I Fondamenti di Geometria
nella scuola italiana
di fine Ottocento
Carmela Zappulla
a.a. 2005-06
Corso “Storia della Matematica”
26-30.05.2006
INDICE
• Introduzione: Come e perché una scuola
italiana
• R. De Paolis e F. Klein (1871-1880)
• C. Segre e G. Peano (1884-1889)
• G. Fano: la memoria del 1892
• F. Enriques e la sua filosofia (1898-1907)
• M. Pieri: culmine e declino (1894-1897)
• Conclusioni
Introduzione
• Solo Hilbert? Geometria come matematica pura
• Enti primitivi e postulati nella scuola italiana
• Contesto diverso da quello puramente
•
•
•
assiomatico
Non un singolo ma tutta una scuola
Dopo Hilbert la scuola italiana viene dimenticata
- fondamenti come conclusione
- connessione con la didattica
Ma anche:
- Hilbert come grande matematico
- Göttingen come fucina della matematica
- Grundlagen: semplici e immediate
Riccardo De Paolis (1854-1892)
• Studia a Roma con Cremona, Beltrami e Battaglini
• 1880-81: Sui fondamenti della geometria projettiva
•
•
 C. von Staudt e coordinatizzazione dello spazio
proiettivo a partire da considerazioni puramente
geometriche
L’opera è divisa in due parti:
- 1. dim. Th. Fondamentale per forme di 1a specie,
completa e semplifica i metodi correnti (di Staudt, Reye,
Klein)
- 2. retta proiet.  Q, poi, postulandone la completezza:
retta proiet.  R
È una novità, influenza sugli italiani, non specifica l’origine
degli enti (generatori) della forma, prende le mosse da v.
Staudt e Klein.
Felix Klein (1849-1925)
• 1871-74, Articoli nei Mathematische Annalen
-1874: Nachtrag zu dem zweiter Aufsatz über die
sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie
• Geometria assoluta e sottogeometrie
• Puntocoordinata: Staudt (quadrangolo
Completo + V post.>>circolo vizioso)
• Rinnovare, riordinare, rendere più
trasparente Staudt, che era poco scorrevole e
incompleta.
Corrado Segre (1863-1924)
• Torino 1883, con tesi : Studio sulle
quadriche in uno spazio lineare a un
numero qualunque di dimensioni (1884)
- Geometria Proiettiva degli iperspazi per
la teoria delle curve e delle superfici
• Deriva da:
Riemann 1854, Plücker, Klein e Clebsch,
Lie, Grassmann
da Segre 1884 -introduzione
La geometria degli spazi ad un numero qualsiasi n di dimensioni
ha preso ormai il suo posto tra i rami della matematica; e, …
anche quando l'elemento o punto di un tale spazio non si
consideri come un ente geometrico dello spazio ordinario (e
neppure,…, come un ente analitico costituito dai valori di n
quantità variabili), bensì come un ente a sé, la natura intima
del quale si lascia indeterminata, non si può rifiutare di
ammetterla come scienza, in cui tutte le proposizioni sono
rigorose, perché dedotte con ragionamenti essenzialmente
matematici; la mancanza di una rappresentazione pei nostri
sensi degli enti che essa studia non ha molta importanza pel
matematico puro. Sorta, si può dire, colla celebre Memoria del
1854 di Riemann ... la geometria a n dimensioni va
sviluppandosi secondo due vie diverse: l'una riguarda la teoria
della curvatura degli spazi e si connette quindi alla geometria
non euclidea, l'altra invece studia la geometria proiettiva degli
spazi lineari ... ed è appunto questa ch'io mi propongo di
seguire in questo lavoro. Essa apre ai cultori della matematica
un campo sconfinato di ricerche piene di interesse.
Def. Segre (1884): Spazio lineare n-dimensionale
Un insieme continuo qualunque di enti, il cui numero sia m
volte infinito (cioè tra i quali ve ne sia in generale un
numero finito che soddisfino a m condizioni semplici
qualunque date) dicesi formare uno spazio ad m
dimensioni, di cui quegli enti diconsi elementi. ...Uno
spazio qualunque ad m dimensioni dicesi lineare quando
si possono attribuire a ciascun suo elemento i valori
numerici (reali od immaginari) di m quantità in modo che,
senza alcuna eccezione, ad ogni gruppo arbitrario di valori
di queste corrisponda un solo elemento di quello spazio, e
viceversa ad ogni elemento di questo corrisponda un solo
determinato gruppo di valori di quelle. I valori di queste
quantità corrispondenti a quell'elemento si dicono
coordinate di questo. …cosicché ogni elemento di questo,
senza eccezioni, sarà individuato dai rapporti mutui di
queste coordinate omogenee e servirà viceversa ad
individuare questi loro rapporti.
