Nuovi scenari per la matematica – Salerno – 29/08/2012
[email protected], [email protected]
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Due livelli di azione
Medie
Disuguaglianza
•Concetto centrale della statistica
•Confronto media aritmetica vs media geometrica
•Approccio geometrico
•Approccio algebrico
Dati e Previsioni:
analisi
Linee Guida e
Indicazioni Nazionali
•Calcolo combinatorio;
•Probabilità;
•Statistica descrittiva
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Tali
argomenti
Lo studente
deve essere
in grado di
• da trattare anche con l’ausilio di strumenti
informatici
• devono riguardare situazioni-problema della
vita quotidiana o inserite in altre discipline
• usare consapevolmente gli strumenti di
calcolo;
• analizzare dati e rappresentarli
graficamente;
• sviluppare deduzioni e ragionamenti dai
dati con l’ausilio di rappresentazioni
grafiche.
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Prerequisiti
Connessioni
con altri
argomenti
• Per le medie no prerequisiti irrinunciabili;
• Per la verifica della disequazione prerequisiti
differenti in funzione dell’approccio scelto
• Confronto tra operazioni di tipo diverso: radice e
prodotto con somma e divisione.
• Progressioni aritmetiche e geometriche.
• Modelli lineari e non lineari.
• Confronto tra quadrilateri equivalenti (semiperimetro
rettangolo e quadrato)
• Teorema di Pitagora
• Tipi di medie e andamenti possibili di fenomeni di
riferimento.
• Economia: capitalizzazione semplice e composta.
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Organizzazione
di un percorso e
sua collocazione
nella
progettazione
didattica
complessiva
Prove di
verifica
• Approccio induttivo ( “Di medie non ce n’è
una sola” – [email protected])
• Problem solving e scoperta guidata:
• problema pratico  calcolo simbolico 
introduzione moda, media e mediana in modo
naturale  medie diverse (armonica,
geometrica,…)  definizioni e formalizzazioni
• Livello base: saper riconoscere e utilizzare le
diverse medie
• Livello intermedio: individuare il modello di media
più adeguato al contesto problematico
• Eccellenza: riuscire a dimostrare
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PREREQUISITI
Calcolo
algebrico
Disuguaglianze
Ordinamento
numerico
Proprietà delle
potenze
COLLEGAMENTI
Confronto tra operazioni di
tipo diverso: radice e
prodotto con somma e
divisione
Progressioni
aritmetiche/geometriche
Teorema di Pitagora
Modelli lineari e non
lineari
PERCORSO
Motivazione all’utilità di
valori di sintesi di serie di
numeri: media di n numeri,
scarto quadratico medio
Problematiche reali con
applicazioni di media
aritmetica, geometrica,
quadratica, armonica
Ogni problema ha una sua
media, adeguata alla
tipologia del problema
proposto
Economia:
capitalizzazione
semplice e composta
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Soluzione
Proposta
didattica
interattiva
sulle
medie
•Dopo le opportune considerazioni sui valori assumere
ammissibili per a e b, è sufficiente considerare che la
quantità al primo membro costituisce la media
geometrica (semplice) dei valori a e b mentre quella
al secondo membro ne è la media aritmetica
(semplice) e che tra tali medie sussiste sempre la
disuguaglianza indicata.
•Introdurre progressivamente gli elementi
fondamentali della statistica descrittiva
stimolando gli alunni ad individuarli a partire da
semplici problemi su situazioni della vita
quotidiana; inizialmente non fornire nomi e
definizioni ma guidare la classe all’individuazione
di strumenti che possano risolvere problemi posti
di volta in volta dal docente.
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Presentazione di dati relativi alla stessa variabile per due sequenze differenti
ESEMPIO: temperatura rilevata nelle 24 ore di un determinato giorno rispettivamente
nelle città di Torino e Bari
Torino
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9,0
8,8
8,5
8,1
8
8,9
9,3
10,5
11,2
15,4
20,4
24,0
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
26,2
27,1
26,3
26,1
24,5
22,6
20,4
19,6
15,7
13,1
12,5
10,8
Bari
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8,9
9,0
8,5
8,3
8,2
8,7
9,0
10,1
12,1
13,7
18,8
23,2
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25,4
23,6
27,3
26,1
23,6
21,4
20,4
19,2
14,1
11,2
11,1
10,1
9
Chiedere agli alunni
10
Una volta calcolata la media
11
Definire la media e introdurre i diversi casi di media
12
Sugli indici di dispersione (1)
Proporre due sequenze diverse di numeri, come nel caso delle temperature, ma più brevi, intere e
con uguale media; calcolarne le medie mostrando che sono uguali e chiedere quale delle due serie
è meglio rappresentata dalla media, ossia per quale delle due la media è meglio rappresentativa
dei dati forniti.
Esempio: età dei componenti di un gruppo di studenti universitari del primo anno che studiano
insieme:
1
2
3
4
5
19
20
18
19
19
età dei componenti di una famiglia:
1
2
3
4
5
40
37
9
6
3
Padre
Madre
I figlio
II figlio
III figlio
La media è la stessa (19) nei due casi, ma nel primo essa rappresenta molto bene tutti
gli elementi, nel secondo è molto poco rappresentativa dei diversi dati inseriti.
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Sugli indici di dispersione (2)
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PREREQUISITI
Concetto di
misura
Teorema di
Euclide
Triangoli
inscritti in
una
semicirconferenza
Proprietà
della corda
COLLEGAMENTI
Costruzioni
geometriche
(secondo teorema
di Euclide)
Proprietà della
corda
Triangoli inscritti
in una
semicirconferenza
SOLUZIONE
Dopo le opportune considerazioni sui
valori assumere ammissibili per a e per
b (entrambi non negativi), essi possono
essere considerati come le proiezioni
sull’ipotenusa dei cateti di un triangolo
rettangolo; il triangolo viene inscritto in
una semicirconferenza in modo che
l’ipotenusa coincida con il diametro;
è il raggio della circonferenza,
l’altezza h del triangolo è una corda,
per cui
.
Essendo, per il secondo teorema di
Euclide, l’altezza h medio proporzionale
tra le due proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa, si ha:
per cui la disuguaglianza risulta
verificata.
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PREREQUISITI
Calcolo
algebrico
Disuguaglianze
Ordinamento
numerico
COLLEGAMENTI
Confronto tra
operazioni di tipo
diverso: radice e
prodotto con
somma e divisione
Progressioni
aritmetiche e
geometriche
SOLUZIONE
Al primo membro è presente una radice
di ordine pari, per cui il prodotto ab deve
essere non negativo. L’unico caso da
studiare è quello in cui sia a che b sono
positivi o nulli. È sufficiente elevare al
quadrato entrambi i membri della
diseguaglianza, il cui verso resta lo
stesso; si ha:
Proprietà delle
potenze
Modelli lineari e
non lineari
In particolare.
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Proposta di quesito
Tutti gli studenti che frequentano il terzo anno di una
scuola media sono stati sottoposti ad un test di
matematica costituito da 10 quesiti.
I risultati del test sono riportati in
figura.
Determinare:
a) il numero degli studenti sottoposti
al test;
b) la moda della distribuzione;
c) la mediana della distribuzione;
d) il valor medio delle risposte esatte per alunno.
risultati test
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
num ero risposte esatte
17
Le richieste potrebbero essere sostituite da:




