Teoria a molti-corpi della
materia nucleare
Lezione III
1. Metodo variazionale per sistemi con interazione
centrale
2. Metodo variazionale per la materia nucleare
3. Confronto formale con BBG e CCM
4. Risultati per l’ equazione di stato (EoS) della
materia neutronica
5. Risultati per la EoS della materia nucleare
Introduzione
Il metodo variazionale e’ stato introdotto sin dagli inizi dello sviluppo
della meccanica quantistica. Esso si basa sul principio di Ritz,
secondo cui il valor medio dell’ hamiltoniana (“funzionale dell’ energia”) e’
stazionario per variazioni attorno agli autovettori

H 

 0
per una variazione arbitraria
  di 
In particolare lo stato fondamentale sara’ lo stato di energia minima. Se si
restringe la ricerca della stazionarieta’ in un sottospazio ristretto si otterra’
un’ approssimazione allo stato fondamentale che ottimizza l’ energia.
Un esempio storico e’ il caso dell’ atomo di He. L’ approssimazione di particelle
indipendenti darebbe come stato fondamentale il prodotto (antisimmetrizzato)
di due orbitali idrogenoidi (identici ma di spin opposto). Un miglioramento
si puo’ ottenere moltiplicando tale funzione d’ onda per una funzione di
correlazione che faccia diminuire la probabilta’ che i due elettroni siano vicini,
per tenere conto della repulsione coulombiana
A( (r1 ) (r2 )) 
f (r1  r2 )  A( (r1 ) (r2 ))
ed esprimere la funzione di correlazione in termini di parametri da determinare
minimizzando l’ energia.
The variational method in its practical form
The problem of non-central correlations
Channel dependent correlation factors
The pair distribution function
Caso di un sistema di bosoni con interazione centrale
In questo caso la funzione d’ onda dello stato fondamentale imperturbato e’
semplicemente una costante e la funzione d’ onda di prova e’ dunque
   f ( rij )
somma su ij estesa alle coppie distinte di particelle
ij
Il valor medio dell’ energia cinetica si puo’ esprimere in termini della fattore di
correlazione f
e della funzione di distribuzione g(r)
1 2
T    
 d 3r g (r )  log f (r )
2 2m
L’ energia cinetica e’ influenzata dalle correlazioni, come ci si aspetta in base
alla variazione dei numeri di occupazione. Tuttavia questo indica una diversita’
rispetto allo sviluppo BBG, dove l’ energia cinetica e’ eguale a quella imperturbata
a qualunque ordine dello sviluppo.
Per quanto riguarda il valor medio del potenziale, il prodotto che rappresenta il
quadrato della funzione d’ onda si puo’ scrivere
 2   f ( rij ) 2   [1  hij ]
ij
ij
e si possono ordinare i termini dello sviluppo secondo il numero di fattori
h (“dynamical correlation factor”) che in essi compaiono
 [1  hij ]  1  ij hij  ijkl hij hkl  .............
ij
E’ conveniente usare una rappresentazione diagrammatica dei diversi termini.
Innanzitutto le coordinate che compaiono nell’ interazione devono essere
isolate dalle altre e l’ interazione stessa sara’ rappresentata da
Vij

i
j
Da tenere presente che l’ interazione e’ simmetrica nelle coordinate e quindi
e’ sufficiente fare il calcolo per una particolare coppia di particelle (diciamo 1-2)
e moltiplicare il risultato per il numero di coppie N(N-1)/2.
Si puo’ poi introdurre un simbolo per ciascun fattore di correlazione
hij

Tutti i termini che si ottengono dallo sviluppo, sia al numeratore che al
denominatore del valor medio dell’ interazione, si possono rappresentare
mediante diagrammi composti da questi due simboli. Vertici (cerchi pieni)
in comune corrispondono a variabili eguali. In ogni caso si puo’ tener conto
della simmetria nelle coordinate dell’ interazione totale.
Caso di un sistema di bosoni con interazione centrale
isomorfo al “virial expansion” classico.
exp( V (r ) / 2T )
F (r )
Termini sconnessi : prodotti di termini indipendenti
h12  h34 h45
4
5
Termini riducibili : quelli con un punto di “articolazione”
Come integrali sono ancora prodotti di integrali indipendenti
Classificazione dei diagrammi (termini dello sviluppo)
Nodali
Semplici
Irriducibili
Elementari
Composti
Teorema : all’ energia e alla funzione di distribuzione g(r)
contribuiscono solo i diagrammi connessi e irriducibili,
quelli riducibili o sconnessi si cancellano identicamente.
(similarita’ con il teorema “linked-cluster”)
Chain summations
+
1
+
+
. . . . . .
+
+
+
. . . . . .
+
+
+
. . . . . .
E
g(r)
2
Se chiamiamo N questa somma, si ha
N
N
=
N12

