COLLEGIO GEOMETRI E GEOMETRI
LAUREATI DELLA PROVINCIA DI MILANO
Corso di preparazione
all'Esame di Stato per
l'abilitazione alla professione
22-06-2009
Estimo – Relatore: Antonio Ivan Orsenigo
Programma
1 - Richiami di matematica finanziaria
2 - Estimo generale: teoria delle stime
3 - Relazione di stima; stima dei fabbricati
4 - Stima dei fabbricati (seguito)
5 – Estimo legale
Richiami di Matematica Finanziaria
•
Il calcolo finanziario è utilizzato per rendere
omogenei tra loro valori che si verificano in
epoche diverse.
•
L’interesse è il prezzo d’uso del capitale.
•
Il tasso (o saggio) d’interesse rappresenta il
rendimento dell’unità di moneta nell’unità di
tempo, cioè quanto rende un euro in un anno.
Il tasso di interesse: caratteri
L’ammontare del tasso di interesse dipende:
 dal rischio dell’investimento
 dalla durata dell’investimento
 dal mercato dei capitali
 da scelte di natura politica e/o economica
Interesse semplice
L'interesse viene detto semplice quando gli interessi che
maturano su un dato capitale in un certo tempo non si
trasformano essi stessi in capitale, quindi non generano a loro
volta interessi.
I = Co* r * t
Si utilizza solitamente per investimenti che hanno durata
minore o uguale ad un anno.
Legenda:
I = ammontare dell’interesse
Co = Valore del capitale iniziale
r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini %
t = tempo d'impiego del capitale, può essere espresso in gg/360; gg/365, in
mm/12.
Montante ad Interesse semplice
Rappresenta la somma tra il valore del capitale
iniziale e dei relativi interessi maturati in un certo
periodo di tempo:
M = Co + I

M = Co + Co* r * t
M = Co * (1 + r * t)
Legenda:
M = montante di un capitale
I = ammontare dell’interesse
Co = Valore del capitale iniziale
r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini %
t = tempo d'impiego del capitale, può essere espresso in gg/360; gg/365, in
mm/12.
Accumulazione a fine anno di rate
infrannuali (mensili, bimestrali, ecc.)
Rappresenta la sommatoria riferita a fine anno dei montanti di
rate che si manifestano con regolarità (ad esempio canoni di
locazione) e che possono essere anticipate o posticipate
rispetto al periodo di riferimento. Per tale operazione si utilizza
la seguente formula:
n1
M = R * (n + r ----------)
2
Legenda:
 M = sommatoria a fine anno dei montanti di rate infrannuali
R = ammontare della singola rata
n = numero delle rate
r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini %
+1 = se la rata è anticipata
-1 = se la rata è posticipata
Interesse composto: caratteri
L'interesse si dice composto quando gli interessi maturati su
un capitale in un certo tempo si sommano al capitale che li
ha prodotti, generando, a loro volta, degli interessi.
L'interesse composto si suddivide in:
1.
interesse composto discontinuo annuo: gli interessi si
sommano al capitale che li ha prodotti alla fine di ogni
anno;
2.
interesse composto convertibile: gli interessi si sommano
al capitale che li ha prodotti più volte all'anno
(semestralmente, trimestralmente, ecc. ecc.);
3.
interesse composto continuo o matematico: ad ogni
istante gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti,
non ha utilità pratica.
