Il paradosso dei compleanni
Il trucco del cappello
Vinca il migliore
Il problema di Monty Hall
I tre prigionieri
La Sindrome della Zucca Pazza
Katrine e il Conte Bracula
Il paradosso dei compleanni
 Scegliendo a caso 24 persone, quanto vale la
probabilità che due o più di esse festeggino il
compleanno lo stesso giorno dell’anno?
 E’ superiore al 50 % !
 Calcoliamo la probabilità dell’evento complementare
“in un gruppo di N persone tutte festeggiano il
compleanno in date distinte”:
P1(N)=(364/365 )∙(363/365)∙∙∙ [(365-N+1)/365 ]=
364!/365N-1(365-N)!
 Preso N=24 tale probabilità risulta essere 23/50…
dunque la probabilità che almeno due di esse
compiano gli anni lo stesso giorno è 1-23/50=27/50
Il trucco del cappello
Alfie, Betty e Gemma partecipano al Gran quizzone televisivo.
Il conduttore spiega le regole:
“Si tratta di un gioco di squadra. Metterò un cappello sulla
testa di ognuno di voi, bianco o nero, scelto casualmente.
Voi non sarete in grado di vedere il vostro capello, ma
potrete vedere quello degli altri due giocatori. Avrete 10
secondi di tempo per riflettere, quindi ognuno di voi potrà
fare contemporaneamente una di queste tre cose:
 passare,
 affermare che il suo cappello è bianco,
 affermare che il suo cappello è nero.
Se passate tutti e 3, oppure se qualcuno fa
un’affermazione errata, perderete tutti.
Se almeno uno di voi passa e tutti quelli che non passano
indovinano il colore del proprio cappello,
vincerete un milione di sterline ciascuno.
Durante il gioco sarete messe in cabine chiuse, dove vi
sarà impossibile comunicare, ma potrete vedere su un
monitor le facce e i cappelli degli altri.
La vostra decisione verrà salvata elettronicamente
finché avrete scelto tutti e tre, allora verrano rivelati i
risultati. Avete 5 minuti per elaborare la vostra
strategia”
Alfie: “Tanto vale che tiriamo tutti a indovinare”
Gemma: “No, in quel modo dovremmo azzeccare la
risposta giusta tutti quanti, e avremmo una possibilità
su 8. Dobbiamo scegliere uno di noi che tiri a
indovinare, mentre gli altri due passeranno, così le
nostre possibilità saliranno a ½”
Betty: “Credo che possiamo fare di meglio… credo ci sia
una strategia che ci permette di vincere 3 volte su 4”
Aveva ragione Betty?
 Sì, aveva ragione Betty!
 Le possibili combinazioni, tutte equiprobabili, sono 8:
BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN.
In 2 di esse tutti i cappelli sono dello stesso colore, negli
2 cappelli sono di un colore, l’altro di un altro.
La strategia di Betty è questa:
ogni giocatore che vede due cappelli dello stesso colore
affermerà che il proprio è del colore opposto, tutti gli
altri devono passare.
Se tutti i cappelli sono dello stesso colore (probabilità
2/8=1/4) perderanno, in tutti gli altri casi (6/8 = ¾)
vinceranno!
Vinca il migliore
 Matteo, Marco e Patty sono sul treno e fanno un gioco di carte
per soldi. Matteo spiega le regole:
“Utilizzeremo solo gli assi del mazzo. Io farò il banco e voi
punterete contro di me.
Mettiamo che tocchi a Patty. Marco dispone le 4 carte in fila, a
faccia in giù. Quindi Patty sceglie.
Se entrambi gli assi sono dello stesso colore, Patty vince e prende i
soldi. Se sono di colore diverso, vinco io.
Quindi sarà Patty a disporre le carte e toccherà a Marco scegliere.
Continueremo a giocare finché arriveremo alla stazione di Lodi o
uno di noi finirà i soldi.
