TFA dal modellino alla misura
• Esempio della caduta del grave:
– una legge semplice, se è da fare bene:
• metodi di misura a portata di mano,
• metodi di misura in laboratorio: complicazioni
– dettaglio delle complicazioni
– metodi di misura in laboratorio.
• Bisogna farsi del male
• possiamo trovare esempi di utilizzo immediato per i docenti
delle scuole:
– per esempio il pendolo.
TFA: dal modellino alla misura
• Modellino:
Caduta del grave: accelerazione costant
Punto materiale
1 2
h  gt
2
Problematiche: per altezze a portata di studente,
 h = 1 m implica t = 0.45 s,
h = 2 m implica t = 0.64 s
 L’oggetto deve percorrere sempre lo stesso h.
Sensoristica : abilità e/o complicazione
• Traguadri segnati su lavagna, parete,
– Interruttore mano, sensore occhi.
• incertezza su h misurata con un regolo.
• misura con cronometro (a casa con cellulare).
• si possono fare
– misure singole,
– misure ripetute.
Sensoristica: abilità e/o complicazione
• Utilizzare i propri sensori o
interruttori:
– Interruttore di sgancio: mano.
– Sensore di arrivo: piede, l’udito, la
vista.
– Cronometrare con l’altra mano il
tempo impiegato.
– Magia o previsione: io sono alto h =
1.82 m mi aspetto t = 0.61 s.
– Usare la caduta del grave per
misurare l’altezza degli studenti.
Apparato per la misura precisa di g:
maggiore precisione = maggiore complicazione
• L’interruttore alimenta
l’elettromagnete, che
sostiene una sferetta.
• Si commuta l’interruttore, che
rilascia la sferetta, e collega il
generatore di impulsi al
contatore (inizio).
• Quando la sfera passa
attraverso un altro interruttore
(B ad induzione magnetica)
allora si apre il circuito tra
contatore e oscillatore (fine).
Apparato per la misura precisa di g:
maggiore precisione = maggiore complicazione
Precisione su intervalli di tempo
con un oscillatore (impulsi/s),
un contatore (ris. 1 impulso).
Incertezza a priori:
per t = 0.45 s,
100 000 impulsi al secondo,
precisione: 0.5/45 000
et/t ~ 1/100 000.
Incertezza a priori su h = 1 m,
stecca metrica (ris. 1 mm)
eh/h ~ 0.5 mm/ 1 000 mm.
Incertezza a priori su misura di g
1 2
2h
h  gt  g  2
2
t
g h
t g  0.0005  0.00002
 2
g
g
h
t
g
0.5
0.5
0.52 per mille

2
g
1 000
45 000
 5 su 10 000
Perché questa precisione o cosa
possiamo vedere?
• Per effetto della rotazione della, al
variare della latitudine c’è la forza
centrifuga: riduce l’accelerazione di
gravità.
• All’equatore forza centrifuga
massima:
g = 9.781 m/s2
• Ai poli forza centrifuga minima:
g = 9.831 m/s2
A Ferrara latitudine 44.83º:
g = 9.806 m/s2
Variazione totale di g: Dg/gcentrale =
0.05/ 9.806 = 5.1 per mille ~ 5 ‰
A priori con questo apparato, è verificabile l’effetto della forza centrifuga
Apparato per la misura precisa di g:
maggiore precisione = maggiore complicazione
• Misure del tempo:
 Misura diretta del numero di
impulsi durante la caduta: n.
 Conversione da n a t sulla
base della misura del numero
di impulsi per unità di tempo
• nun = impulsi/s
n dim impulsi
t

s
nun
impulsi/s
Misura del numero di impulsi al s: nun
• Cronometriamo per un tempo
fissato ( 2’) tf il numero di
impulsi che acquisisce il
contatore nf.
nun 
nf
tf
 impulsi in 2' 


