4. Codifica binaria dell’informazione
Ing. Simona Colucci
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Sistemi Informativi
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Codifica binaria dell’informazione
• Tutte le informazioni vanno tradotte in bit (organizzati
poi in byte o parole):
–
–
–
–
–
–
Numeri naturali
Numeri interi(con segno)
Numeri frazionari
Numeri reali
Caratteri
Immagini
• Nell’interazione con il calcolatore la codifica in binario e
la decodifica in formato leggibile sono trasparenti
all’utente
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Numeri naturali:
Sistemi di numerazione
• Un sistema di numerazione è composto da:
– Insieme finito di simboli o cifre
– Regole che permettono di rappresentare i numeri naturali
• Classificazione
– Sistemi additivi (Es. sistema romano parzialmente):
• Ogni cifra assume un valore prefissato
• Il numero si ottiene addizionando le cifre che lo compongono
• Impossibilità di rappresentare numeri molto grandi e difficoltà di esecuzione
delle operazioni matematiche
– Sistemi posizionali (Es. sistema decimale):
• Le cifre acquistano un peso diverso a seconda della posizione che occupano
• Un numero generico di m cifre è rappresentato in base p dalla sequenza:
an, an-1, an-2,..., a0
an : cifra più significativa
a0 : cifra meno significativa
n = m-1
ai  {0, 1, ..., p-1}
• Compattezza di rappresentazione anche per numeri molto grandi e facilità di
esecuzione delle operazioni
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Sistemi posizionali:
Rappresentazione in base p
Numero naturale N, composto da m cifre, in base p:
• Rappresentazione
n
N p  an  p n  an 1  p n 1  ...  a1  p1  a0  p 0   ai  p i
i 0
•
Spazio di Rappresentazione:
numeri nell’intervallo discreto [0 , pm - 1]
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Il sistema decimale:
rappresentazione in base 10
• Sistema posizionale
– Esempio: 123 = 100 +20 +3
• Base: p = 10
• Insieme di simboli: ai  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
• Numero naturale N di m cifre:
– Rappresentazione:
• N10 = an·10n+an- 1·10n-1+…+a0·100
• Esempio, con m=3:
58710 = 5·102+8·101+7·100
n=m-1
– Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [0, 10m-1]
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Sistema binario:
Rappresentazione in base due
• Sistema posizionale
• Base binaria: p=2
• Insieme di simboli: ai  {0, 1}
– Simboli chiamati bit (binary digit)
– Otto bit chiamati byte
• Numero naturale N di m cifre:
– Rappresentazione:
• N2 = an·2n+ an-1·2n-1+…+a0·20
n=m-1
• Esempio, con m=5:
110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710
– Spazio di rappresentazione:
• intervallo discreto [0 , 2m -1]
• Esempio con m=8: [000000002 , 111111112],
ovvero: [010 , 25510]
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•
•
•
•
Il sistema binario: unità di misura
kilobyte(Kb) = 210 byte = 1024 byte
megabyte(Mb) = 220 byte = 1048576 byte
gigabyte(Gb) = 230 byte = 1073741824 byte
terabyte(Tb) = 240 byte = 1099511627776 byte
Le approssimazioni a potenze di 10:
• sono accettabili solo per i kilobyte: 1024 ~1000
• sono inaccettabili per 104 ,105 ,106
• le lettere maiuscole nel simbolo indicano che non si
tratta delle potenze di 10 del sistema internazionale
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•
Basi ottale ed esadecimale
Rappresentazione in base 8:
– Base ottale: p=8;
– Insieme di simboli ai  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
– Numero N di m cifre:
• Rappresentazione: N8 = (an·8n+an-1·8n-1+…+ a0·80)10
Es. 2348 = (2·82+3·81+4·80)10 = 15610
• Spazio di rappresentazione: [0, 8m-1]
•
n=m-1
Rappresentazione in base 16:
– Base esadecimale: p=16;
– Insieme di simboli ai  {0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F}
• Notare: “11” al posto di “B” e “15” al posto di “F”, i loro equivalenti in base
dieci
– Numero N di m cifre:
• Rappresentazione: N16 = (an·16n+an-1·16n-1+…+ a0·160)10
Esempio: B7F16 = (11·162+7·161+15·160)10 = 294310
• Spazio di rappresentazione: [0, 16m-1]
n=m-1
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Conversioni di base
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• Per convertire da base p a base 10:
N p  an  p  an 1  p