Si può dedurre dal test il numero degli allievi?
È possibile dedurre dal grafico il quesito che ha
ottenuto il maggior numero di risposte esatte?
Esiste un termine che sintetizza questo valore?
Esiste un valore che ripartisce la distribuzione al
50%? Esiste un termine che sintetizza questo
valore?
In media quante sono le risposte esatte date dagli
alunni?
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Analisi del testo del quesito
È richiesto di calcolare:
 il numero di studenti partecipanti
 la moda del numero di risposte esatte
 la mediana del numero di risposte esatte al test
 il valore medio delle risposte esatte per alunno (si
può calcolare anche per quesito).
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Analisi del problema





E’ possibile determinare il numero di test proposti agli alunni individuando
la modalità massima
E’ possibile calcolare il numero di studenti partecipanti sommando le
singole frequenze
E’ possibile calcolare la moda del numero di risposte esatte: essa è la
modalità (pertanto un valore compreso nel dominio) che si è presentata il
maggior numero di volte
E’ possibile calcolare la mediana del numero di risposte esatte al test:
esso la modalità corrispondente al valore di posizione centrale dopo aver
ordinato tutti i numeri di risposte esatte fornite (semplice, ma molto
lungo), oppure più semplicemente corrispondente al 50% della
distribuzione cumulata
E’ possibile calcolare il valore medio delle risposte esatte sia in
riferimento al numero di alunni (dividendo il totale di risposte esatte per il
numero di alunni) sia al numero di quesiti (dividendo il numero totale di
risposte esatte per il numero di quesiti)
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Rilevazione di informazioni dall’analisi dei dati riportati nel grafico
Dalla
dicitura riguardante la variabile (“numero risposte
esatte”) si deduce che si possono fornire da 0 a 10 risposte
esatte (11 modalità); quindi, la variabile “numero di
risposte esatte fornite dai singoli alunni” e il loro valore
massimo, 10, permette di verificare che il Numero test è
10.
L’indicazione
sull’asse delle ordinate consente di
individuare il tipo di grafico: è un grafico a barre verticali di
frequenze (assolute) indicanti il numero di alunni che
hanno fornito un determinato numero di risposte esatte ai
10 quesiti.
21
Risoluzione (1)



il numero di studenti partecipanti si ottiene sommando le frequenze
relative a tutti i numeri di risposte esatte: 2 + 6 + 12 + 12 + 13 + 8 +
5 + 3 + 1 = 62, quindi il numero di studenti è 62
la moda del numero di risposte esatte è il valore di modalità (pertanto
compreso tra 0 e 10) che si è presentata il maggior numero di volte: la
frequenza massima è 13, per cui la moda della distribuzione è 6
(numero di risposte esatte che si è presentato più volte). MODA = 6
la mediana del numero di risposte esatte al test è la modalità
corrispondente al valore di posizione centrale dopo aver ordinato in
ordine crescente tutti i numeri di risposte esatte fornite, ciascuno
tante volte quante si sono verificate (si avrebbe 2,2,3,3,3,3,3,3,…),
oppure più semplicemente individuando il 50% della distribuzione
cumulata (vedi tabella sottostante); risulta MEDIANA = 6
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Risoluzione (2): calcolo della media

il totale di risposte esatte è 341, il numero di
alunni 62, per cui, essendo, 341/62 = 5,50 il
valor medio di risposte esatte per alunno è
5,50

il numero totale risposte esatte (341) diviso il
numero di quesiti (10) fornisce il valore della
media delle risposte esatte per quesito: 34,1
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I quesiti proposti nel seguito vanno intesi come una
panoramica di quesiti di differenti livelli di competenza, da
assemblare in funzione del percorso proposto e degli obiettivi
da testare.
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