 120 s

2 misure all’inzio dell’esperienza,
2 a metà, e 2 all fine.
• Avremo 6 misure di nun.
• nun.= valore centrale + semidispersione.
intervallo del 100 % dei dati osservati
Impulsi durante la caduta: n .
• n ripetuto per 100 volte (all’inizio, a metà ed alla
fine di queste misura, si misura nun).
• Studio della variabile osservata n: è gaussiana?
0.45
0.4
0.35
fk e G(X,σ)
0.3
0.25
fk
0.2
ga
0.15
0.1
0.05
0
53026
53242
53458
53674
53890
54106
54322
54538
54753
n
• Comunque nmedio, stima del valore di centralità X,
• sn stima del punto del punto di flesso s.
Incertezza su n
• Se n è gaussiana possiamo utilizzare per l’incertezza
statistica la deviazione standard della media (sn N
N è il numero di dati)
• Se n non è gaussiana una buona stima dell’incertezz
statistica è la deviazione standard del campione (sn
calc., excel).
• L’incertezza su n deve contenere l’incertezza dovuta
alla risoluzione (detta di lettura vedi strumenti digitali en)
n non gaussiana
n  s  e
2
n
2
n
n gaussiana
n 
s
2
n
N
e
2
n
Misura del tempo di caduta: t.
• Dalla relazione t= n/nun
– La migliore stima di t ( tms) si ha da
• nmedia
n
• nun valore centrale
n̂un
• t = n/nun
t ms
n

nˆun
• Qual è l’incertezza sul tempo di caduta?
Incertezza su t
• Si propaga l’incertezza totale relativa:
t
t

n nun
n
–
n
–
Dnun
2

nun

t
t

n nun
n

nˆun
vedi situazione osservata (Gauss, non Gauss).
semidispersione = incertezza di lettura (e).
Per misurare g oltre a t serve h
Sfera di diametro d
Modello
Realtà
Incertezza su h
• Ovviamente va osservato sull’apparato
– Si osserva che l’interruttore si attiva quando
metà sferetta entra nell’interruttore.
d
h  h' s 
2
1
h  e h'  e s  e d
2
– Solo incertezze di lettura: h misurata con
regolo, s e d misurati con calibro.
Incertezza totale su g
• Dopo tutto il lavoro si otteniamo per
• g= 9.35 + 0.10 ms-2 n non gaussiana
– domina l’incertezza su t.
• g= 9.35 + 0.03 ms-2 n gaussiana
– domina ancora l’incertezza su t,
ma l’incertezza statistica è ridotta.
Accettiamo il valore atteso?
9.8
9.7
9.6
9.5
9.4
9.3
9.2
misura meno precisa
misura piu' precisa
valore atteso
Qualcosa non torna: accuratezza
Qualcosa non torna: non centriamo
l’obiettivo: accuratezza
• Pensiamo sia l’attrito dell’aria?
Ma dovrebbe per giunta metterci più tempo.
• Se stimiamo l’attrito e come limite superiore
che la pallina viaggi sempre alla velocità
massima si ottiene dalla Fv=6phrv
da una quota h = 1.34 m una decelerazione al
massimo di 0.001 ms-2.
Per essere piu precisi: bisogna …
• Pensiamo sia un ritardo nel rilascio della
sferetta dall’elettromagnete?
– Applichiamo un altro modello,
–
1
2
h  g (t  t0 )
2
– Ovvero pensiamo che l’elettronica possa introdurre un
ritardo e/o il contatore possa contare in anticipo rispetto alla
caduta del grave.
– Sarà la calibrazione a dirci come stanno le cose.
– Dobbiamo trovare il modo di estrarre t0 senza coinvolgere
altre grandezze: calibrazione.
Esplicito t in fuzione di h
1
2
h  g (t  t0 ) 
2
1
h
g (t  t0 )
2
2
h
 t  t0
g
2
t  t0  h 

