Il Piano Cartesiano Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Piano Cartesiano Il PIANO CARTESIANO è una struttura matematica che permette di identificare la posizione di un oggetto mediante numeri detti coordinate 1 2 3 4 3 2 1 4 5 1 dimensione: Es. una fila. La posizione dell’oggetto è individuabile con UNA coordinata: (3) 2 dimensioni: Es. battaglia navale. La posizione dell’oggetto è individuabile con DUE coordinata: (3; 2) 1 2 3 4 3 4 3 2 1 21 1 2 3 4 3 dimensioni: Es. oggetto nello spazio. La posizione dell’oggetto è individuabile con TRE coordinata: [email protected] (3; 4; 2) Scuola Media Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Notazione L’asse verticale è chiamata asse delle ORDINATE o Y asse delle ORDINATE Y asse delle ASCISSE X L’asse orizzontale è chiamata asse delle ASCISSE o X Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Notazione La posizione di un oggetto nel piano cartesiano è individuata da due numeri: COPPIA ORDINATA di COORDINATE asse delle ORDINATE Y (3; 2) (X; Y) asse delle ASCISSE X ORDINATA perché la prima coordinata è SEMPRE la X la seconda coordinata è SEMPRE la Y Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rappresentazione Y 4 Tracciare l’asse X e l’asse Y 3 Mettere la freccia verso destra sull’asse X Mettere la freccia verso l’alto sull’asse Y 2 1 O O O 1 2 3 4 X Indicare con X l’asse delle ascisse Indicare con Y l’asse delle ordinate Tracciare sugli assi le tacche delle coordinate Numerare le tacche Le frecce indicano la direzione crescente dei numeri Si noti che l’intersezione (= incontro) degli assi è individuata da: coordinata X uguale a 0 coordinata Y uguale a 0 Per semplicità si preferisce indicare quel punto con la lettera O e chiamarlo ORIGINE: O (0; 0) Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rappresentazione di un Punto Y Un oggetto viene rappresentato con un PUNTO A Al quale viene associata una lettera A, B, …. O X Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Distanza tra due Punti Distanza tra due punti posti su un segmento VERTICALE Y Due punti posti su un segmento verticale sono caratterizzati dalla stessa coordinata X A 4 La loro distanza AB si determina attraverso la relazione 3 2 AB = YA – YB B 1 O 1 2 3 4 AB = YA – YB = 4 – 1 = 3 u X cioè … la distanza tra due punti posti su una verticale è la differenza tra la coordinata Y del punto più alto e la coordinata Y del punto più in basso Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Distanza tra due Punti Distanza tra due punti posti su un segmento ORIZZONTALE Y Due punti posti su un segmento orizzontale sono caratterizzati dalla stessa coordinata Y 4 A B La loro distanza AB si determina attraverso la relazione 3 2 AB = XB – XA 1 O 1 2 3 4 AB = XB – XA = 3 – 1 = 2 u X cioè … la distanza tra due punti posti su una verticale è la differenza tra la coordinata X del punto più a destra e la coordinata X del punto più a sinistra Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Unità di Misura La lettera u che compare al termine dei calcoli sta per unità di misura Nel ‘mondo reale’ le unità di misura sono rappresentate da metri, centimetri, chilometri, … Nel disegno, NON essendo sempre possibile riprodurre le distanze reali, viene utilizzata come unità di misura la distanza tra due tacche consecutive È sempre possibile risalire alle distanze reali se si conosce a quale lunghezza corrisponde l’unità del disegno. Es. se un segmento nel disegno risulta lungo 5u e so che u=150m, posso affermare che la distanza reale tra i due punti è: distanza reale = 5u = 5150= 750m Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Esercizio La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3). Calcolare la distanza che deve percorrere Dino per recarsi a scuola, esprimere il risultato in metri e Km sapendo che una unità equivale a 105 metri. Y Comincio col disegnare il piano cartesiano Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4;…3) Soluzione … Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza) Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità 4 D 3 2 1 O A 1 2 3 4 X OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u Calcolo la lunghezza reale trasformando le unità prima in metri e poi i metri in chilometri Percorso = 7u = 7 x 105m = 735 m Percorso = 735m : 1000 = 0.735 Km Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Esercizio La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3). Sapendo che Dino per andare a