CORSO DI GRAVITAZIONE SPERIMENTALE
Prof. Fulvio Ricci
L’esperimento di Pound e Rebka:
tecnica e significati
Martina Corsi
Nel 1959-60 Robert Pound e Glen
Rebka eseguono con successo la prima
misura di alta precisione di redshift
gravitazionale. Descrizione
dell’esperimento e interpretazioni del
risultato.
Tests di redshift gravitazionale: breve storia
A. Einstein ( 1907 ): derivazione del redshift gravitazionale dal
principio di equivalenza.
• Si considerino due sperimentatori in un
sistema accelerato con accelerazione g e
distanza h l’uno dall’altro.
• Un’onda elettromagnetica viene inviata da
uno all’altro in direzione dell’accelerazione g.
• L’aumento di velocità dell’osservatore
durante il tempo h/c produce un effetto
Doppler al primo ordine che risulta in uno
shift in frequenza (g h )/c2
• Per il principio di equivalenza lo stesso
redshift deve essere osservato in presenza
di un campo gravitazionale uniforme senza
che i due osservatori siano accelerati.
 em  obs gh
z
 2
 obs
c
Tests di redshift gravitazionale: breve storia
Generalizzazione: sostituendo la differenza di potenziale gravitazionale
ΔФ tra il luogo dov’è la sorgente e dov’è l’osservatore alla quantità locale
gh


0

c2
• nel caso Sole-Terra z = 2 10–6
• nei pressi della superficie terrestre z = 1.09 10 -16 per metro
All’epoca mancava una conferma sperimentale diretta dell’esistenza del
redshift gravitazionale:
Silberstein, 1922
derivazione del redshift da conservazione energia ed
equivalenza massa-energia ( si veda in seguito )
Tests di redshift gravitazionale: breve storia
Esperimenti fino al 1960 da spettri stellari:
• 1925 W.S. Adams ( spettri dalla compagna densa di Sirio );
• 1957 E. Finlay-Freundlich e M. G. Adam ( spettri solari ).
Per entrambi il problema della stima delle incertezze da osservazioni
astronomiche.
J. Zacharias propone un esperimento a terra con l’uso di orologi
atomici: confrontare il tempo misurato da un orologio in cima ad una
montagna con uno in una valle in Svizzera, cioè in due punti diversi del
potenziale gravitazionale terrestre. Risoluzione degli orologi a
disposizione non sufficiente.
Proposte di mettere tali orologi in volo in orbite satellitari.
Premesse per un esperimento in laboratorio
Effetto Mössbauer ( 1958 ):
Una frazione f di raggi γ emessi dai nuclei di un solido non determina
rinculo nucleare individuale. L’impulso ( di rinculo ) è ridistribuito
all’intero reticolo cristallino
shift Doppler trascurabile
dove E γ è l’energia del raggio γ, M è la massa nucleare, k la costante di
Boltzmann. Il fattore (E γ 2 / 2 M c2 k θD ) è il rapporto tra l’energia di
rinculo che acquisirebbe il nucleo se fosse libero e k θD.
Per raggi γ con energia molto al di sopra di 129 Kev f diventa molto piccolo
anche allo zero assoluto.
Premesse per un esperimento in laboratorio
Tale effetto si osserva misurando la riduzione dell’attenuazione dei raggi γ
che attraversano un assorbitore quando alla sorgente viene impressa una
velocità v diversa da zero.
Esempio: Ir191
transizione a 129 Kev quindi E γ = 129 Kev
v = 1.5 cm/s
velocità richiesta per ridurre l’attenuazione
di metà del suo valore massimo
Da v è possibile ricavare la semi-vita dello stato eccitato.
Se lo scattering è ridotto a metà del suo valore massimo per il moto
relativo di sorgente ed assorbitore con velocità v allora il rapporto Q tra
frequenza ν e larghezza totale a metà altezza Δν della riga di risonanza
osservata è pari a c / 2v.

c
Q

 1.10 E ( Mev ) 1 / 2 (ns)  1012 v
 2v
Descrizione esperimento
L’effetto Mössbauer permette a Robert Pound e Glen Rebka di ideare un
esperimento in un laboratorio terrestre in cui, separando sorgente ed
assorbitore di un’altezza h, si possa ricavare lo shift gravitazionale dalla
misura del valore della velocità relativa sorgente-assorbitore VD in
corrispondenza del quale è massima l’attenuazione dei raggi γ, ed è quindi
minimo il numero di conteggi registrato.
Lo shft Doppler corrispondente a tale valore di velocità annulla quello
gravitazionale ( a meno di sorgenti di shift di altra origine ).
Sito dell’esperimento: Harvard University’s Jefferson laboratory.
Descrizione esperimento
Risonanze candidate:
57Fe
Eγ = 14.4 Kev
τ1/2 = 0.1 μs
67Zn
Eγ = 93 Kev
τ1/2 = 9.4 μs
Sia h1/2 la distanza ( differenza di altezza ) fra sorgente ed assorbitore in
corrispondenza della quale lo spostamento del minimo della riga di
risonanza ( rispetto alla posizione v = 0 ) è pari alla semilaghezza della
riga.
Ricordando che lo shift gravitazionale previsto vale   gh
2

