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Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca
tra punti dello stesso piano che trasformi rette in
rette conservando il parallelismo.
Associamo a ciascun punto P (x,y) del piano in modo
biunivoco il vettore
. L’affinità T di equazioni:
x’ = ax + by + p
y’ = cx + dy + q
può allora essere scritta nella forma matriciale
x’ = Ax + u , in cui u =
, è il vettore dell’affinità e
A = a b è la matrice dell’affinità il cui determinante è
c d
diverso da 0 (condizione di non singolarità della matrice)
Data una trasformazione di matrice A e una superficie del
piano S, sia S’ la superficie corrispondente. Il rapporto tra S’
e S è pari al modulo del det A.
Si definisce elemento unito un elemento che corrisponde a
se stesso nella trasformazione.
Si definisce dilatazione o compressione di rapporto
k lungo l’asse x e di rapporto h lungo l’asse y
l’affinità:
x’ = kx
y’ = hy
di matrice:
k 0
0 h
con:
det A = kh
k≠0
h≠0
e vettore:
0
0
x’ = x
y’ = 3y
x’ = x
y’ = ⅓y
di matrice:
1 0
0 3
det A = 3
di matrice:
1 0
0⅓
det A = ⅓
Si definisce inclinazione lungo l’asse x di
coefficiente k la trasformazione che fa
corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la
stessa ordinata y e ascissa proporzionale.
x’ = x + k y
y’ = y
di matrice:
1 k
0 1
det A = 1
Si definisce inclinazione lungo l’asse y di
coefficiente k la trasformazione che fa
corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la
stessa ascissa x e ordinata proporzionale.
di matrice:
x’ = x
y’ = kx + y
1 0
k 1
det A = 1
ESERCIZIO
2 0
La trasformazione di matrice
muta il quadrato Q di
0 1
vertici O(0,0), A(1,0), B(1,1) e C(0,1) nel rettangolo R. Appli1 2
cando successivamente l’inclinazione di matrice
0 1
si ottiene il parallelogramma P. Calcolane l’area.
La similitudine è un’affinità tra punti del piano che
mantiene costante il rapporto tra segmenti
corrispondenti.
Cioè, dati i segmenti AB e CD:
k è detto rapporto di similitudine.
x’ = ax + by + p
y’ = - bx + ay + q
La cui matrice associata risulta:
x’ = ax + by + p
y’ = bx - ay + q
La cui matrice associata risulta:
a = k cos α
b = - k sin α
a b
-b a
det A = a² + b² = k²
a = - k cos α
b = k sin α
a b
b -a
det A = - a² - b² = - k²
Siano C un punto del piano e a un numero reale
non nullo si definisce omotetia di centro C e
rapporto a la corrispondenza biunivoca tra i punti
del piano che a ogni punto P fa corrispondere in
modo univoco il punto P’ tale che CP’ = a CP.
x’ = ax + xC - axC
y’ = ay + yC - ayC
La matrice associata risulta:
det A = a²
a 0
0 a
E il suo vettore:
xC – axC
yC - ayC
Si definisce isometria ogni affinità tra i punti del
piano che conservi le distanze (k = 1).
La più semplice isometria è l’identità:
x’ = x
y’ = y
La cui matrice associata risulta:
1 0
0 1
det A = 1
Si definisce traslazione di vettore v la
corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a
ogni punto P associa il punto P’ tale che PP’ = v
Dato il vettore v = (p;q), risulta:
x’ = x + p
y’ = y + q
La cui matrice associata risulta:
E il cui vettore:
1 0
0 1
det A = 1
Matrice:
1 0
0 1
det A = 1
Vettore:
¼
1
ESERCIZIO
9
Dati la traslazione di vettore
e il triangolo di vertici A (0,0),
-1
B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (xA + p, yA + q) = (9, -1)
B’ (xB’, yB’) = (xB + p, yB + q) = (10, -1)
C’ (xC’, yC’) = (xC + p, yC + q) = (9, 2)
Siano O un punto del piano e θ un numero reale. Si
chiama rotazione di centro O e di angolo θ la
corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che
associa il punto O il punto O stesso e che ogni
punto P distinto da O associa il punto P’ tale che
PÔP’ = θ.