scuola percorre 1.225 Km determinare a quanti metri corrisponde una unità Y Comincio col disegnare il piano cartesiano Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4;…3) Soluzione … Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza) Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità 4 D 3 2 1 O A 1 2 3 X 4 OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u Calcolo a quanti metri corrisponde una unità. Trasformo i Km in m 1.225 Km x 1000 = 1225 m Calcolo la lunghezza reale di una unità Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” 1u = 1225 m : 7 = 175 m Prima di proseguire apriamo una parentesi per rivedere alcuni concetti riguardanti Rette parallele Rette perpendicolari. E fornire alcuni simbolismi e notazioni che serviranno da qui in avanti. sono state inserite slide prese dalla presentazione “rette e segmenti” Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Notazione Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Notazione Punto: lettere MAIUSCOLE dell’alfabeto latino: A; B … Segmento: P la coppia di lettere MAIUSCOLE che rappresentano gli estremi del segmento: AB; … Retta: lettere minuscole dell’alfabeto latino: a; b … Angolo: Lettere dell’alfabeto greco: a; b; … Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” P Q r a Rette Perpendicolari Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” rette PERPENDICOLARI () 2 rette si dicono PERPENDICOLARI se intersecandosi formano 4 angoli retti w s v 90° 90° 90° 90° r w v perché wv? le rette incidenti NON formano 4 angoli retti sr perché rette incidenti formanti 4 angoli retti Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” ASSE del SEGMENTO si chiama ASSE del SEGMENTO la retta PERPENDICOLARE al segmento passante per il suo PUNTO MEDIO P r Evidenziamo il punto medio A M r è ASSE di AB w M Q w NON è ASSE di PQ perché NON per w è passa ASSE diMPQ ? B w NON è ASSE di PQ perchèdiwPQ PQ w è ASSE ? perché P r AB w M Q r passa per M (punto medio di AB) Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” DISTANZA punto-retta La DISTANZA di un punto da una retta è il segmento PIÙ CORTO congiungente il punto con la retta P E D C H B A r Quale è il segmento PH è il più segmento più corto corto ? undire CosaForma si può ANGOLOl’angolo RETTO riguardo con la retta formato con la retta ? Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” PIEDE dell’ALTEZZA Il PIEDE dell’ALTEZZA è il punto d’intersezione H di r con la perpendicolare condotta da P a r P r H piede dell’altezza Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rette Parallele Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” rette PARALLELE (//) 2 rette si dicono PARALLELE se NON si intersecano mai P Q r = = P' R Q' R' w s v 2 rette sono PARALLELE w // v // vdistanza ? perchéw la loro se la loro distanza NON cambia CAMBIA Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Distanza tra due Rette Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Distanza tra due rette È possibile calcolare (misurare) la distanza tra due rette SOLO se le due rette sono PARALLELE Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” DISTANZA tra due RETTE Vediamo come determinare la distanza tra due rette parallele Scegliere su una delle due rette un punto Tracciare da questo punto la perpendicolare alla seconda retta. (chiamiamo H l’intersezione tra la perpendicolare e la seconda retta) A H r s La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” DISTANZA tra due RETTE A r s H La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele La distanza AH cambia se si prende A in un’altra posizione sulla retta r ? NO La distanza AH cambia se si prende A sulla retta s ? NO Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Chiudiamo la parentesi e vediamo come applicare questi concetti in un piano cartesiano Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rappresentazione di una Retta una linea dritta infinita” Detta ‘volgarmente’ una retta è: “ r In un piano cartesiano una retta può essere rappresentata in tre modi: Y Perpendicolare all’asse X (oppure parallela all’asse Y) Perpendicolare all’asse Y (oppure parallela all’asse X) O Obliqua rispetto gli assi X Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rappresentazione di una Retta Retta perpendicolare all’asse X (oppure parallela all’asse Y) Y r Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno la STESSA COORDINATA X O È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a tutti i