Meccanismi
one-parameter
Riepilogo




Archi di un grafo controllati da agenti egoistici
Solo l’agente conosce il peso associato al proprio
arco
Obiettivo: calcolare una “buona” soluzione di un
certo problema di ottimizzazione rispetto a pesi
reali
Strumento: progettazione di un meccanismo
truthful (pagamento opportuno degli agenti per
convincerli a dire la verità!)
Tecniche note
Meccanismi VCG (pivotal)
Validi per problemi utilitari (es., MST e SP)
Un problema è utilitario quando:
f(t)= i vi(ti,o)
g(r)  arg min
oF
{i vi(ri,o)}
pi(x=g(r)) = j i vj(rj,g(r-i)) - j i vj(rj,g(r))
SPT non cooperativo

Problema: broadcasting



una sorgente s vuole spedire un
messaggio ai nodi V\{s}
Informazione posseduta dagli agenti:
tempo di attraversamento dei link
Obiettivo: minimizzare il tempo di
consegna di ogni messaggio
Formulazione


F: insieme alberi ricoprenti V (radicati in s)
Per ogni T  F

f(t)=
 dT(s,v)
vV
=
 te ||e||
eE(T)
||e|| è la molteplicità dell’arco e, intesa come
numero di cammini ai quali appartiene
Protocollo multicast: ve(te,T)= te

 f(t)   ve(te,T) problema non utilitario!
eE(T)
Come tratto i problemi
non utilitari?
…per problemi one-parameter uso i meccanismi
one-parameter (OP)
Un problema è one-parameter se
1.
2.
L’informazione posseduta da ogni
agente ai è un singolo parametro
ti
La valutazione di ai ha la forma
vi(ti,o)= ti wi(o),
wi(o): carico di lavoro per ai in o
SPT non cooperativo
(ogni agente controlla un arco)


F: insieme alberi ricoprenti V (radicati in s)
Per ogni T  F

f(t)=  dT(s,v) =  te ||e||
eE(T)
vV


ve(te,T)=
te
se e  E(T)
0
altrimenti
ve(te,T)= te we(T)
we(T)=
Multicast: caso
non utilitario
1
se e  E(T)
0
altrimenti
VCG vs OP



Meccanismi VCG: valutazioni (costi) e
tipi arbitrari ma problemi utilitari
Meccanismi OP: funzione di scelta
sociale arbitraria ma tipi a singoloparametro e valutazioni vincolate
Se un problema è utilitario e oneparameter  meccanismo (esatto)
VCG e OP coincidono
Una proprietà interessante
Definizione
Un algoritmo g() per un problema OP di
minimizzazione è monotono se
 agente ai, wi(g(r-i,ri)) è non crescente
rispetto a ri, per tutti gli r-i=(r1,…,ri1,ri+1,…,rN)
Notazione
Scriveremo wi(r) al posto di wi(g(r))
Teorema 1
Condizione necessaria affinché un meccanismo M=<g(r),p(r)>
per un problema OP sia veritiero è che g(r) sia monotono.
Dim (per assurdo)
Supponiamo g() non monotono, e…
…facciamo vedere che nessuno schema di
pagamento può rendere M veritiero
Se g(٠) è non monotono esiste un agente ai e un vettore r-i
tale che wi(r-i,ri) è non “non crescente”…
Dim (continua)
1.
2.
3.
4.
Se
Se
Se
Se
ti=x e ri=ti  vi(ti,o)=x wi(r-i,x)
ti=y e ri=ti  vi(ti,o)=y wi(r-i,y)
ti=x e ri=y  ai aumenta il suo costo di A
ti=y e ri=x  ai ha un risparmio di A+k
wi(r-i,ri)
wi(r-i,y)
wi(r-i,x)
A
costo per
ai caso 3 costo per
ai caso 4
x
k
y
ri
Dim (continua)
Sia ∆p=pi(r-i,y) - pi(r-i,x)

Se M è truthful deve essere:

∆p  A (altrimente quando ti=x, ai dichiara y, in quanto in tal caso
il suo costo aumenta di A, e quindi se ∆p>A, la sua utilità
aumenta!)