x’ = x cos θ – y sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
La cui matrice associata risulta:
cos -sin
sin cos
det A = 1
Matrice:
0 -1
1 0
det A = 1
ESERCIZIO
Dati la rotazione di angolo θ = 90° e il triangolo di vertici A (0,0),
B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (xA cos θ - yA sin θ, xA sinθ + yA cos θ) = (0, 0)
B’ (xB’, yB’) = (xB cos θ - yB sin θ, xB sinθ + yB cos θ) = (0, 1)
C’ (xC’, yC’) = (xC cos θ - yC sin θ, xC sinθ + yC cos θ) = (-3, 0)
Si definisce simmetria centrale Sc rispetto a C la
corrispondenza biunivoca tra punti del piano che
associa a ogni punto P il punto P’ tale che C sia il
punto medio di PP’
x’ = 2 xC - x
y’ = 2 yC - y
La cui matrice associata risulta:
E il suo vettore:
2 xC
2 yC
-1 0
0 -1
det A = 1
Vettore:
Matrice:
-1 0
0 -1
det A = 1
2
1
ESERCIZIO
8
Dati la simmetria centrale di vettore
e il triangolo di vertici
4
A (0,0), B (1,0) e D (0,3), trovare i vertici di A’B’D’.
C (½ 8, ½ 4) = (4, 2)
A’ (xA’, yA’) = (2 xC - xA, 2 yC - yA) = (8, 4)
B’ (xB’, yB’) = (2 xC - xB, 2 yC - yB) = (7, 4)
D’ (xD’, yD’) = (2 xC - xD, 2 yC - yD) = (8, 1)
Si definisce simmetria rispetto a r l’affinità Sr che
lascia uniti i punti P che appartengono ad r e che
trasforma ogni punto P che non appartiene ad r in
P’ tale che r sia l’asse di PP’.
Di matrice:
e vettore:
det A = -1
x’ = x
y’ = - y + 2 k
det A = -1
x’ = - x + 2 k
y’ = y
det A = -1
0
2k
1 0
0 -1
2k
0
-1 0
0 1
x’ = y
y’ = x
0 1
1 0
det A = -1
0
0
ESERCIZIO
Dati la simmetria assiale di asse x = 4 e il triangolo di vertici
A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (- xA + 8, yA) = (8, 0)
B’ (xB’, yB’) = (- xB + 8, yB) = (7, 0)
C’ (xC’, yC’) = (- xC + 8, yC) = (8, 3)
La composizione o prodotto di due affinità T1 e T2,
rispettivamente di matrici A1 e A2 e vettori u1 e u2,
è l’affinità T2T1, la cui matrice è A = A2A1 e il cui
vettore è u = A2u1+u2.
T1: x’= A1 x + u1 e T2: x’= A2 x + u2
x  Applico T1:
x’= A1 x + u1  Applico T2:
x’’= A2 (A1 x + u1) + u2 = A2 A1 x + A2 u1 + u2
MATRICE
VETTORE
ESERCIZIO
Trasformare la circonferenza x²+y²-2x=0 applicando prima T:
e poi T’:
x’ = 2x
y’ = -y
x’ = 3x
. Ripetere l’esercizio applicando prima T’ e poi T.
y’ = 2y
L’inversa di un’affinità T di matrice A e vettore u è
l’affinità di matrice A-1 e vettore v = -A-1 u.
x’= A x + u  Moltiplico per A-1
A-1x’= A-1A x + A-1u  A-1A = I
A-1x’= I x + A-1u  Isolo x
x = A-1x’ - A-1u
MATRICE
VETTORE