Interesse composto: calcolo
Il valore di un capitale investito per un numero (n)
di anni, si determina:
Cn = Co * qn
Legenda:
Cn = montante di un capitale investito per (n) anni ad interesse composto
Co = Valore del corrispondente capitale iniziale
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = durata dell’investimento del capitale in anni
Interesse composto: valore attuale
Il valore attuale di un capitale futuro disponibile tra
un certo numero (n) di anni, si determina:
Cn
1
Co = --------- = Cn * ----qn
qn
Legenda:
Cn = Montante di un capitale investito per (n) anni ad interesse composto
Co = Valore del corrispondente capitale iniziale
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = durata dell’investimento del capitale in anni
Le rendite
Le rendite sono valori che si presentano con una certa
regolarità, possono essere:
Annualità = si verificano ogni anno, ad esempio il
pagamento di una borsa di studio
Poliannualità = si verificano ogni (n) anni, ad esempio
il reddito ottenuto dal taglio di un bosco
Le annualità: classificazione
Le annualità sono valori che si verificano ogni anno, possono essere:
Costanti = sono tutte uguali tra loro
Variabili = sono diverse di anno in anno
Limitate = si manifestano solo per un numero limitato di anni (n)
Illimitate = si manifestano per un numero illimitato di anni. Illimitato
dal punto di vista economico (Infinito economico 80-100 anni)
Anticipate = si verificano all’inizio di ogni anno considerato
Posticipate = si verificano alla fine di ogni anno considerato
Le annualità: calcoli da svolgere
Dal punto di vista matematico, interessa determinare la loro:
An = Accumulazione finale = si tratta di portare il valore
di tutte le annualità alla fine del periodo considerato, non si può
realizzare per le annualità illimitate
Ao = Accumulazione iniziale = si tratta di portare il
valore di tutte le annualità all’inizio del periodo considerato.
Am = Accumulazione intermedia = si tratta di portare
il valore di tutte le annualità ad un anno (m) intermedio nel
periodo considerato.
Annualità costanti limitate posticipate - An
Accumulazione finale
Accumulazione finale di annualità (a) costanti limitate posticipate:
qn -1
An = a * ----------r
Legenda:
An = Accumulazione finale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
Annualità costanti limitate posticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti limitate
posticipate:
qn –1
1
A0 = a * ----------- * -----r
qn
Legenda:
A0 = Accumulazione iniziale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
Annualità costanti limitate posticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti limitate
posticipate:
qn –1
1
qn –1
1
Am = a * ----------- * ------ * qm = a * ----------- * -----r
qn
r
qn-m
Legenda:
Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m)
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
m = anno a cui si riferisce l’accumulazione
Annualità costanti limitate anticipate - An
Accumulazione finale
Accumulazione finale di annualità (a) costanti limitate anticipate:
qn -1
An = a * q * ----------r
Legenda:
An = Accumulazione finale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
Annualità costanti limitate anticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti limitate anticipate:
qn –1
1
An = a * q * ----------- * -----r
qn
Legenda:
A0 = Accumulazione iniziale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
Annualità costanti limitate anticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti limitate anticipate:
qn –1
1
qn –1
1
Am = a * q * ----------- * ------ * qm = a * q * ----------- * -----r
qn
r
qn-m
Legenda:
Am = Accumulazione delle annualità riferito all’anno (m)
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
m = anno a cui si riferisce l’accumulazione
Ammortamento dei capitali: generalità
Ammortamento dei capitali: calcolo della rata
annuale
Si tratta delle operazioni finanziarie legate ai mutui ipotecari. Solitamente
interessa determinare l’ammontare della rata periodica di mutuo e/o il valore di
un mutuo residuo. In questa sede possiamo solo riferirci al mutuo a tasso
costante, ipotizzando il pagamento di rate posticipate (se esse avessero
scadenza diversa ci si deve adeguare). Si ragiona come se si operasse con
rate annue costanti posticipate limitate
qn –1
Ao = a * --------r qn
da cui
qn –1
r qn
M = R * -------- ---> R = M -------r qn
qn –1
Legenda:
Ao = Accumulazione iniziale delle annualità
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero dei pagamenti annuali
M = ammontare della somma mutuata
R = valore della rata annua
Ammortamento dei capitali: caso generale
Ammortamento dei capitali:
Se le rate fossero di tipo semestrale, quadrimestrale, trimestrale, bimestrale o
mensile, si dovrebbe adattare la formula precedente
(1 + r/x)xn –1
(r/x) * (1 + r/x)xn
M = R * ---------------------- quindi R = M * --------------------(r/x) * (1 + r/x)xn
(1 + r/x)xn –1
Legenda:
M = ammontare della somma mutuata
R = valore della rata annua
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero degli anni del mutuo
x = numero dei pagamenti infrannuali
Annualità costanti illimitate posticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti illimitate posticipate:
a
A0 = -----r
Bf
attenzione  V0 = ----rc
Legenda:
A0 = Accumulazione iniziale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
V0 = valore medio di mercato
Bf = beneficio fondiario
r c = tasso di capitalizzazione
Annualità costanti illimitate posticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti illimitate
posticipate:
a
Am = ------ * qm
r
Legenda:
Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m)
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
m = anno a cui si riferisce l’accumulazione
Annualità costanti illimitate anticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti
illimitate anticipate:
a*q
A0 = -----r
Legenda:
A0 = Accumulazione iniziale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
Annualità costanti illimitate anticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti illimitate
posticipate:
a*q
Am = --------- * qm
r
Legenda:
Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m)
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
m = anno a cui si riferisce l’accumulazione
Le poliannualità: classificazione
Le poliannualità sono valori che si verificano ogni (n) anni, possono
essere:
Costanti = sono tutte uguali tra loro
Variabili = sono diverse tra loro
Limitate = si manifestano solo per un numero limitato di turni (t)
Illimitate = si manifestano per un numero illimitato di turni.