Def. Peano (1888: Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di Grassmann): Spazio lineare n-dimension.
Esistono dei sistemi di enti sui quali sono date le seguenti definizioni:
1. È definita l'eguaglianza di due enti a e b del sistema, cioè è definita una
proposizione, indicata con a = b, la quale esprime una condizione fra due enti
del sistema, soddisfatta da certe coppie di enti, e non da altre, e la quale
soddisfa alle equazioni logiche:
(a=b)=(b=a)
(a=b)(b=c)<(a=c)
2. È definita la somma di due enti a e b vale a dire è definito un ente, indicato con a
+ b, che appartiene pure al sistema dato e che soddisfa alle condizioni: ….
a=b<(a+c=b+c)
a+b=b+a
a+(b+c)=(a+b)+c
3. Essendo a un ente del sistema, ed m un numero intero e positivo, colla scrittura
ma intenderemo la somma di m enti uguali ad a. È facile riconoscere, essendo
a, b, ... enti del sistema, m, n, ... numeri interi e positivi, che
(a=b)<(ma=mb) m(a+b)=ma+mb (m+n)a=ma+na m(na)=(mn)a 1a=a
Noi supporremo che sia attribuito un significato alla scrittura ma, qualunque sia
il numero reale m, in guisa che siano ancora soddisfatte le equazioni
precedenti. L'ente ma si dirà prodotto del numero (reale) m per l'ente a.
4. Infine supporremo che esista un ente del sistema, che diremo ente nullo, e che
indicheremo con 0, tale che, qualunque sia l'ente a, il prodotto del numero 0
per l'ente dia sempre 0, ossia 0a = 0 ...
Def. I sistemi di enti per cui sono date le definizioni 1, 2, 3, 4 in guisa da soddisfare
le condizioni imposte, diconsi sistemi lineari. ...
Pasch (1843-1930)
1882: Vorlesungen über Neuere Geometrie
•
•
•
•
Prima assiomatizzazione
Carattere empirico
Rigore
Geometria = scienza naturale
“Alla Geometria si possono comunque associare
speculazioni di vario genere. Ma … i concetti geometrici
originariamente corrispondono proprio agli oggetti
empirici, anche se quelli vengono a poco a poco ricoperti
da una rete di concetti arti-ficiali atti a promuovere
sviluppi teorici. Ma se fin da princi-pio ci limitiamo al
nucleo empirico, la Geometria conserva il carattere di
scienza naturale … [poiché trae] dall’esperienza solo un
numero assai limitato di concetti e di leggi”
- Prima enunciati base che rielaborano e semplificano
l’esperienza
- Poi logica e niente più intuizione
Peano (1858-1932)
1889:
•
I principii della geometria logicamente esposti,
sulla scia di Pasch:
Si ha così una categoria di enti, chiamati punti.
Questi enti non sono definiti. Inoltre, dati tre
punti, si considera una relazione fra essi,
indicata colla scrittura abc , la quale relazione
non è parimenti definita. Il lettore può intendere
col segno 1 una categoria qualunque di enti, e
con abc una relazione qualunque fra tre enti di
quella categoria; avranno sempre valore tutte le
definizioni che seguono .... Se un certo gruppo
di assiomi è verificato, saranno pure vere tutte le
proposizioni che si deducono.
• Segre e Peano hanno p.d.v non tanto
opposti quanto complementari
Hilbert sta elaborando le idee base delle
Grundlagen >>> li sintetizza
• Segre:
• Peano:
- più discorsivo
- impreciso
- indeterminatezza enti
primitivi
- apre a possibili sviluppi
- def. posta all’inizio: base
fondamentale e
concettuale
- più rigoroso
- linguaggio ideografico e
formale
- necessità logica
- chiude il discorso e
“surgela la teoria”
- def. posta alla fine:
sintesi del lavoro
Comunque, nel 1891 Segre:
Su alcuni indirizzi nelle investigazioni geometriche
• Non è ancora stato assegnato e discusso
(che io sappia) un sistema di postulati
indipendenti che serva a caratterizzare lo
spazio lineare ad n dimensioni, sì che se
ne possa dedurre la rappresentazione dei
punti di questo con coordinate. Sarebbe
conveniente che qualche giovane si
occupasse di questa quistione (che non
sembra difficile).