Ovviamente è un gioco onesto, o le due carte sono dello stesso
colore o non lo sono, la probabilità è 50 – 50 ”
 Patty: “sono d’accordo che sia onesto, ma le cose non
stanno esattamente come dici. Ci sono 4 possibilità:
Rosso/Rosso; Rosso/Nero; Nero/Rosso; Nero/Nero.
In due casi vinco io, in due perdo. Quindi le possibilità sono
sì 50 / 50, ma i casi sono 4, non 2”
 Marco: “Patty ha ragione, possiamo giocare”. Ma sembrava
un po’ troppo impaziente… in effetti aveva calcolato che il
gioco fosse a suo vantaggio. Secondo lui, l’ordine in cui le
carte venivano scelte non aveva alcun peso, perciò i casi
erano 3: tutte e due nere, tutte e due rosse o una per colore.
E in 2 su 3 casi il banco perdeva… quindi avrebbero ripulito
il banco!
Quale ragionamento é corretto?
 Nessuno dei due presentati…
 La risposta corretta é che le possibilità che Patty e
Marco vincano sono 1/3. Matteo lo sapeva, e fu lui a
ripulire gli altri.
 Consideriamo la prima carta scelta. Qualunque essa
sia, la seconda carta verrà scelta fra 3 restanti, e una
sola di queste corrisponde al colore della prima.
Il problema di Monty Hall
 In un gioco televisivo a premi vengono mostrate al concorrente
tre porte chiuse; dietro ad una si trova un'automobile, mentre
ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può
scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente.
Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora
aperta, il conduttore dello show – che conosce ciò che si trova
dietro ogni porta – apre una delle altre due, rivelando una delle
due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria
scelta iniziale, passando all'unica porta restante.
Cambiare porta migliora le possibilità del giocatore di
vincere l'automobile?
 La risposta è sì: cambiando la propria scelta le
probabilità di successo passano da 1/3 a 2/3.
I tre prigionieri
 Tre uomini, A,B,C sono chiusi in celle separate in attesa
dell’esecuzione capitale, quando il governatore decide di
graziarne uno e chiede al guardiano che il nome del fortunato
rimanga segreto. Voci di questo fatto pervengono al prigioniero A
e quando il guardiano fa il suo giro, A tenta di persuaderlo a
dirgli chi è stato graziato, ma il guardiano rifiuta.
“Allora mi dica il nome di uno dei due che saranno stati giustiziati.
Se è B mi dica il nome di C, se è C il graziato, mi dica B, se sono
io lanci una moneta per decidere se dirmi B o C”.
Il guardiano riflette e decide che il procedimento suggerito da A
non lo avrebbe aiutato in alcun modo nella valutazione delle sue
possibilità di sopravvivenza, così il giorno seguente va da A e gli
dice che sarebbe stato giustiziato B.
Partito il guardiano, A sorride a se stesso pensando che o
C sarebbe stato graziato o lui, in questo modo per le
leggi della probabilità condizionata le sue possibilità di
sopravvivenza sono salite da 1/3 a ½.
Il guardiano non sapeva che A potesse comunicare con C
che si trova nella cella adiacente, e facendolo anche C è
rallegrato dalle notizie perché anch’egli calcola che le
sue probabilità di sopravvivenza sono salite a ½.
 I due ragionarono correttamente?
 No. La probabilità di A di essere graziato rimane
1/3, mentre quella di C è salita a 2/3.
 Il guardiano può dare ad A il nome di un uomo,
diverso da A, che dovrà morire a prescindere da chi
viene graziato. L’enunciato del guardiano non ha
influenza sulle probabilità di sopravvivenza di A; esse
continuano ad essere 1/3.
