -3 m   1 min
 
10
l   60 s

5  10 9



 1.7  10 -14 m 3 /s
DP π R 4
Q
8ηl
DP 8 η Q (8)(4.75  10 -3 )(1.7  10 14 )
5
3



8

10
N/m
l
π R4
(3.14)( 4  10 6 ) 4
28
Esercizio
Domanda 6
Applico Poiseuille per calcolare la r/l nell’aorta
8h
(8)× (4.75×10-3 )
6
-6
r/l =
=
=
1.2
×10
N
×
s×
m
4
-2 4
πR
(3.14)× (10 )
29
Esercizio
Domanda 7
Applico Poiseuille per calcolare la r/l, usando il
raggio del capillare
DP
r =
Q
e usando Poiseuille
8h
r/l =
4
πR
8h
(8)× (4.75×10 )
19
-6
r/l =
=
=
4.73×10
N
×
s
×
m
πR 4
(3.14)× (4 ×10-6 )4
-3
30
Riassumendo fin qui…
Nei fluidi reali l’attrito tra le molecole
causa dissipazione dell’energia
meccanica che è maggiore quando
si instaurano fenomeni di turbolenza
31

Viscosità

Flusso laminare

Flusso turbolento

Resistenza idrodinamica

La legge di Stokes

La centrifuga
32
La legge di Stokes
Un oggetto è immerso in un fluido viscoso,
inizialmente in quiete. Se su di esso agisce una forza
F, l’oggetto accelera.
Per effetto della viscosità,sull’oggetto inizia ad agire
una forza di attrito viscoso FA
La velocità cresce e con essa cresce la forza di attrito
viscoso
La velocità raggiunge un valore limite (e rimane
costante) quando la forza di attrito viscoso eguaglia la
forza esterna.
33
La legge di Stokes
FA  - 6 π η R v
Quando la particella
ha forma sferica e raggio R
34

Viscosità

Flusso laminare

Flusso turbolento

Resistenza idrodinamica

La legge di Stokes

La centrifuga
35
Verso la centrifuga...
Qual è la velocità massima (ovvero la velocità limite, vT)
per una piccola sfera di raggio R, densità r che cade in
un fluido di viscosità h e densità ro ?
y
Fd
A
w
A
4
π R 3 ρ 0 g Archimede
3
Fd  6 π R η vT Stokes
4
w  π R 3 ρ g peso
3
Velocità limite
Velocità limite 
Moto rettilineo uniforme 
Accelerazione = 0 
Risultante delle forze 0 
Fd  A  w  0
6 π R η vT 
4
4
π R 3 ρo g  π R 3 ρ g
3
3
2 R2
vT 
g (ρ - ρ o )
9 η
36
Esercizio
Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera
di raggio 2.0 mm e densità 1.3.103 kg m-3. Quanto tempo ci vuole
per ottenere un sedimento di 1.0 cm:
1.
Sotto l’azione dell’accelerazione di gravità della terra ?
Condizioni a contorno
 R = 2.0 mm = 2.0.10 -6 m
 S = 1.0 cm = 1.0.10-2 m
 a = 9.81 m s-2
2 R2
vT 
a (ρ - ρ o ) 
9 η
2
(2  10 -6 m) 2
-2
3
-3
(9.81
m

s
)
(1.3
1.056
)

10
kg

m

-3
9 (2.084  10 Pa  s)
 1.0 10-6 m  s -1
Tempo di sedimentazione
s
102 m
4
t 

1.0

10
s ~ 3hr37
-6
-1
v 1.0 10 m  s
La centrifuga

Grandi accelerazioni

Velocità della molecola dipende da:

forza di trascinamento viscoso

massa della molecola m

fattore geometrico fR della molecola (per la sfera f6p)*

densità della molecola r e del mezzo r0

velocità angolare della centrifuga w 
accelerazione centripeta a = w2 r (a>>g)
Velocità limite
vs =
m
r
a (1- 0 )
j Rh
r
 Moto rettilineo uniforme
 Spessore del sedimento x = vs  tcentrifugazione
 dimostrate la relazione *
38
Sfera: fattore geometrico
Per una sfera
39
Esercizio
Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera
di raggio 2.0 mm e densità 1.3.103 kg m-3. Quanto tempo ci
vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm:
2.
In una centrifuga con accelerazione uguale a 1.0.105g ?
Condizioni a contorno
 R = 2.0.10 -6 m
 S = 1.0 cm = 1.0.10-2 m
 a = 9.81.105 m s-2
2 R2
vT 
a (ρ - ρ o ) 
9 η
2
(2  10 -6 m) 2
5
-2
3
-3
(9.81

10
m

s
)
(1.3
1.056
)

10
kg

m

-3
9 (2.084  10 Pa  s)
 1.0 10-1 m  s -1
Tempo di sedimentazione
s
102 m
-1
t 

1.0

10
s
-1
-1
v 1.0 10 m  s
40
Riassumendo
Con la legge di Stokes spieghiamo il funzionamento
della centrifuga
Prossima lezione:
I fenomeni molecolari
41
Esercizio
A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico
lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione
iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 oC,
trovare la differenza di pressione necessaria per iniettare la
soluzione a 1.5 g/s
42
Esercizio
A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico
lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione
iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 oC,
trovate la differenza di pressione necessaria per iniettare la
soluzione a 1.5 g/s
ΔV 1 Δm 1.5 10-3 kg  s -1
-6
3 -1
Q



1.5

10
m
s
3
-3
Dt ρ Dt
10 kg  m
8ηlQ
5
DP 

3.2

10
Pa
4
πR
Quale sarà la forza esercitata sullo stantuffo?
43