Da 2 a 3 dimensioni
La terza coordinata z
Aggiungiamo un asse
Nel piano…
Nello spazio…
Nello spazio: piani particolari
Piano nello spazio
Retta nel piano
Forma implicita
ax +by +c =0
Forma implicita
ax+by+cz+d=0
Forma esplicita
y= mx+q
r) ax +by +c =0
s) a’x +b’y +c’ =0
Forma esplicita
z= mx+ny+q
α) ax +by +cz+d =0
β) a’x +b’y +c’a+d’=0
r e s parallele
ossia
αeβ
a/b=a’/b’
a/a’ = b/b’
r e s perpendicolari
a/b=-b’/a’ ossia aa’+bb’=0
paralleli a/a’= b/b’=c/c’
α e β perpendicolari
aa’+bb’+cc’=0
Nello spazio: piani particolari
Esercitiamoci
• Pagg. 1104-1105 numeri 12, 19, 25 e 26
• Pagg. 1106-1107 numeri 29, 31 e 38
I vettori: cosa individuano nel piano?
r: 3x-y+5 = 0
il vettore v (3, -1)
è perpendicolare
alla retta r
I vettori: cosa individuano nel piano?
r: 3x-y+5 = 0
il vettore v’(1, 3)
individua invece
la direzione di r
I vettori: cosa individuano nel piano?
r: 3x-y+5 = 0
il prodotto scalare
v’· v = (a·a’+ b·b’)
=(1·3 + 3·(-1)) = 0
Condizione di
perpendicolarità
v (3, -1)=(a,b)
v’(1, 3)=(a’,b’)
I vettori: cosa individuano nello spazio?
α: 3x-y+2z +5 = 0
per analogia
il vettore v (3, -1, 2)
è perpendicolare
al piano α
Posizione rette nel piano
parallele
Quando i vettori direzione
v(a, b) e w(a’, b’)
sono paralleli
• m=m’ ossia
• b/a = b’/a’ ossia
• a/a’= b/b’
perpendicolari
Quando i vettori direzione
v(a, b) e w(a’, b’)
sono perpendicolari
• m= -1/m’ ossia
• v·w = 0 ossia
• a·a’ + b·b’ = 0
Posizione piani nello spazio
paralleli
α: ax+by+cz+d=0
β: a’x+b’y+c’z+d’=0
quando i vettori “normali” ai
piani α e β
v(a, b, c) e w(a’, b’, c’)
sono paralleli, ossia
• a/a’= b/b’= c/c’
perpendicolari
α: ax+by+cz+d=0
β: a’x+b’y+c’z+d’=0
quando i vettori “normali” ai
piani α e β
v(a, b, c) e w(a’, b’, c’)
sono perpendicolari, ossia
v·w=0 ossia
a·a’ + b·b’ + c·c’ = 0
Distanze
Nel piano: punto - retta
Nello spazio: punto - piano
Esercitiamoci
Stabilire la posizione reciproca tra due piani:
• x-3y+2z=1 e 2x-6y+4z=2
• x-3y+2z+5=0 e 3x-y+2z=0
Scrivi l’equazione del piano per P(-3,2,4) e parallelo al
piano 3x-2y-z-5=0
Scrivi l’equazione del piano passante per l’origine, per
P(2,-4,3) e perpendicolare al piano x-2y-z-1=0
Rette nello spazio
Rette nello spazio
Posizione rette nello spazio
parallele
Quando i vettori direzione
v(l,m,n) e w(l’, m’,n’)
sono paralleli, ossia
l/l’=m/m’=n/n’
perpendicolari
Quando i vettori direzione
v(l,m,n) e w(l’, m’,n’)
sono perpendicolari, ossia
l·l’=m·m’=n·n’
Posizione retta + piano
Una retta r e un piano α
sono paralleli quando i
vettori direzione (retta)
v(l,m,n) e
Il vettore w(a,b,c) normale
al piano α
sono perpendicolari, ossia
l·a + m·b + n·c = 0
Posizione retta + piano
Una retta r e un piano α
sono perpendicolari
quando i
vettori direzione (retta)
v(l,m,n) e
Il vettore w(a,b,c) normale
al piano α
sono paralleli, ossia
l/a = m/b = n/c
Circonferenza e Sfera
Nel piano
Nello spazio
La circonferenza è il luogo dei
punti P(x, y) equidistanti
da un punto fisso detto
centro. Tale distanza è il
raggio r della circonferenza
La sfera è il luogo dei punti P(x,
y, z) equidistanti da un
punto fisso detto centro.
Tale distanza è il raggio r
della sfera
Intersezione sfera - piano
L’intersezione di una sfera S
di centro C e raggio R
con un piano α è una
circonferenza γ
Per determinare raggio r e
centro A di γ occorre
tener presente che:
• la retta per C e
perpendicolare ad α,
passa per A
• CA è la distanza di C dal
piano α
Quesito 7 simulazione
• Trovare l'equazione del piano tangente alla
superficie sferica avente come centro l'origine
e raggio 2, nel suo punto di coordinate (1,1,z),
con z negativa.