I modelli Gaussiani
I modelli “a plume”
per le emissioni continue
A.A. 2009/2010
Alcune caratteristiche specifiche (1/2)
Formula analitica esatta sotto particolari
condizioni ===>
 Estensioni semi-empiriche a casi molto
generali
 Ottimo accordo con i dati sperimentali

–
rispetto a molti altri tipi di modelli

Conceptually appealing

Facilità di esecuzione dei calcoli
–
sia analiticamente, sia con un computer
A.A. 2009/2010
Alcune caratteristiche specifiche (1/2)


Modelli consistenti con la natura stocastica
della turbolenza atmosferica
Permettono di stimare le concentrazioni a
fronte di:
– Diverse condizioni meteo
– Svariati scenari emissivi
– Periodi di tempo corti (1 ora) e lunghi (1 anno)

Certificati da numerose Agenzie di varie
nazioni (EPA, ANPA, ARPA, ISTISAN,…)
A.A. 2009/2010
La formula “esatta” (1/6)

Il modello gaussiano viene ricavato
come:
– soluzione analitica esatta dell’equazione di
diffusione
– sotto ipotesi particolari.

Consideriamo l’equazione generale di
diffusione di un inquinante gassoso:
A.A. 2009/2010
La formula “esatta” (2/6)
C
t
S= sorgente
Flusso entrante: -R= rimozione
Fe= C1.V
Flusso uscente:
Fu=C2.V
In ogni elemento del volume di interesse:
C
  f E  A   fU  A  S  R
t
A.A. 2009/2010
La formula “esatta” (3/6)
C
   (V  C )    ( K  C )  D   2 C  R  S
t
(1
Sotto le seguenti ipotesi:
 Processo stazionario 
C
0
t
(2
 Velocità del vento costante nel tempo e nello spazio, con
direzione orientata lungo l’asse x 
V  (u ,0,0)
(3
A.A. 2009/2010
La formula “esatta” (4/6)
- Il tensore di diffusione Kijk(x,y,z) diagonale, costante nel
tempo e nello spazio, molto maggiore della diffusione
molecolare 
K ijk ( x, y , z )   ijk  K ijk  Dijk ( x, y , z ), ( x, y , z )  
(4
 La diffusione dell’inquinante lungo x sia trascurabile
rispetto al trasporto convettivo prodotto dal vento 
 2C
C
K xx  2  V x 
 V x  1m / s
x
x
- Il termine di reazione R(x,y,z) sia nullo 
R ( x, y , z )  0
(5
(6
- Il termine di sorgente S(x,y,z) indipendente dal tempo e  0
solo nell’origine degli assi di riferimento 
S ( x, y , z )  Q   ( x )   ( y )   ( z )
(7
A.A. 2009/2010
La formula “esatta” (5/6)
L’equazione (1 diviene:
V  (  C )  K   2C  S ( x, y, z ) 
C
 2C
 2C
Vx 
 K yy  2  K zz  2  S ( x, y, z )
x
y
z
A.A. 2009/2010
(8
La formula “esatta” (6/6)
Tale equazione ammette come soluzione analitica esatta al
problema di Dirichlet:
C (0,0,0)  Q   ( x)   ( y )   ( z )
C ( x, y, z )  C f , x  , y  , z  
(9
dove: Cf è la concentrazione di fondo
l’espressione:
Q
C ( x, y , z ) 
e
4    x  K yy  K zz


A.A. 2009/2010
 y2 z2
u

 K yy K zz

4x




Cf
(10
Sviluppi ulteriori della formula analitica (1/2)
Ponendo:
 
2
y
 z2 
2  K yy  x
u
(11
2  K zz  x
u
(12
l’espressione (10 diviene:
C ( x, y , z ) 
Q
e
2   u  y  z
 y2 z2 
 2  2 
y z 