g
y  A Bx
t [s]
0.55
t
0.54
0.53
2
h  t0
g
0.52
0.51
t0 = - 0,0107 s
0.5
0.49
t = 0,4509 h + 0,0107
0.48
y
0.47
1
1.05
t0 = - 10.7 ms
Il contatore parte in anticipo:
 B  x  A l’elettromagnete sgancia la sferetta
in ritardo, rispetto all’interruttore
1.1
1.15
1.2
1.25 elettrico, che commuta
“simultaneamente” l’impulsatore
h [m1/2]
sul contatore.
Adesso la misura “corretta” di g
• Dalla relazione
1
2
h  g (t  t0 )
2
– Ovviamente ho un’incertezza anche su t0
t0  10.7  0.7 ms
9.8
9.7
9.6
9.5
9.4
9.3
9.2
Il valore atteso
frutto di stime teoriche sul comportamento
medio di g sulla terra nel 1976.
g=9.807 ms-2 risulta appartenere alla
popolazione descritta dal mio campione di
misura meno precisa
misure
misura piu' precisa
valore atteso
Seconda parte
• Abbiamo bisogno di apparati complessi,
per formare ragazzi e giovani
all’approccio scientifico e far apprezzare
la capacità che abbiamo, che avrebbero,
nel predire un comportamento di un
fenomeno naturale?
Dalla mia esperienza, ritengo sia più immediato
e controllabile l’applicazione del metodo a
fenomeni a portato di mano,
Intendo fenomeni “palpabili” dagli studenti.
Ci sono esperienze che possiamo condurre
con facilità in classe?
• Il pendolo è un sistema che utilizzo per introdurre la teoria degli
errori.
• Posso prevedere qual è il periodo di oscillazione del pendolo?
l
T  2p
g
• Da sperimentale prendo la legge e la verifico, userò il sistema, per
presentare come possa essere l’approccio sperimentale.
• PREVISIONI: su un cordino ed un piombo pescato a 15 m di
profondità ad Otranto, di fronte alla ex cava di Bauxite.
Per l ~ 1.15 cm si ha T = 2.2 s.
Misure ripetute (1 osc. 10 v.) da 10 studenti
jstudente
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
i dati
Soufiane
Lorenzo
Marco
Nicola
Marina
Andrea
Leonardo
Simone
Edoardo
Francesco
Michele
2,15
2,18
2,18
2,16
2,18
2,13
2,18
2,19
2,16
2,01
2,16
2,19
2,28
2,29
2,22
2,20
2,11
2,21
2,17
2,19
2,22
2,17
2,19
2,29
2,20
2,17
2,17
2,26
2,27
2,16
2,27
2,23
2,09
2,23
2,22
2,13
2,23
2,29
2,20
2,24
2,18
2,12
2,22
2,19
2,17
2,21
2,09
2,13
2,13
2,17
2,24
2,21
2,12
2,20
2,22
2,17
2,17
2,21
2,25
2,26
2,20
2,19
2,29
2,28
2,21
2,22
2,26
2,15
2,23
2,23
2,09
2,21
2,18
2,19
2,26
2,12
2,20
2,20
2,17
2,23
2,20
2,22
2,23
2,19
2,26
2,22
2,27
2,29
2,27
2,20
2,23
2,18
2,04
2,24
2,34
2,17
2,19
2,15
2,17
2,09
2,49
2 2,03
3 2,15
4 2,15
5 2,17
6 2,08
7 2,06
8 2,29
9 2,20
10 2,15
1
1.89
1.91
1.93
1.95
1.97
1.99
2.01
2.03
2.05
2.07
2.09
2.11
2.13
2.15
2.17
2.19
2.21
2.23
2.25
2.27
2.29
2.31
2.33
2.35
2.37
2.39
2.41
2.43
2.45
2.47
2.49
Distribuzione dei dati organizzati su
larghezza ris (= valore letto).