c
allora
h1 / 2  4.18 / E ( Mev ) 1 / 2 (ns)
57Fe
67Zn
h1/2 = 2.9 Km
h1/2 = 4.7 m
Per lo 67Zn la risonanza è più stretta
( vita media più grande ) ma..
per lo 67Zn non si osserva un assorbimento risonante utilizzabile
il valore di Eγ implica f piccolo anche alle temperature di azoto ed elio
liquido.
Descrizione esperimento
Scelta ricaduta sul 57Fe: riga stretta, forma Lorentziana, larghezza
frazionale a metà altezza pari a 1.13 10-12.
Descrizione esperimento
Sorgente:
0.4 Curie di
57Co
( 270 giorni )
• 57Co trattato
elettroliticamente su un disco
di ferro Armco di 2 in di
diametro e spessore 0.005 in.
• disco scaldato a 900-1000 0C
in atmosfera idrogenica per
diffondere il cobalto nel foglio
di ferro ( 3 10-5 cm ).
• la sorgente è mossa da un
trasduttore ferroelettrico o da
un trasduttore a bobina mobile
Assorbitore:
7 unità separate.
• Ogni unità consiste di 80 mg di
ferro arricchito al 31.9% di 57Fe
trattato elettroliticamente su un lato
di un disci di berillio di 3 in di
diametro e 0.040 in di spessore.
• Ciascuna unità è montata sulla
finestra di Al
( spessore 0.001 in ) di un cristallo a
scintillazione di NaI(Tl) montato su
un fototubo moltiplicatore Dumont
6363.
Descrizione esperimento
Tragitto verticale nella torre isolata del Jefferson Physical Laboratory.
h = 22.5 m
L’ assorbimento dei raggi γ da parte
dell’aria lungo il cammino verticale è
ridotto riempiendo di elio un tubo
cilindrico di mylar di 1.6 in di
diametro che percorre la distanza
che separa sorgente ed assorbitore.
Per evitare che piccole quantità
d’aria diffondano nel tubo l’elio
fluisce con una velocità di 30
litri/ora.
Controllo sulle sorgenti di errore
• Possibili shifts Doppler dovuti a disturbi termici o sismici.
Variazione percentuale di distanza richiesta per eguagliare il predetto
shift gravitazionale: 3.27 10-6 per secondo
tali perturbazioni devono
essere ben al di sotto di questo valore.
• Instabilità strumentale e sorgenti di errore sistematico meno critiche a
fronte di un maggiore shift ottenibile aumentando h. (…ma legge quadratica
inversa dell’intensità)
• Errori sistematici che producono asimmetrie nelle righe di determinate
combinazioni sorgente-assorbitore, in modo diverso per ogni combinazione
soluzione: il moto relativo può essere separato dal redshift con
osservazioni simultanee di fasci che viaggiano in entrambe le direzioni.
La differenza di shift osservato con i raggi γ in “discesa” ( sorgente in
cima ) e in salita ( sorgente in basso ) è il risultato della gravità. ( solo il
redshift gravitazionale cambia segno ).
Controllo sulle sorgenti di errore
Scambiare la posizione di
sorgente ed assorbitore, cioè
invertire il sistema,
il trasduttore lavora
in “condizioni gravitazionali”
diverse
altra possibile sorgente di
errore sistematico
Il problema è risolto tramite
l’allestimento del monitor
channel, sistema di
elettroniche identico a quello
costruito per l’assorbitore
principale ( signal channel ) ma
allestito per un secondo
assobitore, posto a circa 1
metro dalla sorgente.
Acquisizione dati: procedura
Sorgente mossa dal trasduttore sinusoidalmente.
Durante il quarto di ciclo di modulazione centrato
sull’istante di massima velocità VM gli impulsi sono
separati da quelli corrispondenti al quarto di ciclo
opposto.
Tali due conteggi per tempi uguali possono essere
utilizzati per valutare lo shift se fossero accuratamente
note forma della riga, profondità e larghezza.
Per evitare tale dettagliata valutazione, una velocità
bidirezionale costante ±VJ , viene aggiunta accoppiando
due cilindri idraulici, di cui uno di grosso calibro che
trasporta il trasduttore e la sorgente in entrambi i
versi.
Acquisizione dati: procedura
Per ogni corsa si ottengono quindi i 4
numeri N(++) N(+-) N(-+) N(--).
Si calcolano:
L’espansione in serie di Taylor attorno
a ±VM dell’equazione N(V)
( approssimazione della riga di risonanza in cui VH è la velocità di metà
assorbimento massimo ), permette la valutazione di VD in termini di VJ.
Usando solo il termine lineare in VJ e prendendo il valore
(massima pendenza della curva di trasmissione)
dove
L’asimmetria aD ,cioè lo shift, è
Shift Doppler secondo ordine
Pound: velocità media dei nuclei nel solido sulla durata di emissione pari a
zero, velocità quadratica media diversa da zero
shift Doppler di secondo ordine diverso da zero ( dipendente da T )
Stima che per ΔT = 1 0C
Δν/ν = 2.45 10-15
Monitoraggio della ΔT tra sorgente ed assorbitore e applicazione della
relativa correzione sullo shift calcolata con riferimento ad un cristallo con