Gino Fano (1871-1952)
• Allievo di Segre e Klein
• 1892: Sui postulati fondamentali della geometria
proiettiva in uno spazio lineare a un numero
qualunque di dimensioni
“Una varietà [insieme] di enti di qualsiasi natura;
enti che chiameremo, per brevità, punti,
indipendentemente però, ben inteso, dalla loro
stessa natura. ... Io preferisco addirittura
riservare ... il nome di postulati [... a quelle
proprietà che] ci daranno le proprietà prime degli
enti o punti della nostra varietà; quelle proprietà
che (opportunamente scelte) dovremo ammettere
per caratterizzare gli enti stessi e poterne poi
dedurre nuove proprietà di questi.”
Fano 1892
• Originale, passo avanti rispetto De Paolis
• Rinuncia a giustificare la scelta degli enti
primitivi e dei postulati e la loro origine
• Astrazione (seppur non molto rigoroso)
• Indipendenza dei postulati modelli di
geometria finita
• Dai postulati (astratti) a Rn (concreto)
• Ricerca di un numero minimo di postulati
indipendenti atti a poter coordinatizzare
uno spazio proiettivo astratto
I primi postulati (sono classici)
P 1. Due punti qualunque determinano, e sempre
in modo unico, un ente chiamato retta.
Def. di piano: insieme di tutti i punti contenuti
nelle rette che congiungono i singoli punti di una
retta data con un punto fisso ed assegnato ad
arbitrio, purché fuori dalla retta stessa.
P 2. La retta determinata da due punti qualunque
di un piano giace tutta in questo.
P 3. Due rette giacenti in uno stesso piano hanno
sempre un punto a comune.
Indipendenza del Pn dai primi n-1
• Indipendenza di P 3
• Indipendenza di P2:
A
A
M
O
B
M
P
B
A
O
P
N
P
N
n B
m
Federigo Enriques
• Livorno 5.1.1871 - Roma 14.6.1946
• Laurea: Pisa 1891
• 1894 Bologna, professore di Geometria
proiettiva e descrittiva (dal 1896, a 25
anni, ordinario)
• Dal 1922 a Roma, sino alla morte,
salvo la parentesi delle persecuzioni
razziali (1938-44).
• Con C. Segre, G. Castelnuovo (suo
cognato), F. Severi fondatore della
scuola italiana di geometria algebrica
F.Enriques (2)
• Grande interesse per la filosofia e la storia
• Si rese presto consapevole del carattere
storico della evoluzione scientifica, dando
importanti contributi alla storia della
Matematica e del pensiero scientifico e
filosofico
• Non disdegnò di occuparsi di didattica, cui
portò un efficacissimo contributo coi
volumi delle Questioni da lui diretti e con
una collana di diffusissimi testi per le
scuole medie, scritti con U. Amaldi (1903).
Federigo Enriques (1871-1946)
• 1898: Lezioni di geometria proiettiva (per universitari, ma mira a sistemare
ulteriormente i fondamenti di Geom. Proiet. secondo l’indirizzo di Staudt)
“Noi abbiamo cercato di porre in luce come la geometria proiettiva si riferisca a
concetti intuitivi, ... . D’altra parte però è stato avvertito ... che tutte le deduzioni sono fondate soltanto sopra quelle proposizioni, desunte immediatamente dall’intuizione, … enunciate come postulati. Sotto questo punto di
vista la geometria svolta, appare come un organismo logico, nel quale i
concetti elementari di punto, retta e piano (e quelli definiti mediante questi)
figurano soltanto come elementi di alcune relazioni logiche primitive (i
postulati) e di altre relazioni logiche che vengono dedotte. Il contenuto intuitivo di questi concetti resta perfettamente indifferente. Da questa osservazione scaturisce un principio molto fecondo, che informa tutta la moderna
geometria: il principio di sostituibilità degli elementi geometrici. Si abbiano
dei concetti comunque definiti i quali vengono convenzionalmente designati
coi nomi di “punto”, “retta” e “piano”; e suppongasi che tra di essi intercedano le relazioni logiche fondamentali enunciate dai postulati della geometria
proiettiva. Tutti i teoremi della detta geometria avranno ancora significato e
validità, ove si intenda di considerarli non più come esprimenti relazioni fra
“punti”, “rette” e “piani” intuitivi, ma invece come relazioni tra i concetti dati,
i quali sono stati convenzionalmente designati coi detti nomi ... . In altre
parole: La geometria proiettiva può essere considerata come scienza astrat-
ta, e ricevere quindi interpretazioni diverse da quella intuitiva, fissando che
gli elementi (punti, rette, piani) di essa siano concetti comunque determinati,
tra i quali intercedono le relazioni logiche espresse dai postulati.”