f13 N32
_

Equazione integrale per N
f13 f 32
Integrale sulle variabili ripetute
Somma dei diagrammi composti
+
. . . . . . .
+
N
N
X
=
N
N
+
N
. . . . . . .
N
N
+
N
+
N
N
N
(1 + h) NxN/2!
(1 + h)NxNxN/3!
. . . . . . .
Equazioni chiuse per N ed X in assenza di diagrammi elementari

X 12
f12 (exp( N12 )  1)  N12
2
Generalizzando la precedente equazione integrale per N
N12

X 13 N32  X 13 X 32
Si ottengono cosi’ due equazioni integrali (non lineari) accoppiate che
permettono di ottenere si N che X e quindi g(r), che, con analogo
ragionamento si trova avere l’ espressione
g12  f12 exp( N12 )
2
Da notare che, essendo le equazioni integrali delle convoluzioni, si puo’ adoperare
il metodo della trasformata di Fourier.
E i diagrammi elementari ? Presto fatto !
g12  f12 exp( N12  E12 )
2
E  E 0  E1  E 2  ........
HNC/0
HNC/1
HNC/2
………….
,
E0  0
Minimizzazione dell’ energia
Una volta che si e’ espresso o calcolato la funzione di distribuzione g(r)
in termini del fattore di correlazione, si deve minimizzare il funzionale
dell’ energia. Questo in principio dovrebbe condurre ad equazioni di
Eulero-Lagrange per f . A livello HNC/0 si trova
G (r ) 
g (r )
2