∆p ≥ A+k (altrimenti quando ti=y, ai dichiara x, in quanto in tal caso
il suo costo diminuisce di A+k, e quindi se ∆p<A+k, ciò significa che
il decremento nel pagamento è minore del decremento del costo,
ovvero la sua utilità aumenta!)
… ma k è strettamente positivo!

Assurdo: g(٠) deve essere monotono!
wi(r-i,ri)
wi(r-i,y)
wi(r-i,x)
A
k
x
y
ri
Meccanismi one-parameter (OP)
• g(r): qualsiasi algoritmo monotono che
risolva in modo ottimo il problema OP
soggiacente
ri
• pi(g(r)) = hi(r-i) + ri wi(r) - ∫ wi(r-i,z)
0
dz
hi(r-i): funzione arbitraria indipendente da
ri
Scriveremo pi(r) al posto di pi(g(r))
Teorema 2:
Un meccanismo OP (per un
problema OP) è veritiero.
Dim: Facciamo vedere che l’utilità di un
agente ai può solo decrescere se ai mente
Siano r-i le dichiarazioni degli altri agenti
Il pagamento fornito ad ai (quando dichiara ri) è:
ri
pi(r) = hi(r-i) + ri wi(r) - ∫ wi(r-i,z) dz
0
Ininfluente perché
indipendente da ri
pongo
hi(r-i)=0
Dim (continua)
ui(ti,g(r-i,ti))= pi(g(r-i,ti))-vi(ti, g(r-i,ti))=
ti
ti
ti wi(g(r-i,ti))-∫ wi(r-i,z) dz- ti wi(g(r-i,ti)) =-∫ wi(r-i,z)
0
0
dz
 Se ai dichiara x>ti:



La valutazione diventa: C = ti wi(r-i,x)
x
∫
il pagamento diventa: P= x wi(r-i,x) - 0
 ai sta perdendo G
wi(r-i,ti)
wi(r-i,x)
P
G
C
ti
x
wi(r-i,z) dz
Dim (continua)


ti
ui(ti,(r-i,ti))= - ∫ wi(r-i,z) dz
0
Se ai dichiara x<ti


La valutazione diventa C
il pagamento diventa P
 ai sta perdendo G
ai non ha convenienza a mentire!
P
G
wi(r-i,x)
wi(r-i,ti)
C
x
ti
Sulla funzione hi(r-i)
Un meccanismo garantisce la volontaria partecipazione (VP)
se l’utilità di un qualsiasi agente (che dichiara il vero) ha
sempre un utile non negativo
Ma il pagamento di ai quando dichiara ri è:
ri
pi(r) = hi(r-i) + ri wi(r) - ∫ wi(r-i,z) dz
Se scegliamo la costante hi(r-i)=
0
∞
∫ wi(r-i,z) dz,
0
∞
wi(r-i,z) dz
il pagamento diventa: pi(r) = ri wi(r) + ∫
r
i
 L’utilità di un agente che dichiara il vero diventa:
ui(ti,g(r)) =
∫t
∞
i
wi(r-i,z) dz ≥ 0.
Meccanismi
one-parameter: il problema
dell’albero dei cammini minimi a
sorgente singola
SPT non cooperativo
(ogni agente controlla un arco)


Input: un grafo G=(V,E) biconnesso
sugli archi, in cui ogni arco corrisponde
in modo biunivoco ad un insieme di
agenti egoisti, ed un nodo sorgente
sV; il tipo di un agente è il costo di
utilizzo dell’arco (quindi tipo>0);
SCF: un albero dei cammini minimi
radicato in s in G=(V,E,t).
SPT non utilitario

Per ogni albero ricoprente T di G radicato in s, la funzione
obiettivo minimizzata dalla SCF è:
f(t)= arg min
TF

