Il Paradosso del Hotel Infinito è un celebre
paradosso inventato dal matematico tedesco
David Hilbert per mostrare alcune caratteristiche
del concetto di infinito, e le differenze fra
operazioni con insiemi finiti ed infiniti.
David Hilbert (1862 – 1943)
La storia che raccontiamo narra del viaggio di Ion il Tranquillo,
protagonista dell’avventura nello spazio…
Ion il Tranquillo cercava
una camera….
Pensò di trovarla
all’Hotel Infinito,
noto per avere infinite
stanze.
Ion non ebbe fortuna perché
l’hotel ospitava i delegati del
congresso di zoologia cosmica.
Siccome gli zoologi cosmici venivano da
tutte le galassie, e di galassie ne esiste
un numero infinito, tutte le stanze erano
occupate.
…Soluzione del problema…
Il direttore decide di spostare lo zoologo
della stanza 1 nella 2, quello della 2 nella 3 e
così via… così può mettere Ion nella stanza 1!
In generale, viene spostato lo zoologo della
stanza «n» nella stanza «n+1»
Il problema si
complicò perché
arrivò un
rappresentante dei
filatelici per ogni
galassia per
partecipare al
congresso
interstellare dei
filatelici
Il direttore, come
soluzione al
problema, decise di
spostare l’ospite
della 1 nella 2,
quello della 2 nella
4, quello della 3
nella 6 e così via…
In generale mettere l’ospite
della stanza «n» nella stanza
«2n»
Così, gli zoologi occuparono l’insieme delle stanze dei numeri pari e i filatelici occuparono
l’insieme delle stanze dei numeri dispari, visto che il filatelico n-esimo nella coda ottenne il
numero di stanza «2n-1»
Povero lui, che dovrà arrivare alla stanza 26.813.836!
Il congresso degli zoologi terminò, e gli ospiti andarono via, lasciando vuote infinite
stanze.
Per lo stupore di Ion, il direttore si preoccupò perché non sarebbe più
riuscito a raggiungere il preventivo di bilancio. Ion non capiva di che
preventivo si parlasse, visto che i filatelici erano infiniti e quindi al
direttore venivano pagate infinite stanze!
Alla fine il direttore decise di lasciar stare l’ospite della
stanza numero 1 nella sua stanza e di spostare l’ospite della
stanza numero 3 nella stanza numero 2, l’ospite della
numero 5 nella 3 e così via…
…Così l’hotel risultò di nuovo pieno!
I costruttori dell’Hotel Cosmos avevano smantellato tantissime
galassie per costruire infiniti hotel con infinite stanze.
Furono costretti, però, a
rimettere tutto in ordine
e a chiudere tutti gli
hotel, eccetto l’Hotel
Cosmos
Quindi venne chiesto al direttore di mettere le infinite
persone di infiniti hotel nel suo hotel, già pieno.
COME FARE ?
Un apprendista cuoco avanzò una proposta:
Lasciare stare l’ospite della stanza numero 1
nella sua stanza, spostare l’ospite della stanza
numero 2 nella stanza numero 1001, l’ospite
della stanza numero 3 nella stanza numero 2001
e così via. Fatto ciò mettere gli ospiti del secondo
hotel nelle stanze 2, 1002, 2002 e così via. Gli
ospiti del terzo hotel nelle stanze 3, 1003, 2003 e
così via.
Questa idea non risultò essere utile perché non ci
sarebbero state stanze per gli ospiti degli hotel
1001 e seguenti.
Quindi un contabile propose di usare una delle proprietà delle progressioni
geometriche:
Mettere gli ospiti del primo hotel nelle stanze 2, 4, 8, 16, 32 e così via.
Gli ospiti del secondo hotel andavano messi nelle stanze 3, 9, 27, 81 e così via.
Ma arrivati al numero 4, questa proposta risultò irrealizzabile perché nella stanza
numero 4 c’era già un ospite…
Ion propose di usare solo le progressioni dei numeri
primi poiché se si prendono due numeri primi, nessuna
delle potenze intere positive di uno può equivalere a
quelle dell’altro.
In questo modo nessuna stanza
avrebbe avuto due occupanti!