T di Debye di 420 K.
Risultati
Dati espressi in shift in frequenza frazionale ×10-15
Risultati
• La differenza di shift osservato con i raggi γ in “discesa” ( sorgente in
cima ) e in salita ( sorgente in basso ) è il risultato della gravità.
• La media per le due direzioni misura uno shift effettivo di altra origine
che è circa 4 volte la differenza fra gli shift.
• Tale shift è una proprietà intrinseca della particolare combinazione
sorgente-assorbitore
Shift misurato per ciascuna unità
di assorbitore posto a 6 in dalla
sorgente, corretto per la temperatura:
Risultati
Effettuate le necessarie correzioni dovute alla temperatura il risultato
finale per lo shift proveniente da tutti i dati raccolti è:
Z = - ( 5.13 ± 0.51 ) 10-15
Zth = -4.92 10-15 = 2gh/c2
differenza fra percorso di andata e
ritorno
(Δν)exp/(Δν)th= +1.05 ± 0.10
Dati raccolti in dieci giorni di operazione
Perché “Apparent weight of photons”?
Gli autori dell’esperimento non si propongono di entrare nella discussione
sulla relazione tra effetto studiato e relatività generale o conservazione
dell’energia.
L’esperimento si limita a determinare una velocità che compensa, tramite il
suo effetto Doppler al primo ordine, la differenza di potenziale tra i due
siti. È esattamente la velocità che un oggetto materiale acquisirebbe in
caduta libera nel tempo h/c che il fotone impiega per attraversare la
distanza h. Non c’è modo da questo esperimento di mostrare che il fotone
non è accelerato.
Risultato dell’esperimento:significati
Derivazione del redshift da conservazione energia ed equivalenza massaenergia nel contesto della teoria della gravitazione newtoniana:
• particella di massa a riposo m, inizialmente a riposo in A.
A
B
h
E A  mc 2
E B  mc 2  mgh
convertita in un fotone della stessa
energia:
EB  E B
Il fotone risale in A e, se non interagisce col campo gravitazionale
EA  EB  E A
no conservazione energia
anche il fotone nel “risalire” il campo perde energia
 gh 
E B  E A 1  2 
 c 
B
gh
 1 2
A
c
 em   obs
gh
z
 2
 obs
c
Risultato dell’esperimento:significati
Test cruciale della Relatività Generale?
Sì, un suo fallimento farebbe crollare la teoria ( Einstein )
R. Evans, J. Dunning Davies, “The gravitational redshift”,2004 :
dubbi sull’inclusione di tale misura nella lista dei test cruciali essendo il
redshift gravitazionale deducibile senza alcun ricorso alla teoria della GR.
usi più significativi…
Risultato dell’esperimento:significati
Il redshift gravitazionale implica che una consistente teoria della
gravitazione non può essere costruita nell’ambito della Relatività Speciale.
Falliscono i tentativi di correggere le leggi di Newton al fine di renderle
invarianti per trasformazioni di Lorentz.
Shild 1960, 1962, 1967
Qualunque sia la natura del campo gravitazionale, in spazio-tempo piatto non
è possibile rendere ragione degli esperimenti di redshift gravitazionale in
un riferimento di Lorentz globale.
Risultato dell’esperimento:significati
z
A
γ1
γ
2
B
t
In un sistema di riferimento di Lorentz globale
due osservatori B e A a riposo l’uno rispetto
all’altro e rispetto all’origine sono ad altezza
rispettivamente
zB e zA = zB + h
L’osservatore B invia un segnale elettromagnetico all’osservatore A di durata
2
dove N è il numero di periodi di durata dell’impulso.
 B 
N
B
La cresta d’onda γ1 percorre una geodetica nulla ( linea retta a 450 ) così
come la successiva ( situazione statica ).
 A 
2
A
N
ma
 A  B
( redshift gravitazionale )
 A   B
ma non è possibile costruire un parallelogramma con due lati diversi in
spazio-tempo di Minkowski.
Risultato dell’esperimento:significati
Vankov A., Proposal of experimental test of general relativity theory, arXiv:grqc/0105057.
In GR una particella in caduta libera guadagna energia dal campo, tutte le
forme di energia sono soggette alla gravitazione, onde elettromagnetiche
incluse.
Secondo l’autore è la differenza di massa propria tra sorgente ed
assorbitore a determinare lo shift osservato. Non c’è, secondo questa
argomentazione, una variazione di frequenza e quindi di energia del fotone
necessarie invece a supportare l’argomento di Shild.
Risultato dell’esperimento:significati
Nell’ambito delle verifiche della Local Position Invariance gli esperimenti
di redshift gravitazionale verificano l’eventuale esistenza di dipendenza
spaziale dell’esito degli esperimenti locali ( non gravitazionali ).
Assumendo validi il Weak Equivalence Principle e la Local Lorentz
Invariance una eventuale dipendenza spaziale del rate di un orologio atomico
si esprime:
2