n
n 1
n
 ...  a1  p  a0  p   ai  p i
1
0
i 0
Esempio: 110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710
• Per convertire da base dieci a base due:
– Metodo delle divisioni successive: esempio
331:2
165:2
82:2
41:2
20:2
10:2
5:2
2:2
1:2
= 165
= 82
= 41
= 20
= 10
= 5
= 2
= 1
= 0
con resto di 1
con resto di 1
con resto di 0
con resto di 1
con resto di 0
con resto di 0
con resto di 1
con resto di 0
con resto di 1
(331)10=(101001011)2
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Conversioni di base
• Le basi ottale ed esadecimale sono di interesse
informatico per la facilità di conversione, con il
metodo”per parti”:
– Da base 2 a base 8: si converte a gruppi di tre bit, traducendo
ciascuna tripla nella corrispondente cifra ottale
(001010110111)2=(1267)8
– Da base 2 a base 16: si converte a gruppi di quattro bit,
traducendo ciascuna quadrupla nella corrispondente cifra
esadecimale
(001010110111)2=(2B7)16
• La base ottale ed esadecimale consentono una grande
sintesi di rappresentazione
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Somma
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•
Le cifre sono 0 e 1 ed il riporto può essere solo 1
Riporto
precedente
Somma
Risultato
Riporto
0
0+0
0
0
0
0+1
1+0
1
0
0
1+1
0
1
1
0+0
1
0
1
0+1
1+0
0
1
1
1+1
1
1
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•
Esempio di somma e carry
Esempio:
1  riporto
0101 +
(510)
1001 =
(910)
-----1110
(1410)
111
 riporti
1111 +
1010 =
------carry  11001
(1510)
(1010)
(2510 se uso 5 bit;
910 se considero 4 bit: errato)
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Numeri interi
• Includono anche i numeri negativi
• Rappresentati tramite il segno ed il valore del numero
• Codifica binaria secondo uno delle due modalità
seguenti:
– Rappresentazione in modulo e segno
– Rappresentazione in complemento a due
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Modulo e segno
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•
In un numero di m bit il primo bit è utilizzato per memorizzare il segno:
– “1” numero negativo
– “0” numero positivo
•
•
Spazio di rappresentazione: tra -(2m-1-1) e (2m-1-1)
Fenomeno dello zero positivo e negativo
Esempio m=3
Num. intero, base 10
Num. intero, base due, modulo e segno
–3
111
–2
110
–1
101
–0
100
+0
000
+1
001
+2
010
+3
011
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Complemento a due (CPL2)
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• Usando m bit: (-N)CPL2 = (2m - N10)2
• Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [-2m-1 , 2m-1 - 1]
– Asimmetria tra negativi e positivi
– Esempio (m=8): [-128, +127], perché -27 = -128 e 27 - 1 = +127
• Tutti i numeri negativi cominciano con il bit più significativo posto a
“1”, mentre tutti i positivi e lo zero iniziano con uno “0”
Esempio m=3
(-N)CPL2 =(23-N10)2
Num. intero base 10
Trasformazione
Num. intero, base 2, CPL2,
-4
8-4=4
410 = 100
-3
8-3=5
510 = 101
-2
8-2=6
610 = 110
-1
8-1=7
710 = 111
0
nessuna
010 = 000
1
nessuna
110 = 001
2
nessuna
210 = 010
3
nessuna
310 = 011
m=3
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Complemento a due (CPL2)
• Metodo alternativo per ottenere (-N)CPL2
– Complementare i bit della rappresentazione binaria del modulo
N(cambiare gli 1 in 0 e viceversa)
– Sommare 1 al risultato ottenuto
Esempio:
-N= -3
N=(3)10=(011)2
complemento ad 1
complemento a 2
100
101
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•
•
•
Somma e sottrazione in CPL2
Somma: come per i naturali
Sottrazione: N1 - N2 = N1 + (-N2)CPL2
Carry:
– Il carry finale non viene considerato!
•
Overflow:
– Se, sommando due interi di m bit dotati di segno concorde, ottengo un
risultato di segno discorde (sempre considerando m bit), allora si ha un
overflow (il risultato non è codificabile su m bit) e l’operazione è errata
– L’overflow non può verificarsi se gli operandi sono di segno discorde
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Somma e sottrazione in CPL2
Esempi: m=7 spazio di rappresentazione [-64, +63]
+5
00101
+5
00101
-5
11011
-63
1000001
+8
01000
-8
11000
+8
01000
-8
1111000
+13
01101
-3
11101
+3
(1)00011
RIPORTO
-71
[1](1)0111001
OVERFLOW
RIPORTO
•Perché ignorare il riporto finale in CPL2 ad m bit?