 G (r )  ( V (r )  S (r ) ) G (r )  0
m
dove S (r ) e’ direttamente collegato al fattore di struttura statico, che a sua
volta si esprime in termini della funzione di distribuzione g(r) .
Significato fisico ?
1. S (r ) Esprime l’ effetto del mezzo sull’ interazione particella – particella
e tiene conto principalmente delle correlazioni a lungo range (“schermaggio”)
2. Le equazioni di Eulero Lagrange tengono conto delle correlazioni a corto range
In generale i diagrammi elementari esprimono correlazioni a corto range
A.D. Jackson et al., Phys. Rep. 86 (1982) 55
Caso di Fermioni con interazione centrale
In questo caso la funzione d’ onda dello stato imperturbato e’ un determinnante
di Slater. Il modulo quadro di un determinante di Slater e’ ancora un determinante
di Slater
 (r1 , r2, .....)  det |  kn (rj , j ) |
,
 kn (rj , j )  exp( ik n rj )  ( j )
|  |2
 det |  ( i , j ) |
 ( i , j )   
i
 exp (i kn (rj  ri ) )
kn  k F
j
   i  j sF ( k F | rj  ri | )
|  |
2
  f ij det |  ( i , j ) |
2
ij
Nel caso di Fermioni si hanno pertanto due tipi di fattori, uno statistico
dovuto al principio di Pauli, ed uno di correlazione. Il primo contiene
la statistica per la sua forma e per il fatto che e’ un prodotto antisimmetrizzato.
Si puo’ ancora sviluppare la funzione d’ onda ed ordinare i vari termini
in base al numero di fattori sua statistici che “dinamici”.
I diagrammi conterranno pertanto due tipi di linee, uno che rappresentera’
sF
un fattore
ed uno il fattore usuale di correlazione
hij
Anche per Fermioni rimangono solo i diagrammi irriducibili.
Si possono ancora classificare i diagrammi come nodali, composti, elementari
etc. Un ‘ ulteriore classificazione riguarda i tipi di linee che si originano
dai punti fissi esterni ( per la funzione di distribuzione g(r) ). Ci sono
quattro classi di diagrammi , a seconda del tipo di fattori statistici che compaiono
su tali linee.
d
d
e
d
e
e
c
c
“Chain summations” si possono ottenere anche in questo caso per mezzo di
equazioni integrali accoppiate, mentre di nuovo i diagrammi elementari
devono essere calcolati a parte ( FHNC ).
Il caso della materia nucleare
I fattori di correlazione devono essere in
questo caso degli operatori, con la stessa
struttura dell’ interazione NN (spin-spin,
tensore, etc….). Questo complica molto
la teoria. In particolare non e’ piu’ possibile
sommare tutte le serie di “hypernetted chain”
in maniera chiusa, ma solo alcune sotto-serie,
ad esempio quelle che selezionano solo
un particolare operatore, le “single operator
chain” ( SOC ).
I diagrammi elementari sono complessi
perche’ includono molte combinazioni
operatoriali.
PRC 66 (2002) 0543308
Possibili connessioni tra BBG e metodo variazionale
Alternative methods
A link between BBG and variational method
Structure of the wave function in CCM
The energy in the CCM scheme
The CCM scheme from the variational principle
Problem of the hard core
Incorporating the “G-matrix” in the CCM scheme
Summary of the formal comparison
1. The CCM and BBG are essentially equivalent, which indicates that the
w.f. is of the type
  eS 
,
if
S  S2
one gets the Brueckner approximation
Once the single particle potential is introduced, the methods
are not variational at a given truncation.
2. The main differences in the variational method
a) The correlation factors are local and momentum independent
(eventually gradient terms).
b) No single particle mean field is introduced, so that the meaning
of “clusters” is quite different
c) Chain summations include long range correlations
Short range 3-body cluster calculated in PRC 66 (2002) 0543308
Pure neutron matter
Two-body forces only.
E/A
(MeV)
)
density (fm-3)
Comparison between BBG (solid line)
Phys. Lett. B 473,1(2000)
and variational calculations (diamonds)
Phys. Rev. C58,1804(1998)
E/A (MeV)
density (fm-3)
Including TBF and extending the comparison to “very high”
density.
CAVEAT : TBF are not exactly the same.
Confronting with “exact” GFMC for v6 and v8
Variational and GMFC : Carlson et al. Phys. Rev. C68, 025802(2003)
BBG : M.B. and C. Maieron, Phys. Rev. C69,014301(2004)
Neutron and Nuclear matter EOS.
Comparison between BBG and variational method.
The baryonic Equations of State
HHJ : Astrophys. J. 525, L45 (1999
BBG : PRC 69 , 018801 (2004)
AP : PRC 58, 1804 (1998)
Summary for the nucleonic EOS
1. Similarities and differences between variational and BBG
2. At v6-v8 level excellent agreement between var. and BBG
as well as with GFMC (at least up to 0.25 fm-3)
for neutron matter.
3. For the full interaction (Av18) good agreement between
var. and BBG up to 0.6 fm-3 (symmetric and neutron
matter).
4. The many-body treatment of nuclear matter EOS can be
considered well understood. Main uncertainity is TBF at high
density (above 0.6 fm-3).
Il metodo Dirac-Brueckner
Equazione di Bethe-Salpeter
Three-dimensional reduction an projection on positive energy states
Decomposizione in onde parziali usando stati di elicita’
Esistono sei ampiezze invarianti che soddisfano sei equazioni
integrali accoppiate
Equazione di Dirac nel mezzo nucleare
Contributo “saturante” degli effetti relativistici
Gli spinori di Dirac sono “ruotati”
nella materia nucleare. Questo
introduce una componenete di
anti-nucleone che genera una forza
a tre corpi se espressa negli spinori
imperturbati nel vuoto.
Lezione IV
1. Implicazioni per le stelle di neutroni
2. Cenni sulla fase superfluida
3. Indicazioni sulla EoS da dati osservativi e da
collisioni fra ioni pesanti
4. Confronto con EoS fenomenologiche
5. Formulazione relativistica, l’ approssimazione
Dirac-Brueckner
6. Transizione alla fase di quark, modelli per la fase
deconfinata