gz


2
2
2
c 2 d 2   2  c 2 dt 2  dx 2  dy 2  dz 2    2  1  2s  c 2 dt 2 S  dx S  dy S  dz S
 c 



( t, x, y, z )
coordinate in un sistema in caduta libera
( tS, xS, yS, zS )
coordinate in un riferimento statico
cioè accelerato con accelerazione –g rispetto al
sistema in caduta libera ( in cui cioè “compare la
gravità” )
Risultato dell’esperimento:significati
Nel sistema statico in cui l’orologio è fermo
Sia dτ l’intervallo di tempo proprio tra l’emissione di una cresta d’onda e la
successiva per una sorgente di onde elettromagnetiche, mentre ΔtS sia il
corrispondente intervallo di coordinata temporale.
ΔtS coincide con l’intervallo di osservazione in un punto diverso tra una
cresta e la successiva mentre dτ cambia

U
z
 1    2

c
dove ΔU è la differenza di potenziale gravitazionale tra punto di
emissione e punto di osservazione e
2   em 
  c
  em 
Se
 0
U
z 2
c
= redshift in campo debole
Limite su α dall’esperimento di Pound-Rebka
  10 2
Risultato dell’esperimento:significati
In alternativa: assumendo valida sia LLI che LPI
un test di
redshift gravitazionale permette di verificare se le geodetiche della
metrica si identificano con le traiettorie dei corpi di prova.
• Le geodetiche si identificano con linee rette nei sistemi locali Lorentz.
• Un corpo in un sistema di riferimento locale di Lorentz non è accelerato se
e solo se si muove lungo una geodetica.
• Per verificare che le geodetiche coincidono con le traiettorie dei corpi di
prova bisogna confrontare sperimentalmente il moto dell’origine spaziale di
un LLF col moto di un corpo di prova.
Accelerazione dei corpi di prova nei pressi della superficie terrestre in un
laboratorio fermo rispetto alla terra pari a 980 cm/s2
Risultato dell’esperimento:significati
Chiamata a l’accelerazione in questo laboratorio di un LLF
2
 az 
c 2 d 2  1  2  dt 2  dx 2  dy 2  dz 2
 c 
d rec
az

1  rec
c2


c
d em


 dt
rec
az 

1  2em 
c 

c
ma
( valide LLI e LPI )
dt rec  dt em  0
(situazione statica)
d rec rec  em


 1 z
d em em  rec
az rec
c 2  1  az rec 1  az em   1  az rec  az em 
az
c 2 
c2 
c2
c2

1  2em
c
1
ah
z 2
c
ah
 1 2  1 z
c
Se a = g
LLF coincidono con sistemi in
caduta libera e allora le geodetiche coincidono
con le traiettorie dei corpi di prova.
Bibliografia
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(1960);
• Pound R., Rebka G., Gravitational redshift in nuclear resonance,
Phys.Rev.Lett.,3,439, ( 1959 );
• Pound R., Rebka G., Phys.Rev.Lett.,4,274 ( 1960 );
• Pound R., Snider J.L., Effect of gravity on gamma radiation,
Phys.Rev.Lett.,140, B788 ( 1965 );
• Pound R. Snider J.L., Effect of gravity on nuclear resonance,
Phys.Rev.Lett.,13,539 ( 1964 );
• Pound R., Weighing photons I, Physics in perspective 2,224 ( 2000 );
• Pound R., Weighing photons II, Physics in perspective 3, 4 8 ( 2001 );
• Misner C., Thorne S., Wheeler J.A., Gravitation;
• Will C., Theory and experiment in gravitational physics;
• Will C., The confrontation between general relativity and experiment, arXiv:grqc/0103036;
• R. Evans, J. Dunning Davies, “The gravitational redshift”,2004,
arXiv.org/pdf/gr-qc/0403082;
• Vankov A., Proposal of experimental test of general relativity theory, arXiv:grqc/0105057.