Tutti gli insiemi hanno sottoinsiemi, formati da elementi dell’insieme stesso.
Consideriamo il caso di due insiemi con un numero finito di elementi:
A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
B =6,7,8,9,10
B è un sottoinsieme di A
1
2
3 4
5
6
7
8
9
10
B è una parte PROPRIA di A,
cioè in B ci sono SOLO ALCUNI
elementi di A.
Quindi il numero di elementi di B è minore del numero di elementi di A,
cioè la cardinalità di B è minore della cardinalità di A (|A|<|B|)
Questo concetto diventa più complesso quando operiamo con gli insiemi infiniti.
Prendiamo il caso degli insiemi numerici che abbiamo studiato.
Consideriamo l’insieme N dei numeri naturali e l’insieme P dei numeri pari.
N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;.. 
L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme
proprio dell’insieme dei numeri naturali N?
N
1
P
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
…
È vero che P è sottoinsieme proprio di N perché in P ci sono SOLO alcuni elementi di N.
Quale insieme ha più elementi? N o P ?
N
P
1
2
2
4
3
6
4
8
5
…
10
…
La corrispondenza è biunivoca:
ad ogni elemento di N possiamo associare
uno e un solo elemento di P

n  2n
Il primo a comprendere ciò è stato il matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918),
che ha introdotto il concetto di EQUIPOTENZA
Se due insiemi sono in corrispondenza biunivoca, questi si dicono equipotenti .
In tal caso si dice che gli insiemi hanno la stessa cardinalità o la stessa potenza.
Quindi possiamo dedurre che in un insieme infinito "una parte può essere
equivalente al tutto".
Questa teoria è in contrasto con l’assioma di Antonio De Zolt (1881) sul
confronto delle aree, che, riprendendo quanto già affermato da Euclide negli
Elementi (300 a.C. circa) dice:
«Il tutto non equivale a una sua parte".
Nel caso dell’esempio dei numeri pari, abbiamo visto che P è una parte di N però i
due insiemi sono equivalenti:
   ma   
N e P sono EQUIPOTENTI !
Prendendo in considerazione il postulato di De Zolt, cioè «Il tutto non può
essere "uguale" a una sua parte» e operando con insiemi infiniti, si generano
dei paradossi, che iniziarono a tormentare già Galileo Galilei nel XVI secolo.
George Cantor capì l’origine dei paradossi dell’infinito…
Egli si chiese…
… UGUALE RISPETTO A COSA?
1° SIGNIFICATO (ARISTOTELE)
La parte non è uguale-identica
al tutto che la contiene.
2° SIGNIFICATO (CANTOR)
La parte può essere uguale
PER NUMERO al tutto.
LA PARTE È CONTENUTA
PROPRIAMENTE NEL TUTTO
LA PARTE PUÒ ESSERE
EQUIPOTENTE AL TUTTO
Alla luce di queste considerazioni, il matematico tedesco
Richard Dedekind nel 1874 introdusse la seguente
definizione:
un insieme S si dice infinito,
se è equipotente a una sua parte;
nel caso opposto si chiama finito.
L’infinito che abbiamo introdotto con il racconto dell’Hotel Infinito è la cardinalità di N.
Cantor denominò la cardinalità di N con il simbolo 0
(la lettera ebraica ALEF seguita dallo zero)
Dal racconto dell’Hotel Infinito possiamo dedurre che l’infinito si comporta in
modo particolare con l’addizione…..
∞+1=∞
∞+n=∞
∞+∞=∞
∞+∞+∞…=∞
A Cantor sorse un dubbio:
CI SONO VARI “GRADI” DI INFINITO?
Ad esempio l’insieme N (interi positivi) è una parte propria
dell’insieme Z (interi positivi e negativi),
allora a Z dovrebbe corrispondere un infinito “più grande” di N ?
Ragionando sulla soluzione, Cantor ebbe un’intuizione geniale:
Mise in corrispondenza biunivoca  e  , dimostrando che
la cardinalità di uno è uguale alla cardinalità dell’altro.

Se  ha cardinalità 0 , allora anche  avrà cardinalità 0
cioè hanno la stessa numerosità.