F. Enrques:
• Metodo assiomatico formale
- Non per scelta filosofia o per esigenze di
linguaggio
- è dovuto a uno sviluppo interno alla geometria
• Intuizione come guida iniziale per fissare i
concetti e gli enunciati primitivi che privati di
significato diventano suscettibili di infinite
interpretazioni  successivamente niente più
intuizione ma solo sistema dedotto formalmente
• Enriques completa v. Staudt secondo l’indirizzo
di Fano e Amodeo, ma a differenza di Fano non
è indifferente alla natura dei postulati, infatti:
Enriques 1898
• “…stabilire i postulati desunti
dall'intuizione sperimentale dello spazio
che si presentano più semplici per definire
l'oggetto della geometria proiettiva.”
Fano 1892
• Fano: stabiliva un sistema di postulati-
ipotesi capaci di definire uno spazio lineare
al quale applicare i risultati dell’ordinaria
geometria
Enriques
• La geometria euclidea è confermata
dall’esperienza a meno di confutazioni
• Problemi molto discussi
- origine degli assiomi
- rapporti tra geometria e realtà
- considerazioni di carattere psicofisiologico
• Lo spazio non è una realtà anteriore ed
esterna alla mente ma un’insieme di
relazioni il cui oggetto è dato da
operazioni inerenti la struttura mentale
Eco in Germania tramite Klein (affine alle idee di
Enriques), che fa tradurre il testo del 1898 e vi
antepone una introduzione molto esplicativa:
“L'Italia è da due decenni il vero centro di lavori avanzati nel campo
della geometria proiettiva. .... i ricercatori italiani sono andati di
gran lunga più avanti anche dal lato pratico: non hanno disdegnato di trarre delle conseguenze didattiche dalle loro indagini. I
manuali, assai degni di nota, per le scuole medie e superiori, che
in tal modo sono nati, possono essere resi accessibili agli ambienti più larghi interessati a essi, tramite adeguate traduzioni. E che
ciò accada appare tanto più desiderabile proprio in Germania in
quanto la nostra letteratura manualistica ha perso del tutto i
contatti con la ricerca attiva. …A noi non mancano opere stimolanti adatte per un’introduzione alla geometria proiettiva, ma non
ne conosco alcuna che offra la costruzione sistematica di tale
disciplina, in una forma corrispondente al suo stato attuale, in
modo così chiaro e contem-poraneamente completo. Inoltre
l’esposizione è sempre intuitiva, ma del tutto rigorosa, …, dopo le
acute ricerche sui fondamenti della geometria proiettiva contetenute in precedenti saggi dell’autore. Particolarmente degna di
nota è la trattazione della metrica”
Enriques e filosofia
• Epistemologia come rapporto tra sapere
•
•
•
•
geometrico e considerazioni generali sulla
conoscenza
Rivisitare Kant alla luce delle nuove geometrie
Geometria Euclidea come una delle possibili
Geometrie, poiché si sceglie di volta in volta
quella più comoda e/o conveniente
La base empirica resta forte, soprattutto nella
fase iniziale della scelta dei postulati (un po’
legato alla vecchia maniera di metà Ottocento)
Hilbert, invece, annuncia una nuova filosofia più
vicina alla pratica del matematico che a quella
del filosofo o del logico >>> studio dei sistemi
formali e ricerca di proe di non contradditorietà
Riflessioni:
In questo quadro concettuale che possiamo ormai considerare
consolidato, se il sistema edificato per la geometria proiettiva
non si discosta da quello utilizzato nelle sue lezioni, ben
differente è l'attenzione che Enriques porta ai risultati di Hilbert
e della sua scuola (in particolare Max Dehn). I vari
controesempi, la costruzione delle geometrie che egli chiama
non pappiane (le non pascaliane di Hilbert) e il loro legame con
la problematica della non commutatività, la costruzione dei corpi
non archimedei, sono presentati con grande attenzione e
precisione. Si noti che né Enriques né alcun altro tra i nostri
matematici di primo piano trasformarono questo interesse
generale in un vero e proprio indirizzo di ricerca. Ma in realtà i
fondamenti della geometria sono stati visti dalla scuola italiana
più come un elemento, anche se importante, collegato con la
didattica che con la ricerca. In ultima analisi questa visione rese
praticamente impossibile la sopravvivenza, agli alti livelli della
fine del secolo scorso, di una scuola italiana di fondamenti della
geometria capace di competere a livello internazionale almeno
per circa la prima metà di questo secolo. Una parziale eccezione
è costituita da Mario Pieri, la cui figura deve quindi costituire un
elemento di riflessione importante.