Esempio: base=10
10180-9878=302=
= 10180 -9878 +10000-10000=
= 10180+(10000-9878)-10000=
(10000-9878)- è il complemento a 10 del sottraendo: (9878)CPL10
= 10180+122-10000=
si addiziona al minuendo il complemento a 10 del sottraendo
= 10302-10000=
questa sottrazione equivale a trascurare la cifra piu significativa
= 302
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Numeri frazionari
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Rappresentazione:
• Relativa alla parte frazionaria
• Ottenuta tramite la formula
1
2
N p  a1  p  a 2  p  ...  a n  p
n

1
a  p
i  n
i
i
Spazio di rappresentazione:
•
Per un numero di n cifre in base p, posso rappresentare numeri
nell’intervallo continuo: [0 , 1-p-n]
Errore di approssimazione:
•
minore di p-n
Esempi con n=3:
• base 10: Rappresentazione: (0,587)10= (5·10-1+8·10-2+7·10-3)
Spazio di rapp.: [0, 1-10-3] = [0, 0.999]
Errore : minore di 0.001
• base 2:
Rappresentazione: (0,101)2 = (1·2-1+0·2-2+1·2-3)10 = (0,625)10
Spazio di rapp.:
[0, 1-2-3]
Errore : minore di 2-3
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Conversioni di base parte frazionaria
• Da base 2 a base 10:
– Secondo la formula vista prima
• Da base 10 a base 2:
– Si moltiplica progressivamente per 2 la parte frazionaria
– Si prendono le parti intere di ciascun prodotto dalla più alla meno
significativa, con numero di bit proporzionale all’accuratezza
– Esempio: 0.58710
0.587*2= 1.174
0.174*2= 0.348
0.348*2= 0.696
0.696*2= 1.392
0.392*2= 0.784
0.784*2= 1.568
parte
parte
parte
parte
parte
parte
intera 1
intera 0
intera 0
intera 1
intera 0
intera 1
parte
parte
parte
parte
parte
parte
frazionaria
frazionaria
frazionaria
frazionaria
frazionaria
frazionaria
0.174
0.348
0.696
0.392
0.784
0.568
…..
Risultato : 0.1001 con quattro cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-4
0.100101 con sei cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-6
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Numeri reali
• Approssimati tramite numeri razionali
• Rappresentazione relativa sia alla parte intera che a
quella frazionaria
• Modalità di rappresentazione alternative:
– virgola fissa
– virgola mobile
• numeri molto grandi con poche cifre
• numeri molto piccoli con precisione
• Operazioni di somma e differenza tramite allineamento
dei numeri
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Virgola fissa
• Uso di m bit per parte intera e n bit per parte frazionaria con n ed m
fissi
– Esempio (m=8, n=6, tot. 14 bit): 123,58710
12310 = 011110112
0,58710  100101 2
123,58710  01111011, 100101 2
• m e n scelti in base alla precisione che si vuole tenere
• Precisione costante lungo l’asse reale R:
R
0
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•
Virgola mobile (floating point)
Il numero è espresso come: r = m·bn
–
–
–
–
–
m e n sono in base p
m: mantissa (numero frazionario con segno)
b: base della notazione esponenziale (numero naturale)
n: caratteristica (numero intero)
Esempio (p=10, b=10):
-331,6875 = -0,3316875103
m = -0,3316875
•
Uso l1 bit e l2 bit per codificare m e n (incluso il segno):
•
Precisione variabile lungo l’asse reale R:
–
–
n=3
valori rappresentabili molto vicini nell’intorno di 0
valori rappresentabili molto lontani nell’intorno del numero massimo
esprimibile, positivo o negativo
R
0
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•
•
Virgola mobile (floating point)
Quando la mantissa comincia con una cifra diversa da zero, il numero
in virgola mobile si dice normalizzato
Es. –0,3316875103 è normalizzato perché la mantissa è “3316875”
La normalizzazione permette di avere, a parità di cifre usate per la
mantissa, una maggiore precisione.
Es. Uso l1=5 cifre per la mantissa:
+45,6768  +0,45676102  +0,00456104
Ho perso
0,0008
Ho perso
0,0768
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•
•
•
Caratteri
Codifica numerica tramite 1 byte
ASCII (American Standard Code for Information Interchange) utilizza 7
bit (estesa talvolta a 8 bit per rappresentare altri 128 caratteri)
L’ASCII codifica:
– I caratteri alfanumerici (lettere maiuscole e minuscole e numeri), compreso
lo spazio
– I simboli (punteggiatura, @, #, …)
– Alcuni caratteri di controllo che non rappresentano simboli visualizzabili
(TAB, LINEFEED, RETURN, BELL, ecc)
– Non codifica per esempio le lettere accentate o greche
•
L’ ottavo bit o un nono possono essere usati come bit di parità: rende
pari il numero di 1 in modo che se esso risulta dispari ci si accorge di
errori di immagazzinamento o trasmissione dati.
