UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRIESTE FACOLTA’ DI INGEGNERIA Elementi didattici di matematica finanziaria Aurelio Amodeo Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Montante M C0.r Cn I C0.r C0 0 1 2 n Fig. 1 M = f ( t ) in regime di interesse semplice M C n C o C 0 rn C 0 1 rn t Sconto V Cn D C0 0 1 2 n Fig. 2 V= f ( t ) in regime di interesse semplice Cn V C0 1 rn t Sconto Regime di interesse semplice 1,2 1 r=4% r=6% 0,8 V r=8% 0,6 0,4 0,2 0 0 5 10 15 t 20 25 30 Montante M Cn I Cm .r C0.r C0 0 1 2 m n t Fig. 3 M= f(t) in regime di interesse composto C n C 0 (1 r ) n M Cn C0 q n Sconto V Cn Cn.d D Cm.d C0 0 1 2 m n Fig. 4 V= f ( t ) in regime di interesse composto V C0 Cn 1 r n Cn qn Cn q n t Sconto V Cn D Cn.d C0 0 1 n 2 Fig. 5 V= f ( t ) in regime di sconto commerciale V C0 Cn D Cn 1 dn t Montante M Cn I C0 0 1 n 2 Fig. 6 M= f(t) in regime di sconto commerciale M Cn C0 V 1 dn 1 dn t Confronto M M = C.er.n M = C / (1-d.n) M = C.( 1+r )n M = C.(1+r.n) C=1 V = C.(1+r.n)-1 V = C.( 1+r )-n V = C.e-r.n V V = C.(1-d.n) 0 1 Fig. 7 confronto fra regimi di posticipazione M = f(t) e fra regimi di anticipazione V = f(t) n t k r r’ annuale 1 0,06 0,06000 0,06000 semestrale 2 0,06 0,06090 0,05913 trimestrale 4 0,06 0,06136 0,05870 mensile 12 0,06 0,06168 0,05841 giornaliero 365 0,06 0,06183 0,05827 istantaneo + 0,06 0,06183 d0,05826 Interesse r’’ Confronto M C / (1-r.n) C.er.n C0 C.e-r.n C.(1-r.n) V 0 1 2 n Fig. 8 Confronto fra: M = C / (1-r.n) e M = C.er.n Confronto fra: V = C.(1-r.n) e V = C.e-r.n t M Confronto C0.er.n C0.qn I I (er.n ) n t C0 0 1 2 Fig. 9 M= f(t) Confronto in regime di interesse composto Confronto V Cn D ( e-d.n ) D C0 0 1 2 n Fig. 10 V= f ( t ) Confronto in regime di interesse composto t Confronto d dS,C = d / (1-d.n) d=r d i,C = ln (1+r) d=d d i,S = r / (1+r.n) 0 0,5 1 Fig. 11 Andamento della forza di interesse nei regimi considerati n t Cn C0 e rn Posticipazione di capitali Regime Interesse semplice Interesse composto Sconto commerciale Montante M=f(t) per t(0,n) C n C 0 1 rn C n C0 1 r n C0 Cn 1 dn Scindibilità Tasso istantaneo di interesse d no r 1 rn si lg e 1 r no d 1 dn Finanziario istantaneo d=r=cost Cn C0 e rn si lg e 1 r d=f(t) d t dt M (t ) C 0 e 0 si d lg e M t dt n Cn C0 e rn Anticipazione di capitali Regime Interesse semplice Interesse composto Valore scontato M=f(t) per t(0,n) Scindibilità Tasso istantaneo di sconto ρ Cn C0 1 rn no r 1 rn Cn 1 r n si lg e 1 r C0 Sconto commerciale C 0 C n 1 dn no d 1 dn Finanziario istantaneo d=r=cost C0 Cn e dn si lg e 1 d d=f(t) V (t ) C n e 0 t dt n si d lg e V t dt Confronto M M = (1+kn)r ; k = 10 I M = (1+r)n I M = (1+kn)r ; k = 1 I C=1 Fig. 12 0 1 2 n C=1 D -r V = (1+kn) ; k = 10 V = (1+r) D -n D -r V = (1+kn) ; k = 1 V 0 1 2 n t M Uso bancario dei regimi n' n'' n'+1 V n' n'' n'+1 Fig. 13 capitalizzazione M = f(t) e sconto V = f(t) in regime bancario misto t Annualità periodiche costanti illimitate C C=1/r r = 0,03 C = 33,33 C = qn-1/r.qn r = 0,03 C=1/r r = 0,05 C = 20 C = qn-1/r.qn r = 0,05 0 10 20 50 70 90 Fig. 14 Confronto fra: C = a / r e C = a.(qn-1)/(r.qn) per a = 1 100 120 n Funzioni inverse r s0 = A0/a 1,0 10,00 7,72 6,14 0,50 4,19 0,20 1,96 0,10 0,05 0,99 0 0,999 1,96 4,19 6,14 7,72 Fig. 15 r = f ( A 0 / a ) per n = 10 10,00 s0 = A0/a 0 0,05 0,20 0,10 0,50 Fig. 16 A0 / a = f ( r ) per n = 10 1,00 r Funzioni inverse y = f(r) b 8,317 8,000 a 7,913 0,03 0,035 x' x'' 0,045 Fig. 17 y = f ( r ) per n = 10 x=r Annualità variabili 0 m Fig. 18 n Annualità variabili - Esempio 32 24 478,7 16 A0 +10 8 - 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -12 annualità accumulazione -25 An 4 2 + 451,04 P / qn-1 Fig. 19 18 20 22 24 26 28 n Periodicità (Poliannualità) P n m h 0 k m P n+m 2n n+m 2n P tn h n Fig. 20 (t-1)n tn Periodicità (Poliannualità) P1 0 n1 P n Fig. 21 P 2n P tn Elementi didattici di matematica finanziaria Aurelio Amodeo