Mario Pieri (1860-1913)
• Lucca 22.01.1860-01.03.1913
• Pisa 1884 con De Paolis
• Insegna a Torino (Segre e
•
•
•
Peano), Catania, Parma
Prima: Geometria proiettiva
ed enumerativa
Poi: Assiomatizzazione e
fondamenti
Muore prematuramente
M. Pieri
• Costituisce un ponte tra Segre e Peano:
- da Segre: struttura assiomatica staccata
dall’esperienza
- da Peano: rigore, astrazione, linguaggio
• 1889 traduzione di (Staudt 1847)
- “Per eccellenza d'ordine e di metodo e scrupolosità
nelle dimostrazioni, gli elementi di cui offriamo la
traduzione non sono stati superati da alcun'altra opera
consimile.”
• Dal 1894 al 1899 opere sui fondamenti
• 1897: I principii della geometria di posizione composti
in sistema logico deduttivo
- articolo completo, indipendenza dall’intuizione, tutto
sotto il controllo della formalizzazione
Pieri 1897
“È generalmente riconosciuta l'utilità di un
buon algoritmo ideografico, come
strumento atto a prevenire e a disciplinare
il pensiero; e ad escludere le ambiguità, i
sottintesi, le restrizioni mentali, le
insinuazioni e altri difetti presso che
insuperabili dal comune linguaggio sì
parlato che scritto -e tanto nocivi alle
indagini speculative.”
Pieri diverso da Peano
• Peano
• Pieri
- linguaggio
ideografico senza
rilievo epistemologico
- chiarezza, univocità,
capacità analitica
- tramite Pasch,
dipende
dall’esperienza
- Geometria = sistema
ipotetico deduttivo
- postulati ed enti
primitivi privi di
significato comune
- il linguaggio è uno
strumento
- totale astrazione
infatti:
• Il punto di vista di Pieri è:
“astratto, in quanto prescinde da ogni
interpretazione fisica delle premesse, e quindi
anche dalla loro evidenza ed intuitività
geometrica”
• Il punto di vista di Peano:
“gli enti primitivi e gli assiomi vogliono esser
desunti dall'osservazione diretta del mondo
esterno, e identificati con le idee che si
acquistano per via di induzione sperimentale da
certi determinati oggetti e fatti fisici.”
(Pieri 1899).
Pieri 1899
• La geomertria di posizione è una disciplina
astratta
“i cui soggetti sono mere creazioni del
nostro spirito, e semplici atti della nostra
volontà i postulati (senza escludere che
essi abbiano la loro prima radice in
qualche fatto esteriore): onde arbitrari gli
uni e gli altri, almeno in quanto non gli
coordiniamo ad un fine prestabilito, che
debba esser guida per il pensiero.”
Per Pieri i fondamenti di geometria devono
• Essere espressi con un linguaggio semi formale
• Avere un numero minimo di relazioni
fondamentali (non ulteriormente scomponibili)
• Avere un sistema assiomatico minimo
• Godere di indipendenza e non-contraddittorietà
(relativa)
• In 1897: punto, congiungente due punti + 19
postulati
“Ogni ragione o fatto pertinente al dominio della
geometria proiettiva non potrà essere in ultima
analisi che una combinazione logica delle
proposizioni primitive... ed un'affermazione più o
meno complessa circa gli enti primitivi punto
proiettivo e congiungente due punti proiettivi.”
In 1897, due anni prima di Hilbert, Pieri
afferma che:
“Le interpretazioni o specificazioni degli enti
primitivi sono al tutto arbitrarie: a patto,
s'intende, di tener conto per ogni singolo
caso delle proposizioni soltanto, che nascono
da premesse verificate in quello. E ogni qual
volta si attribuisce a ciascuno degli enti [0] e
[1] un significato speciale, onde risultino veri
senza eccezione i postulati I-XIX, si ottiene
un'interpretazione, o rappresentazione, di
tutta quanta la geometria proiettiva
ordinaria.”