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Tabella ASCII (parziale)
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DEC
48
CAR
0
DEC
65
CAR
A
DEC
75
CAR
K
DEC
97
CAR
a
DEC
107
CAR
k
49
1
66
B
76
L
98
b
108
l
50
2
67
C
77
M
99
c
109
m
51
3
68
D
78
N
100
d
110
n
52
4
69
E
79
O
101
e
111
o
53
5
70
F
80
P
102
f
112
p
54
6
71
G
81
Q
103
g
113
q
55
7
72
H
82
R
104
h
114
r
56
8
73
I
83
S
105
i
115
s
57
9
74
J
84
T
106
j
116
t
85
U
117
u
86
V
118
v
87
W
119
w
88
X
120
x
89
Y
121
y
90
Z
122
z
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Codifica delle immagini
L’immagine digitale
•
•
•
•
Le immagini sono codificate come sequenze di bit
Digitalizzazione: passaggio dall’immagine alla sequenza binaria
L’immagine è suddivisa in una griglia di punti (detti pixel)
Ogni pixel è descritto da un numero (su 8, 16, 24, o 32 bit) che ne
rappresenta il colore(un particolare tono di grigi nelle immagini bianco
e nero)
– Es. con 8 bit  28 = 256 combinazioni di colore
• Per decodificare la sequenza binaria che codifica l’immagine bisogna
conoscere:
– le dimensioni dell’immagine : larghezza e altezza in pollici del rettangolo in
cui è contenuta
– la risoluzione dell’immagine :numero di pixel per pollice (dpi - dot per inch)
– il numero di colori o toni di grigio disponibili per ogni pixel
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L’immagine digitale
• Standard di codifica:
– TIFF (Tagged Image File Format)
– PNG (Portable Network Graphics)
– JPEG
• Tecniche di compressione
– utilità:
• ridurre lo spazio necessario a rappresentare i punti dell’immagine
• ridurre la quantità di memoria necessaria a memorizzare l’immagine
• ridurre il tempo necessario a trasmettere l’immagine tra i dispositivi
– classificazione:
• compressione lossless : comprime l’immagine senza deteriorarla (TIFF)
– adatte solo per immagini con ampie aree monocromatiche. in cui sequenze di
punti con la stessa tonalità vengono codificate in forma compatta
• compressione lossy: comprimono (molto di più), ma deteriorano l’immagine
(JPEG , PNG)
– adatte ad immagini con molti colori, memorizzano le differenze cromatiche tra
gruppi di pixel
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Operazioni con le informazioni
• Aritmetiche
– Es. Somma e differenza viste prima
• Logiche
– Utilizzano l’algebra di Boole
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•
Algebra di Boole
Formalismo basato su tre operazioni logiche (dette anche operazioni
booleane):
– AND operatore binario
– OR operatore binario
– NOT operatore unario
•
•
•
•
Le operazioni booleane si applicano ad operandi che possono assumere solo
due valori: vero o falso
Ogni formula scritta in algebra di Boole può assumere solo due valori: vero
o falso
Rappresentando vero con “1” e falso con “0” un bit può rappresentare un
operando o il valore di una formula in algebra di Boole
Tavole di verità: rappresentano il valore di una espressione
logica(ottenuta a partire dai tre operatori logici) in funzione del valore
degli operandi
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Operatori booleani
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•
Tavole di verità:
A
B
A AND B
A
B
A OR B
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
A
NOT A
0
1
1
0
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Sistemi Informativi
DEE - Politecnico di Bari
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Operatori booleani: proprietà
Commutativa:
– A OR B = B OR A
– A AND B = B AND A
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Distributiva di uno verso l’altro:
– A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C)
– A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C)
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Leggi di De Morgan:
– A AND B = NOT ((NOT A) OR (NOT B))
– A OR B = NOT ((NOT A) AND (NOT B))
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Espressioni booleane
Regole di precedenza:
– NOT ha la massima precedenza
– poi segue AND
– infine OR
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Se voglio alterare queste precedenze devo usare le parentesi (a volte
usate solo per maggior chiarezza)
Per valutare un espressione booleana si usa la tabella della verità
Due espressioni booleane sono equivalenti se e solo se le tabelle della
verità sono identiche
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Dalla formula alla tabella
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Vediamo un esempio, per l’espressione:
D = A AND NOT (B OR C)
A
B
C
D = A AND NOT (B OR C)
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Dalla tabella alla formula
Se conosco la tabella della verità, posso ricostruire la formula logica.
Partiamo dalla tabella:
NOT A AND B
A AND NOT B
A AND B
A
B
C1
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C1 = (NOT A AND B) OR (A AND NOT B) OR (A AND B)
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