{  dT(s,v) =  te ||e||}
vV
eE(T)
Con protocollo multicast : ve(te,T)=
te
se e  E(T)
0
altrimenti
e quindi f(t)  arg min  ve(te,T) (problema non utilitario)
TF

eE
Ma il problema è one-parameter, in quanto
se e  E(T)
1
ve(te,T)= te we(T), ove we(T)=
0
altrimenti
Meccanismo one-parameter
per l’SPT non utilitario

MSPT= <g(r), p(x=g(r))>


g(r): dato il grafo e le dichiarazioni, calcola un
SPT SG(s) di G=(V,E,r) utilizzando l’algoritmo
di Dijkstra.
p(x): per ogni arco e  E
pe=re we(r) +
∞
∫r
e
we(r-e,z) dz
così da garantire la partecipazione volontaria.
Truthfulness
Osservazione: MSPT è truthful. La truthfulness segue dal
fatto che MSPT è un meccanismo OP. Infatti, l’algoritmo di
Dijkstra per il calcolo dell’SPT è monotono, in quanto il carico
di lavoro per un agente ae ha sempre la forma:
L’algoritmo del
meccanismo
è monotono!
1
Өe : valore soglia
Өe è il valore tale che, fissato r-e:
se ae dichiara al più Өe, allora e è selezionato
se ae dichiara più di Өe, allora e non è selezionato
Sui pagamenti
1
Өe : valore soglia
re

re
pe=0, se e non è un arco selezionato
∞
pe = re we(r) + ∫ we(r-e,z) dz = 0+0 = 0
re

pe= Өe, se e è nella soluzione
∞
pe = re we(r) + ∫ we(r-e,z) dz = re + Өe - re = Өe
re
Sulle soglie
Sia e=(u,v) un arco in SG(s) (u più vicino a s che v)
 e resta in SG(s) finché uso e per raggiungere v
 Allora, Өe=dG-e(s,v)-dG(s,u)
Esempio
2
2
re=1
re= 2+ε
re= 3+ε
s
s
s
1
1
1
u
e 1
v
3
2
6
2
u
e 2+ε
v
3
2
6
2
u
e 3+ε
v
3
Өe = 3
6
Una soluzione banale
e=(u,v) SG(s) applichiamo l’algoritmo di
Dijkstra al grafo G-e e troviamo dG-e(s,v)
Complessità: k=n-1 archi per O(m + n logn):
O(mn + n2 logn) time
La soluzione che proponiamo costerà:
O(m + n logn) time
Definizione di Өe
s
u
x
e
f
v
y
dG-e(s,v)=
min
{dG(s,x)+w(f)+dG(y,v)}
f=(x,y)C(e)
ove w(f) denota il peso dichiarato per l’arco f
Definizione di Өe

Calcolare dG-e(r,v) (e quindi Өe) vuol dire individuare l’arco
f* tale che:
f*= arg min
f=(x,y)C(e)
= arg min
f=(x,y)C(e)
Perché dG(s,v) non
dipende da f
{dG(s,x)+w(f)+dG (y,v)}
{dG(s,x)+w(f)+dG (y,v)+dG(s,v)}
= arg min {dG(s,x)+w(f)+dG(s,y)}
f=(x,y)C(e)
lo chiamo k(f)
Osservazione: k(f) è un valore univocamente associato
all’arco f: vale per tutti gli archi di SG(s) che formano un
ciclo con f.
Calcolo delle soglie




Costruiamo il transmuter (rispetto a SG(s) )
Eseguiamo l’algoritmo (analisi di sensitività)
per il calcolo dei valori up(e) etichettando i
nodi pozzo t(f) con i valori k(f) (invece che
w(f))
Ogni arco e  SG(s) riceverà il suo valore
miglior valore k(f*)
Өe= (k(f*)-dG(s,v)) - dG(s,u)
dG-e(s,v)

Complessità temporale: O(m (m,n))
Complessità del meccanismo
Teorema
MSPT è calcolabile in tempo O(m + n log n).
Dim.:
Complessità di g(٠): O(m + n log n)
(Dijkstra con Heap di Fibonacci)
Calcolare tutti i pagamenti costa:
O(m (m,n))=O(m + n log n)
perché (m,n) costante
quando m=(n log log n)