Tutti I 110 dati
14
12
10
8
6
4
2
0
Media, dev. Stand. e dev. Stand. media
imisura
jstudente
1
2
Nome
Soufiane
1
2,49
2,15
2,16
2,22
2,27
2,18
2,24
2,20
2,09
2,20
2,23
2
2,03
2,18
2,19
2,17
2,23
2,12
2,21
2,19
2,21
2,22
2,18
3
2,15
2,18
2,28
2,19
2,09
2,22
2,12
2,29
2,18
2,23
2,04
4
2,15
2,16
2,29
2,29
2,23
2,19
2,20
2,28
2,19
2,19
2,24
5
2,17
2,18
2,22
2,20
2,22
2,17
2,22
2,21
2,26
2,26
2,34
6
2,08
2,13
2,20
2,17
2,13
2,21
2,17
2,22
2,12
2,22
2,17
7
2,06
2,18
2,11
2,17
2,23
2,09
2,17
2,26
2,20
2,27
2,19
8
2,29
2,19
2,21
2,26
2,29
2,13
2,21
2,15
2,20
2,29
2,15
9
2,20
2,16
2,17
2,27
2,20
2,13
2,25
2,23
2,17
2,27
2,17
10
2,15
2,01
2,19
2,16
2,24
2,17
2,26
2,23
2,23
2,20
2,09
Lorenzo
3
Marco
4
Nicola
5
Marina
6
Andrea
7
Leonardo
8
Simone
9
Edoardo
10
Francesco
11
Michele
`xj 2,18 2,15 2,20 2,21 2,21 2,16 2,21 2,23 2,19 2,24 2,18
sj 0,13 0,05 0,05 0,05 0,06 0,04 0,04 0,04 0,05 0,04 0,08
Tutti I 110 dati
14
X ms  x
12
10
s ms  s x
8
6
4
2
0
1.89 1.91 1.93 1.95 1.97 1.99 2.01 2.03 2.05 2.07 2.09 2.11 2.13 2.15 2.17 2.19 2.21 2.23 2.25 2.27 2.29 2.31 2.33 2.35 2.37 2.39 2.41 2.43 2.45 2.47 2.49
Distribuzione dei valori medi di ogni studente
3.50
3.00
2.50
2.00
X ms  x
s ms  s x  s x
1.50
1.00
0.50
10
0.00
1.89 1.91 1.93 1.95 1.97 1.99 2.01 2.03 2.05 2.07 2.09 2.11 2.13 2.15 2.17 2.19 2.21 2.23 2.25 2.27 2.29 2.31 2.33 2.35 2.37 2.39 2.41 2.43 2.45 2.47 2.49
14
X ms  x
12
10
8
s ms  s x
6
4
2
0
1.89 1.91 1.93 1.95 1.97 1.99 2.01 2.03 2.05 2.07 2.09 2.11 2.13 2.15 2.17 2.19 2.21 2.23 2.25 2.27 2.29 2.31 2.33 2.35 2.37 2.39 2.41 2.43 2.45 2.47 2.49
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
X ms  x
s ms  s x  s x
10
1.00
0.50
0.00
1.89 1.91 1.93 1.95 1.97 1.99 2.01 2.03 2.05 2.07 2.09 2.11 2.13 2.15 2.17 2.19 2.21 2.23 2.25 2.27 2.29 2.31 2.33 2.35 2.37 2.39 2.41 2.43 2.45 2.47 2.49
-0.50
Verifica di una legge fisica
l
T  2p
g
l’
Al variare di l misuro T,
ma qual è il baricentro?
l 'l?
T  2p
g
y= T2 [s2]
Verifichiamo se la legge va bene per i
dati e misuriamo anche g
l 'l?
T  2p
g
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
4p
4p
2
T 
l '
l?
g
g
2
6.0
2
3.0
4p
B
g
2.5
2.0
1.5
1.0
300
y  Bx  A
2
500
700
900
1100
1300
x= l [mm]
l [mm]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
media
dev stand
263
431
612
781
956
1134
3,35
4,19 4,73 5,47 6,32 7,06
3,44
3,99 5,09 5,79 6,34 6,99
3,45
4,29 5,12 5,78 6,68 6,53
3,58
4,12 4,87 5,56 6,24 6,78
3,43
4,10 4,93 5,47 6,05 6,85
3,45 4,14 4,95 5,61 6,33 6,84
0,083 0,111 0,161 0,160 0,229 0,207
Per avere meno errori misuro 3 oscillazioni
• t=3T
N misure l [mm]
263
431
612
781
956
1134
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