Illimitato dal punto di vista economico (Infinito economico 80-100 anni)
Anticipate = si verificano all’inizio di ogni turno considerato
Posticipate = si verificano alla fine di ogni turno considerato
Le poliannualità: calcoli da svolgere
Dal punto di vista matematico interessa determinare la loro:
Atn = Accumulazione finale = si tratta di portare il valore di
tutte le poliannualità alla fine del periodo considerato, non si può
realizzare per le poliannualità illimitate
A0 = Accumulazione iniziale = si tratta di portare il valore
di tutte le poliannualità all’inizio del periodo considerato.
Am = Accumulazione intermedia = si tratta di portare il
valore di tutte le poliannualità ad un anno (m) intermedio nel periodo
considerato.
Poliannualità costanti limitate posticipate - Atn
Accumulazione finale
Accumulazione finale di poliannualità (P) costanti limitate
posticipate:
qtn -1
Atn = P * ----------qn -1
Legenda:
Atn = Accumulazione finale
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità
Poliannualità costanti limitate posticipate – Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti
limitate posticipate:
qtn –1
1
Ao = P * ----------- * -----qn -1
qtn
Legenda:
A0 = Accumulazione iniziale
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità
Poliannualità costanti limitate posticipate –Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti
limitate posticipate:
qtn - 1
1
qtn –1
1
Am = P * ----------- * ------ * qm = P * ----------- * -----qn - 1
qtn
qn - 1
qn-m
Legenda:
Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m)
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità
Poliannualità costanti limitate anticipate - Atn
Accumulazione finale
Accumulazione finale di poliannualità (P) costanti limitate
anticipate:
qtn -1
Atn = P * qn * ----------qn -1
Legenda:
Atn = Accumulazione finale
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità
Poliannualità costanti limitate anticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti
limitate anticipate :
qtn –1
1
An = P * qn * ----------- * -----qn -1
qtn
Legenda:
A0 = Accumulazione iniziale
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità
Poliannualità costanti limitate anticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti
limitate anticipate:
qtn –1
1
qtn –1
1
Am = P * qn * ----------- * ------ * qm = P * qn * ---------- * -----qn – 1
qtn
qn – 1 qtn-m
Legenda:
Am = Accumulazione delle poliannualità riferita all’anno (m)
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
t = numero dei turni = quante volte si verifica la poliannualità
m = anno a cui si riferisce l’accumulazione
Poliannualità costanti illimitate posticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti
illimitate posticipate:
P
An = ----------qn -1
Legenda:
A0 = Accumulazione iniziale
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
Poliannualità costanti illimitate posticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti
illimitate posticipate:
P
Am = ----------- qm
qn - 1
Legenda:
Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m)
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
Poliannualità costanti illimitate anticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di poliannualità (P) costanti
illimitate anticipate:
P * qn
An = ----------qn -1
Legenda:
A0 = Accumulazione iniziale
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva
Poliannualità costanti illimitate anticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di poliannualità (P) costanti
illimitate anticipate:
P * qn
Am = ---------- qm
qn - 1
Legenda:
Am = Accumulazione delle poliannualità riferito all’anno (m)
P = Valore della singola poliannualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero di anni che intercorre tra una rendita e la successiva