1896: Un sistema di postulati per la
geometria projettiva degli iperspazii
• Succinta analisi delle premesse su cui potrebbe
•
•
logicamente fondarsi la G.P.I
Passare dal campo delle rette e dei piani
projettivi a quello molto più vasto delle forme
lineari di n.esima specie in uno spazio generale
Circa i postulati, non è detto che siano
indipendenti né irreducibili: essi bastano a
sostenere l’intero edificio d’una G.P. astratta
degli Iperspazi.
Pieri
• B. Russell e L. Couturat lo considerarono il
vero fondatore della matematica come
scienza ipotetica-deduttiva
• Non riuscì a inserirsi nel dibattito
internazionale
Conclusioni
• Fondamenti nella scuola italiana:
•
- “ordinario strumento di lavoro” e non come
campo di ricerca
- rigorizzazione delle teorie già esistenti e non
proiettata verso conoscenze più ardite
- importante connessione con la didattica
- crisi della scuola di Peano e suo isolamento
Hilbert:
- non ha solo tagliato il cordone tra geometria e
realtà empirica (allora la scuola italiana lo
avrebbe preceduto di 15 anni), ma ha dato
impulso allo studio di nuove geometrie
Fondamenti
• Importanza dell’assiomatica come
strumento
• Non si coglie l’importanza dell’edificazione
dei fondamenti quale autonomo settore di
ricerca
La scuola italiana chiude il processo di
riassesto della geometria sintetica e
proiettiva iniziato con v. Staudt e
“soffre” di una certa sudditanza rispetto
ad altre scuole.
Hilbert apre la strada a nuovi capitoli di
matematica e sintetizza egregiamente
e semplicemente le teorie della scuola
italiana dotandole di una veste nuova.
Bibliografia
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Bottazzini U.,1994, I principi della geometria e la filosofia "scientifica" di Federico Enriques in Federigo Enriques
filosofo e scienziato, Cappelli Bologna 1989; also in Bottazzini U., Va' pensiero, Mulino Bologna. 1994.
De Paolis R., 1880-81, Sui fondamenti della geometria projettiva, Atti della Regia Accademia dei Lincei, (3), 9,
489-503.
Enriques F., 1898, Lezioni di geometria proiettiva, Zanichelli, Bologna (2nd expanded. edition 1903; reprint 1996)
Enriques F., 1907, Prinzipien der Geometrie, Encyklopedie der mathematischen Wissenschaften, 3a, b1, 1-129;
French Translation, 1911
Fano G., 1892, Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva in uno spazio lineare a un numero
qualunque di dimensioni, Giornale di matematiche, 30, 106-132.
Freguglia P., 1992, Dalle equipollenze ai sistemi lineari, Quattroventi Urbino
Freudenthal H., 1957, Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie, Nieuw Archief voor Wiskunde, (4), 5, 105142.
Gray J., 1998, The foundations of Geometry and the History of Geometry, Mathematical Intelligencer, 20, 54-59.
Hilbert D., 1987, Grundlagen der Geometrie, 13th Edition with Supplements, Teubner, Stuttgart
Klein F., 1871, Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Erster Aufsatz), Mathematische Annalen, 4;
also in (Klein 1973, I, 254-305).
Klein F., 1874, Nachtrag zu dem “zweiter Aufsatz über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”,
Mathematische Annalen, 7; also in (Klein 1973, I, 344-350).
Pasch M.,1882, Vorlesungen über Neuere Geometrie, Teubner Leipzig
Peano G., 1889, I principii della geometria logicamente esposti, Bocca, Turin; also in (Peano 1957-59).
Pieri M., 1896, Un sistema di postulati per la geometria projettiva degli iperspazii, Rivista di Matematica 6, 83-90.
Pieri M., 1897-98, I principii della geometria di posizione composti in sistema logico deduttivo, Memorie. della
Regia Accademia delle Scienze di Torino, (2), 48, 1-62.
Segre C., 1884, Studio sulle quadriche in uno spazio lineare a un numero qualunque di dimensioni, Memorie della
Regia Accademia delle Scienze di Torino, (2), 36, p. 3-86.
Segre C., 1891, Su alcuni indirizzi nelle investigazioni geometriche, Rivista di Matematica, 1, 42-66.
Staudt K. C. G., 1847 Geometrie der Lage, Nürnberg; translated in Italian by M. Pieri, Geometria di posizione,
1889, Bocca Turin;