Consideriamo i 4 possibili elementi nello spazio di
campionamento e le loro probabilità iniziali:
1. C viene graziato, il guardiano nomina B (probabilità 1/3)
2. B viene graziato, il guardiano nomina C (probabilità 1/3)
3. A viene graziato, il guardiano nomina B (probabilità 1/6)
4. A viene graziato, il guardiano nomina C (probabilità 1/6)
Sapendo che B morirà si applicano solo i casi 1) e 3). Le
probabilità del caso 1) il doppio di quelle del caso 3),
quindi le probabilità di sopravvivenza di C rispetto ad A
sono 2 a 1. (2/3 per C; 1/3 per A).
La Sindrome della Zucca Pazza
 Il ministro della Salute di Acrimonia discute con il suo
segretario Bertrand sull’incidenza della Sindrome della
Zucca Pazza.
Betrand: “Si stima che su una popolazione totale di 200
milioni di acrimoniani, mezzo milione di cittadini sia
affetto dalla sindrome, signor ministro. La cifra è
ricavata da una serie di test casuali su un campione
rappresentativo, ma è accurata”.
Il ministro lo fissa. “Questo però non ci dice quali
persone hanno contratto la malattia, dobbiamo
cominciare un programma di controlli a tappeto!”
Bertrand: “Il test più accurato registra il 90 % dei casi tra gli
individui affetti dalla sindrome e fornisce falsi positivi solo
nell’ordine dell’1 % fra gli individui sani”.
“E’ un buon risultato, non è vero?” dice il ministro risollevato.
Bertrand:“Lei ha promesso che avrebbe ordinato un
programma di screening su larga scala solo se la quantità di
falsi positivi – ovvero la porzione di persone che risulti
erroneamente positiva alla SZP sul numero totale di
risultati positivi – fosse inferiore al 20 %...”
Ministro: “E allora? Il test garantisce una performance
decisamente migliore, mi pare!”
Bertrand:”Ehm… non sono tanto sicuro, signor ministro”
 Chi ha ragione, Bertram o il ministro?
 Ha ragione Bertram.
 Su 500.000 persone con la sindrome, 450.000
risulteranno positive al test.
 Su 199.500.000 persone che non soffrono di Sindrome
della Zucca Pazza, 1.995.000 risulteranno positive.
 Il test fornirà un falso positivo in 1,995 milioni di casi
su un totale di 2,445 milioni di risultati positivi, con
tasso di errore di poco superiore all’81 %.
Katrine e il conte Bracula
La coraggiosa esploratrice Katrine De Probabilities é
stata catturata dal malvagio Conte Bracula dell'isola di
Zanzibar. Il Conte si diverte a torturare le sue vittime,
ma subisce enormemente il fascino dei giochi e ama
concedere la grazia ai prigionieri che si rivelano
abbastanza furbi.
Così propone a Katrine il seguente tranello:
"Ora metterò questi 5 teschi e queste 5 chiavi in due
urne. Tu sceglierai una delle due urne e se pescherai
una chiave sarai libera, altrimenti sarai la mia cena"
Katrine riflette e propone al conte una modifica al gioco:
“Sarebbe possibile disporre i teschi e le chiavi in un certo
modo nelle due urne prima che io peschi?"
"Sì" risponde il Conte "ma sarai bendata e non saprai
riconoscere le urne al momento della scelta"
"Va bene" risponde Katrine, sapendo che con la nuova
regola può far disporre dal Conte i teschi e le chiavi
nelle due urne in modo da alzare le sue probabilità di
salvezza a più del 70 %.
Cos'ha in mente Katrine?
 Katrine dirà al Conte di porre una chiave in una delle
due urne, mentre le restanti 4 chiavi e i 5 teschi
nell'altra. In questo modo se sceglierà l'urna
contenente la chiave sarà salva, mentre se sceglierà
l'altra urna avrà ancora 4/9 possibilità di salvezza.
 La probabilità di salvezza risulta
1/2 ∙ 1 + 1/2 ∙ 4/9 = 1/2 + 2/9 = 13/18 = 0,72