0 si dice POTENZA DEL NUMERABILE
Ma Cantor non si è fermato a Z, si è interrogato anche sulla numerosità
dell’insieme dei numeri razionali Q , che è un insieme “più fitto” di Z
dovendo contenere anche numeri con la virgola….
Egli è riuscito a dimostrare che c’è una corrispondenza biunivoca anche
tra  e Q e di conseguenza la cardinalità di uno è uguale alla cardinalità
dell’altro.
Q
Siccome Q e Z si possono mettere in corrispondenza biunivoca con
questi si dicono numerabili.

,
E cosa succede se consideriamo l’insieme dei numeri reali R?
E’ anch’esso numerabile?
Cantor, ha dimostrato che R non è numerabile e che quindi la
cardinalità di R non è 0 .
Egli indicò con "c" la cardinalità di R.
c si dice POTENZA DEL CONTINUO
Cantor dimostrò anche che
•la potenza del numerabile è la minima cardinalità degli
insiemi infiniti;
•esistono insiemi infiniti aventi una cardinalità superiore al
numerabile e alla potenza del continuo
(numeri trasfiniti 0 , 1 , 2 ,…).
Tuttavia ipotizzò che non esistono insiemi infiniti con
cardinalità intermedia tra 0 e c , cioè il grado di infinito
successivo al numerabile è il continuo.
Questa ipotesi prende il nome di
IPOTESI DEL CONTINUO
0 , c , …
Nel 1940 il matematico americano di origine austriaca KURT GOEDEL
dimostrò che non si può dimostrare né che l’ipotesi del continuo sia
vera né che l’ipotesi del continuo sia falsa.
In realtà nel 1963 il matematico americano PAUL COHEN dimostrò
che esistono teorie matematiche in cui si accetta che l’ipotesi sia
vera e altre teorie in cui si accetta che l’ipotesi sia falsa.
L’infinito non è che una
parola.
Cit. Giovanni Soriano - 2007
Questo progetto è stato realizzato da:
Vincenzo Russo
Mattia Barone
Matteo Cozzolino
Giuseppe Faiella
Alunni della classe 3 sezione B dell’indirizzo
Costruzione Ambiente e Territorio
dell’Istituto
I.T.C.G.L.S. LEONARDO DA VINCI
Anno scolastico 2013-2014
BIBLIOGRAFIA / SITOGRAFIA
 Annarita Ruberto, Benvenuti all’Hotel Infinito
http://www.lanostra-matematica.org/2012/02/benvenuti-allhotel-infinito.html
 New Scientist TV, Math in a Minute: Welcome to Hotel Infinity paradox
http://www.newscientist.com/blogs/nstv/2011/12/math-in-a-minute-welcome-tohotel-infinity-paradox.html
Stanislaw Lem, L'hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di lon il Tranquillo
http://www.itismattei.it/mate1/racconti/hotel.pdf
 Cristina Bonelli, Elena Gabbiani, Dall’infinito agli infiniti
http://www.liceogioia.it/EspDidattiche/Multimedia/Infinito/modulo/
 www.wikipedia.org
 Approfondimenti in classe con la docente di matematica prof. A.L. D’Ambrosio.
In teoria degli insiemi per cardinalità (o
numerosità o potenza) di un insieme finito si
intende il numero dei suoi elementi. Essa viene
indicata con i simboli |A|, #(A) o card(A).
Vedremo che il concetto di cardinalità si estende
anche agli insiemi infiniti.
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Si dice numerabile, un insieme che può essere messo
in corrispondenza biunivoca con l’insieme N .
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• Numeri NATURALI: N ={1,2,3,…,}.
• Numeri INTERI : Z = {...,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,…}.
• Numeri RAZIONALI: Q ={n/m : n ∈ Z, m ∈ N }
(numeri esprimibili come frazione: interi, decimali limitati, decimali illimitati periodici).


• Numeri IRRAZIONALI:   ..., 2 , 3 ,  , e,....
numeri non esprimibili come frazione (decimali illimitati non periodici).
• Numeri REALI:   Q   comprende i numeri razionali e gli irrazionali.
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Cosa sono…
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