t [s]
media
dev st
3,35
3,44
3,45
3,58
3,43
3,45
0,08
4,19
3,99
4,29
4,12
4,10
4,14
0,11
4,73
5,09
5,12
4,87
4,93
4,95
0,16
5,47
5,79
5,78
5,56
5,47
5,61
0,16
6,32
6,34
6,68
6,24
6,05
6,33
0,23
7,06
6,99
6,53
6,78
6,85
6,84
0,21
1
2
3
4
5
• T=1/3 t, e quindi y= T2 ed x = l:
`T2 [s2]
sy [s2]
1,323
0,063
1,903
0,102
2,720
0,177
3,502
0,200
4,446
0,321
5,201
0,314
y= T2 [s2]
6.0
5.5
x
l [mm]
263
431
612
781
956
1134
y
y
`T2 [s2] ey [s2]
1,323
1,903
2,720
3,502
4,446
5,201
sy [s2]
y [s2]
0,004
0,063
0,064
0,102
0,177
0,200
0,321
0,314
0,016
0,013
0,328
0,065
0,170
0,104
0,177
0,384
0,328
0,357
y/y
5.0
5%
5%
7%
11%
7%
7%
4.5
4.0
3.5
3.0
Con excel, o anche calcolatori, si potrebbero
ricavare i coefficienti della retta che meglio
approssima i dati, ma le incertezze?
C’è un modo per far apprezzare la verifica
delle leggi fisiche anche a studenti delle
scuole inferiori: certo basta il teorema di
pitagora, applicato alla pendenza della retta.
2.5
2.0
1.5
1.0
200
400
600
800
1000
12
x= l [mm]
y
y
[mm]
263
431
612
781
956
1134
y/y
MAX
pend
`T2 [s2] ey [s2] sy [s2] y [s2]
1,323 0,004 0,063 0,064 5% 1,26
1,903
2,720
3,502
4,446
5,201
0,102
0,177
0,200
0,321
0,314
0,016
0,013
0,328
0,065
0,170
0,104 5%
0,177 7%
0,384 11%
0,328 7%
0,357 7% 5,56
min
pend
1,39
6.0
y= T2 [s2]
x
5.5
5.0
4.5
4.0
4,84
Per studenti che non abbiamo conoscenze
matematiche si può fare graficamente.
Per studenti che conoscono la relazione tra
tangente di un angolo e la pendenza, ecc.
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
Bmax
Bmin
0,00494 0,00397
1.0
200
Bms
DB/2
B=
0,004455 s2/mm
0,000485 s2/mm
4,46
±
4,46
0,485
0,49
s2/m
s2/m
s2/m
400
600
800
1000
12
x= l [mm]
Bms come valore centrale
incertezza come semidispersione
Misura di g
4p
B
g
g
g
g atteso
8,85
0,96
2
10
9.5
m/s2
m/s2
9
8.5
9,806
m/s2
8
7.5
7
Misura di g, in classe : 10/2012
y= T2 [s2]
6.00
Pendolo messo in oscillazione,
dal docente:
5.00
4.00
piccole Oscillazioni :
Legge appropriata
3.00
Pendolo messo in oscillazione,
da uno studente
2.00
1.00
Oscillazioni ampie :
Legge inappropriata
0.00
0
200
400
600
800
1000
1200
x= l [mm]
Conclusioni
• Si possono presentare esperimenti di fisica con poco, e mostrare
la “interdiscipinarità” tra matematica e fisica.
• Gli esperimenti sono adattabili alla risposta degli studenti
• Non bisogna, secondo me, orientare ideologicamente lo studente.
• Non orientiamo i ragazzi ideologicamente:
pessimismo e ottimismo.
• La riuscita di un esperimento è farlo e capirlo,
pensare al modello da adattare ai dati ottenuti,
migliorare l’esperimento e rifarlo,
• Rimodellare, rimigliorare, rifare ancora …