2
Cf
Dove:
Q= portata in massa (g/s)
A.A. 2009/2010
(13
Sviluppi ulteriori della formula analitica (2/2)
Nel caso di una sorgente elevata, posta all’altezza effettiva He:
S ( x, y , z )  Q   ( x )   ( y )   ( z  H e )
(14
ed introducendo l’ulteriore condizione di Von Neumann
(suolo completamente riflettente nei confronti dell’inquinante):
K zz 
C
0
z
per z  0
(15
l’espressione (13 diventa:
Q
C ( x, y , z ) 
e
2   u  y  z
U > 0.5 m/s

y2
2 y2
 zHe 
   z  H2e 

2
2 z
 e
 e 2 z


A.A. 2009/2010
2
2

 Cf


(16
Rappresentazione grafica della soluzione gaussiana (1/2)
A.A. 2009/2010
Rappresentazione grafica della soluzione gaussiana (2/2)
A.A. 2009/2010
Formule empiriche per yz (1/3)

Per estendere la formula (16 anche ad
altre situazioni, si utilizzano espressioni
semi-empiriche per le varianze y z,
che vengono fatte dipendere da:
– Classe orografica del terreno circostante
– Classe di stabilità atmosferica

Tali formule per i sono valide per:
– X  10  10.000 m
A.A. 2009/2010
Formule empiriche per yz (2/3)
A.A. 2009/2010
Struttura dei pennacchi in condizioni instabili
Concentrazione al suolo
Z
Gradiente
atmosferico
Gradiente
adiabatico
Tat Tad
T
A.A. 2009/2010
X
Struttura dei pennacchi in condizioni neutre
Concentrazione al suolo
Z
Gradiente
atmosferico
Gradiente
adiabatico
Tat = Tad
T
A.A. 2009/2010
X
Struttura dei pennacchi in condizioni stabili
Concentrazione al suolo
Z
Gradiente
atmosferico
Gradiente
adiabatico
Tad
Tat
T
A.A. 2009/2010
X
Schematizzazione del metodo delle “sorgenti immagine”
z
He= Altezza effettiva del rilascio
He
P
P’
-He
A.A. 2009/2010
Il modello gaussiano in presenza di inversioni in quota (1/3)
Z
I fumi si trovano sempre a temperatura
inferiore a quella atmosferica in quota
Gradiente
atmosferico
Gradiente
adiabatico
A.A. 2009/2010
Tad
Tat
T
Il modello gaussiano in presenza di inversioni in quota (2/3)
In presenza d’inversioni termiche in
quota,
 l’atmosfera si comporta come una
barriera impenetrabile per gli inquinanti
emessi a quote più basse.
 In queste condizioni, l’equazione (16 si
può trasformare come segue:

A.A. 2009/2010
Il modello gaussiano in presenza di inversioni in quota (3/3)
Q
C ( x, y , z ) 
e
2   u  y  z

y2
2 y2
 z  H e  2ihi 2  
     z  H e  22ihi 2

 
2 z
2 z2
 
  e
e

  

La serie converge per pochi termini (i  1,2,3)
e per valori di z  H e  2  i  hi   i
A.A. 2009/2010
(17
La deposizione di inquinanti al suolo 1/3
La deposizione degli inquinanti al suolo è una dei più
importanti meccanismi di autodepurazione del PBL.
Si distinguono 2 tipologie principali di deposizione:
- Deposizione secca
- Deposizione umida
A.A. 2009/2010
La deposizione secca
2/3
Per deposizione secca si intendono tutti i processi che
coinvolgono gli inquinanti senza interazione significativa
con l’acqua presente nell’atmosfera.
(trasferimento di gas e particella dall’atmosfera alla
superficie terrestre)
F = Vd . C(z)
F = flusso di inquinante al suolo [g/(s.m2)]
C(z) = concentrazione di inquinante in prossimità del suolo [g/m3]
Vd = velocità di deposizione [m/s]
A.A. 2009/2010
La deposizione umida
3/3
La deposizione umida comprende tutti i processi di
precipitazione degli inquinanti al suolo mediati dall’
acqua atmosferica: pioggia, neve, nebbia.
Rainout: all’interno delle nuvole,
Washout: per precipitazione sotto lo strato nuvoloso
Dw = Cw0 . (1-e-t).h
Dw = flusso di deposizione umida [g/m2]
Cw0 = concentrazione di inquinante prima della pioggia [g/m3]
 = coefficiente di washout [s-1] = .J0
 = parametro di scavenging [10-4 m-1]
J0 = intensità delle precipitazioni [m/s]
h = altezza d rimescolamento A.A. 2009/2010
Note e considerazioni sull’equazione gaussiana