suoi punti retta: X = 2 X Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rappresentazione di una Retta Retta perpendicolare all’asse Y (oppure parallela all’asse X) Y r O Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno la STESSA COORDINATA Y È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a tutti i suoi punti retta: Y = 3 X Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rappresentazione di una Retta Retta OBLIQUA Y Dal disegno si osserva che i punti della retta cambiano sia la COORDINATA Y che la COORDINATA X r QUINDI È TROPPO DIFFICILE DESCRIVERLA ORA, LO SI FARÀ ALLA SCUOLA SUPERIORE. O X Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Esercizio Descrivere la retta disegnata nel piano cartesiano … Soluzione … Y r r r r Y=4 r Y=3 r Y=1 r O X X=0 Y=0 X=3 X=1 Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Distanza Punto - Retta Vediamo come determinare la distanza tra un punto e una retta Determinare la distanza tra il punto P(1; 2) e la retta r: X=3 1.- Rappresentiamo il problema Y 2.- Tracciamo l’altezza tra P e r, chiamiamo H il piede dell’altezza r La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata P Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H H 3.- Determiniamo le coordinate di H L’ascissa di H la ricavo dalla retta: XH = 3 L’ordinata di H la ricavo è quella del punto: YH = 2 O X 4.- Calcoliamo PH PH = XH – XP = 3 – 1 = 2u Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Distanza Punto - Retta Ora prova da solo Determinare la distanza tra il punto P(3; 1) e la retta r: Y=4 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Tracciamo l’altezza tra P e r, chiamiamo H il piede dell’altezza Y H r La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H 3.- Determiniamo le coordinate di H P O L’ordinata di H la ricavo dalla retta: YH = 4 L’ascissa di H la ricavo è quella del punto: XH = 3 X 4.- Calcoliamo PH PH = YH – YP = 4 – 1 = 3u Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Distanza Retta - Retta Nelle slides 23, 24, 25 è stato mostrato come calcolare la distanza tra due RETTE PARALLELE 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette Y H r: y=4 3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e l’altra retta, sia H il piede dell’altezza La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata t: y=1 O Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ascissa e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate y P X Le coordinate y dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette. 4.- Calcoliamo PH Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” d(r,t) = PH = YH – YP = 4 – 1 = 3u … Soluzione … Distanza Retta - Retta Prova da solo Determinare la distanza tra le rette r: x=0.5 e t: x=4 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette Y 3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e l’altra retta, sia H il piede dell’altezza La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata O r: x=0.5 Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ordinata e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate x H P X t: x=4 Le coordinate x dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette. 4.- Calcoliamo PH Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” d(r,t) = PH = XH – XP = 4 – 0.5 = 3.5u Distanza Retta - Retta Riassumendo Date due rette parallele, Date duelarette loroparallele distanza è data dalla … DIFFERENZA DELLE COORDINATE NOTE Y Y H r: y=4 d(r,t) = YH – YP H P t: y=1 O d(r,t) = XH – XP r: x=0.5 X O X t: x=4 Scuola Media [email protected] P Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rette perpendicolari Le rette parallele all’asse x sono perpendicolari alle rette parallele all’asse y Y r: y=2 O X t: x=3 Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Rette perpendicolari - INTERSEZIONE Le rette parallele all’asse x sono perpendicolari alle rette parallele all’asse y Determiniamo le coordinate del punto P intersezione delle due rette Y r: y=2 P è un punto della retta verticale e quindi ha la stessa ascissa di tutti gli altri punti della retta. Nel nostro esempio x=3 P O X P è un punto della retta orizzontale e quindi ha la stessa ordinata di tutti gli altri punti della retta. Nel nostro esempio y=2 t: x=3 Quindi le coordinate di P sono P = (3; 2) Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum” Scuola Media [email protected] Liceo Scientifico “Salesiani – Rainerum”
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