Lezione XII-b
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Moto armonico smorzato
Un esempio di particolare interesse è il caso di un moto armonico in cui sia presente
una forza di attrito proporzionale alla velocità del corpo e diretta in verso opposto.
Un esempio di questo fenomeno è illustrato in figura.
Alla massa m, appesa ad una molla di costante
−k x
elastica k, è attaccato un disco immerso in un fluido.
La forza d’attrito esercitata dal fluido è proporzionale alla
m
velocità della massa e diretta in verso opposto
𝑑𝑥
−b
𝑑𝑡
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Per ricavare l’equazione del moto, utilizzeremo la II Legge di Newton
F = ma.
In questo
𝑑𝑥
caso F è la risultante della forza di richiamo della molla −k x e della forza d’attrito −b
.
𝑑𝑡
Quindi scriveremo:
F = ma
E cioè:
𝑑𝑥
−k x −b
= ma
𝑑𝑡
𝑑2𝑥
Ricordando che a =
2 l’equazione diventa:
𝑑𝑡
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
m 2 +b
+kx=0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
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Si dimostra che se
b è sufficientemente piccolo, l’equazione differenziale:
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
m 2 +b
+kx=0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
ha per soluzione la seguente funzione:
x (t) = A 𝑒 −𝑏𝑡/2𝑚 cos (ω’ t + δ)
dove: ω’ =
𝑘
𝑚
−
𝑏 2
2𝑚
Possiamo notare quanto segue:
a) La frequenza di oscillazione è leggermente più piccola
b) Il fluido rallenta il moto in modo esponenziale
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L’andamento della funzione x(t) è quindi di questo tipo:
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Oscillazioni forzate e risonanza
Sino adesso abbiamo trattato solo le oscillazioni che un corpo compie naturalmente
quando viene allontanato dalla sua posizione di equilibrio. Per esempio per una massa
attaccata ad una molla, la frequenza naturale di oscillazione è
ω=
𝑘
𝑚
che nel caso in cui è presente una forza di attrito
ω’ =
𝑘
𝑚
−
−bv diviene
𝑏 2
2𝑚
In sostanza, ogni sistema elastico ha una sua frequenza naturale
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Non c’è però alcun dubbio che noi possiamo forzare un sistema elastico a oscillare
applicandogli una forza esterna periodica.
In questo caso il corpo oscilla alla frequenza della forza e non alla sua frequenza naturale.
In questo caso si parla di oscillazioni forzate.
Tuttavia, la «risposta» del sistema a queste sollecitazioni dipende dalla relazione fra
la frequenza della forza esterna e la frequenza naturale del sistema.
In particolare vedremo che tanto più la frequenza della forza esterna è vicina alla
frequenza naturale, tanto più ampie saranno le oscillazioni.
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L’equazione del moto di un oscillatore forzato si ottiene dalla relazione
F=ma
considerando come risultante
F delle forze la somma della forza di richiamo -kx,
della forza d’attrito -bv e della forza periodica esterna.
Scriveremo pertanto:
Ossia:
𝑑𝑥
−k x −b
+ Fm cos ω’’ t= ma
𝑑𝑡
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
m 2 +b
+ k x = Fm cos ω’’ t
𝑑𝑡
𝑑𝑡
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La soluzione di questa equazione differenziale è la seguente funzione x(t):
x(t) = ( Fm / G ) sin (ω’’ t − α)
dove:
G=
𝑚2 (ω’’2 − ω2 )2 + b2 ω’’2
e:
α = cos-1 ( b ω’’/G )
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Esercizi ed esempi
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Esempio 1
Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza
di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata
di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera
di compiere oscillazioni armoniche.
Quesito-1: Quanto vale la costante elastica della molla ?
Quesito-2: Quanto vale la forze esercitata sulla massa da 1kg appena prima che questa
venga abbandonata ?
Quesito-3: Quale è il periodo dell’oscillazione ?
Quesito-4: Quale è l’ampiezza A del moto ?
Quesito-5: Quale è la velocità massima della massa oscillante ?
Quesito-6: Quale è l’accelerazione massima?
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Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza
di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata
di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera
di compiere oscillazioni armoniche.
Quesito-1: Quanto vale la costante elastica della molla ?
Dalla relazione:
F = −k x, risulta:
k = F/x
Quindi:
k = 9 nt / 0.03 = 300 nt/m
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Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza
di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata
di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera
di compiere oscillazioni armoniche.
Quesito 2: Quanto vale la forza esercitata sulla massa da 1kg appena prima che questa
venga abbandonata ?
La massa era stata allontanata di 4 cm dalla posizione di riposo, quindi:
F = −k x = -300 nt/m x 0.04 m = −12 nt
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Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza
di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata
di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera
di compiere oscillazioni armoniche.
Quesito 3: Quale è il periodo dell’oscillazione ?
Abbiamo visto che T
= 2π/ω
dove ω =
𝑘/𝑚
𝑛𝑡
ω
=
300 𝑚
1 𝑘𝑔
= 17,32 rad/sec
T = 2π / 17,32 = 0,36 sec
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Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza
di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata
di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera
di compiere oscillazioni armoniche.
Quesito 4: Quale è l’ampiezza A del moto ?
Abbiamo visto che l’ampiezza A è semplicemente l’elongazione iniziale: 4cm !!
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Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza
di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata
di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera
di compiere oscillazioni armoniche.
Quesito 5: Quale è la velocità massima della massa oscillante ?
Abbiamo visto che:
x (t) = A cos (ωt + δ)
𝑑𝑥
v (t) =
= −ωA sin (ωt + δ)
𝑑𝑡
𝑑2𝑥
2
a (t) =
2 = −ω A cos (ωt + δ)
𝑑𝑡
Quindi:
vmax = ωA = A 2π / T = 0,04 m 2 π / 0,36 s = 0,69 m/s
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Quesito 6: Quale è l’accelerazione massima?
Dalle formule della slide precedente ricordiamo che:
𝑑2𝑥
2
a (t) =
2 = −ω A cos (ωt + δ)
𝑑𝑡
Quindi:
amax = ω2A = A k/m = (0,04 x 300)/ 1 = 12 m/s2
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Esempio 2
Una sbarra sottile di massa m
= 0,1 kg
e lunga 0,1 m è sospesa ad un filo per il
suo centro. La barra viene fatta oscillare per torsione. Il periodo T risulta 2 sec.
La sbarra viene sostituita da un una lastra a forma di triangolo equilatero appesa anche
essa al centro di massa. In questo caso il periodo risulta in 6 sec. Quesito: Trovare il momento
di inerzia del triangolo rispetto all’asse di rotazione.
Abbiamo visto che nel pendolo di torsione il periodo T è dato dalla relazione:
T = 2π
Dove:
𝐼
𝜘
I è il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione della massa
e 𝜘 è la costante di torsione del filo.
Il momento di inerzia di una barra sottile di lunghezza l rispetto ad un asse di rotazione
ortogonale alla barra e passante per il centro è dato da
I = m l2 /12
Si ha quindi:
Isbarra = m l2 /12 = (0,1 x 0,12 ) /12
=
0,001/12 = 8,33 x 10−5 kg-m2
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Dalla relazione:
T = 2π
𝐼
𝜘
si ricava la relazione fra il rapporto fra i periodi di oscillazione e il rapporto dei
relativi momenti di inerzia dei due corpi:
Tsbarra / Ttriang = (Isbarra / Itriang )1/2
da cui si ricava:
Itriang = Isbarra (Ttriang / Tsbarra )2
Ossia:
Itriang = 8,33 x 10−5 x (6/2)2 = 0,00075 kg-m2
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