I modelli gaussiani presuppongo:
– la costanza ed omogeneità, nel tempo e nello
spazio
– della componente convettiva V e turbolenta
Kijk del campo dei venti


CONSEGUENTEMENTE
Si assume che i risultati dei modelli gaussiani
“a plume” siano rappresentativi dei valori
medi orari di concentrazione
A.A. 2009/2010
Limiti di legge sulla qualità dell’aria
VALORI LIMITE E SOGLIE DI ALLARME
SO2
Periodo di mediazione
Valore limite (ug/m3)
Valore limite orario per la protezione della salute umana
1 ora
350 da non superare
più di 24 volte per anno
civile (99.7 Perc.)
Valore limite di 24 ore per la protezione della salute umana
24 ore
125 da non superare
più di 3 volte per anno
civile (99.2 Perc.)
Valore limite per la protezione degli ecosistemi
Anno civile
20
Nox-NO2
Periodo di mediazione
Valore limite (ug/m3)
Valore limite orario per la protezione della salute umana
1 ora
200 da non superare
più di 18 volte per anno
civile (99.8 Perc.)
Valore limite annuale per la protezione della salute umana
Anno civile
40 come NO2
Valore limite per la protezione degli ecosistemi
Anno civile
30 come Nox
A.A. 2009/2010
Limiti di legge sulla qualità dell’aria
VALORI LIMITE E SOGLIE DI ALLARME
PM10
Fase 1
Periodo di mediazione
Valore limite (ug/m3)
Valore limite orario per la protezione della salute umana
24 ore
50 da non superare più
di 35 volte per anno
civile (90.4 Perc.)
Valore limite annuale per la protezione della salute umana
Anno civile
40
Valore limite di 24 ore per la protezione della salute umana
24 ore
50 da non superare più
di 7 volte per anno
civile (98 Perc.)
Valore limite annuale per la protezione della salute umana
Anno civile
20
Valore limite di 24 ore per la protezione della salute umana
24 ore
50 da non superare più
di 7 volte per anno
civile (98 Perc.)
Fase 2
Pb
Valore limite annuale per la protezione della salute umana
Anno civile
A.A. 2009/2010
0,5
Limiti di legge sulla qualità dell’aria
VALORI LIMITE E SOGLIE DI ALLARME
Benzene
Valore limite annuale per la protezione della salute umana
Periodo di mediazione
Valore limite (ug/m3)
Anno civile
5
CO
Periodo di mediazione
Valore limite per la protezione della salute umana
Valore limite (ug/m3)
Media massima giornaliera 10
su 8 ore
A.A. 2009/2010
Il D.Lgs 351/99: Regimi di valutazione della
qualità dell’aria
A.A. 2009/2010
Arpa Ravenna : Valori limite e margine di tolleranza per
la protezione della salute umana (anno 2006)
A.A. 2009/2010
D.M 60/2002: Valori limite per la protezione
della salute umana e degli ecosistemi
A.A. 2009/2010
I modelli gaussiani climatologici (1/5)

Per stimare le concentrazioni medie orarie su
periodi di tempo maggiori di 1 ora si può
procedere in 2 modi differenti.
Imo METODO
Utilizzando i tracciati meteo orari


– <m>i= temp., dir. del vento, vel. del vento,
classe di stabilità, alt. strato di rimescolamento
relativi all’ora ima

per il periodo di tempo
rappresentativo
A.A. 2009/2010
I modelli gaussiani climatologici (2/5)

La stima dell’n
-imo
ALLORA:
percentile
 

Perc X i
n
della concentrazione

calcolata si può determinare dalla serie di valori stimati C i
 

ˆ
C  Perc Ci
(18
n
ALTERNATIVAMENTE
A.A. 2009/2010
I modelli gaussiani climatologici (3/5)
IIndo METODO
Si può utilizzare la:


– Funzione di Frequenza Congiunta di Condizioni
Meteo
– Joint Frequency Function - JFF.

Per definire la JFF occorre suddividere il range
di variabilità dei parametri meteorologici in un
opportuno numero di classi:
A.A. 2009/2010
I modelli gaussiani climatologici (4/5)

TIPICAMENTE:
– n (5) classi di velocità del vento
–  (16) classi di direzione del vento
– s (6) categorie di stabilità atmosferica


Si assume che, all’interno di ogni settore della
rosa dei venti, il vento vari in modo casuale
la distribuzione d’inquinante può essere
ritenuta uniforme su ogni arco (di 22,5o)
A.A. 2009/2010
I modelli gaussiani climatologici (5/5)

La concentrazione media oraria per il
periodo d’interesse è data:
– dalla media pesata di tutte le possibili
concentrazioni:


C ( x )     f  , n, s   C  x, , n, s 

n
(19
s
dove f  , n, s  è la JFF delle condizioni meteo nell’area in esame
A.A. 2009/2010
Confronto con i valori di riferimento statistici (1/7)

I valori stimati con le JFF si riferiscono
ai:
– valori medi orari su base annua

Per confrontarli con i limiti di leggi di
natura statistica:
– n-mo percentile dei valori orari

occorre effettuare una post-elaborazione
dei risultati ottenuti:
A.A. 2009/2010
Confronto con i valori di riferimento statistici (2/7)


In particolare, si deve stimare:
la
distribuzione
di
probabilità
concentrazioni
d’inquinanti
nei
d’interesse:

PC, x, y, z   prC  , x, y, x    p( , x, y, x)d



delle
punti
(20
Molti autori (e.g.: Larsen, 1971. Giugliano et
al., 1989) hanno mostrato che:
le concentrazioni d’inquinanti gassosi in
atmosfera presentano
A.A. 2009/2010
Confronto con i valori di riferimento statistici (3/7)

UNA DISTRIBUZIONE LOGNORMALE:
p ( ) 
1
2 
e
  ln(  )    2






2










(21
A.A. 2009/2010
Confronto con i valori di riferimento statistici (4/7)
Rappresentazione grafica di una distribuzione di legge
Distribuzione delle concentrazioni
medie di SO2 su un anno
80
70
60
50
40
30
20
10
0
301
251
221
201
181
161
141
121
101
81
61
41
21
Medie sulle 24 ore
1
Nro. di giorni

Intervalli di concentrazione (ug/mc)
moda media mediana
A.A. 2009/2010
98mo percentile
Confronto con i valori di riferimento statistici (5/7)

Questa distribuzione è caratterizzata da
2 parametri:
– la mediana 
– la varianza 

Tali parametri possono essere stimati
utilizzando i valori di legge. Ad esempio:
A.A. 2009/2010
Confronto con i valori di riferimento statistici (6/7)
A.A. 2009/2010
Confronto con i valori di riferimento statistici (7/7)


IPOTIZZANDO CHE:
i valori stimati abbiano la medesima
distribuzione lognormale prevista dai
valori di legge
si ottiene:
Per SO2 => C98=C50(1.74)2.06
Per PTS => C95=C50(1.52)1.65
Per NO2 => C98=C50(1.96)2.06




A.A. 2009/2010
Stima dei valori medi su periodi di tempo maggiori (1/2)
Invece, per stimare le concentrazioni
medie relative a periodi DIVERSI DA 1
ora si devono:
 utilizzare opportuni fattori correttivi:

– 0.5 ore:
– 3 ore:
– 8 ore:
– 24 ore:
– Annuale:
1.1  0.1
0.9  0.1
0.7  0.2
0.4  0.2
0.08  0.02
A.A. 2009/2010
Stima dei valori medi su periodi di tempo maggiori (2/2)
120
100
80
60
40
20
0
Ora
A.A. 2009/2010
22
19
16
13
10
7
4
Medie su 1 ora
Medie su 4 ore
1
Concentrazione
Andamenti delle concentrazioni