Metodi di ranking probabilistici
IR probabilistico




Il modello probabilistico: Il principio di pesatura
probabilitico, o probability ranking principle
(Naïve) Bayesian Text Categorization
Bayesian network
L’idea chiave è di classificare i documenti in
ordine di probabilità di rilevanza rispetto
all’informazione richiesta:
P(relevante|documentoi, query)
Richiami


Date due variabili aleatorie a e b:
Regola di Bayes
p (a, b)  p (a  b)  p (a | b) p (b)  p (b | a ) p(a )
p (a | b) p (b)  p (b | a ) p (a )
p (b | a ) p(a )
p ( a | b) 

p (b)
Probabilità
a posteriori

Odds:
Probabilità
a priori
p (b | a) p (a )
xa,a p(b | x) p( x)
p(a)
p(a)
O(a ) 

p(a ) 1  p(a)
Probability Ranking Principle
•Sia x un documento della collezione.
•Sia R la rilevanza di un documento rispetto ad una (specifica)
query e sia NR la non-rilevanza.
Si vuole stimare p(R|x) - la probablità che x sia rilevante.
p( x | R) p( R)
p( R | x) 
p( x)
p( x | NR) p( NR)
p( NR | x) 
p( x)
p(R),p(NR) - prob. a priori
di recuperare un
documento (non) rilevante
p ( R | x)  p( NR | x)  1
p(x|R), p(x|NR) - probabilità che, se si trova un documento
rilevante (non-rilevante), sia x.
Probability Ranking Principle (PRP)

Bayes’ Optimal Decision Rule
 x è rilevante iff p(R|x) > p(NR|x)
Probability Ranking Principle

Come si calcolano le probabilità condizionate?



Si usano stimatori
Il modello più semplice è il Binary Independence Retrieval
(BIR)
Assunzioni


La “Rilevanza” di ogni documento è indipendente dalla
rilevanza degli altri documenti.
Usare un modello di rilevanza Booleano:
R={0,1}

Osservare un inieme iniziale di risultati può aiutare l’utente a
raffinare la sua query
Strategia di Retrieval
probabilistico

Si stima quanto i singoli termini contribuiscano alla
rilevanza

Si combinano queste stime per assegnare una stima
all’intero documento

Si ordinano i documenti per probabilità decrescente
Binary Independence Model



“Binary” = Boolean: i documenti vengono
rappresentati
mediante un vettore booleano


x  ( x1 ,, xn )

xi  1
iff wi è contenuto in dj.
“Indipendenza”: i termini occorrono nei
documenti indipendentemente
Documenti diversi possono essere rappresentati
mediante lo stesso vettore!
Binary Independence Model
q
di
R
P(R/q,di)
Rank(di)=P(R/q,di)
Binary Independence Model


Query: vettore booleano
Data una query q,



Per ogni documento d calcola p(R|q,d).
Sostituisci con il calcolo di p(R|q,x) dove x è il
vettore booleano che rappresenta d
Si utilizza la regola di Bayes ed il concetto di
“odd”:

p ( R | q ) p ( x | R, q )



p ( R | q, x )
p( x | q)
O ( R | q, x ) 
  p ( NR | q) p ( x | NR, q)
p ( NR | q, x )

p( x | q)
Binary Independence Model



p ( R | q, x )
p ( R | q ) p ( x | R, q )
O ( R | q, x ) 
 
 
p( NR | q, x ) p( NR | q) p( x | NR, q)
Costante per
ogni query
Va stimato
• Si usa l’assunzione di Indipendenza :

n
p( xi | R, q)
p( x | R, q)


p( x | NR, q) i 1 p( xi | NR, q)
•Dunque :
n p ( x | R, q )

i
O ( R | q, x )  O ( R | q )  
i 1 p ( xi | NR, q )
Binary Independence Model: effetto
dell’inversione
d
q
x1
x2
xi
xn
R
n p ( x | R, q )

i
O ( R | q, x )  O ( R | q )  
i 1 p ( xi | NR, q )
Binary Independence Model
n
O ( R | q, d )  O ( R | q )  
i 1
p( xi | R, q)
p( xi | NR, q)
• Ma xi (componente del vettore binario associata a wi) è o 0 o 1:
O ( R | q, d )  O ( R | q )  
xi 1
p( xi  1 | R, q)
p( xi  0 | R, q)

p( xi  1 | NR, q) xi 0 p( xi  0 | NR, q)
• Sia pi  p( xi  1 | R, q); ri  p( xi  1 | NR, q);
• Si assume, per tutti i termini che non occorrono nella query:
pi  ri
allora...
Binary Independence Model
Q= 1 1 1 0 0 0
D= 1 1 0 0 0 1

O ( R | q, x )  O ( R | q ) 
pi
1  pi
 
  (1)

x q 1 ri x 0 1  ri x ?
i
i
i
qi 1
pi (1  ri )
1  pi
 O( R | q)  
 
x q 1 ri (1  pi ) q 1 1  ri
i
i
i
i
qi 0
Esempio
Q= 1 1 1 0 0 0
D= 1 1 0 0 0 1
p1 p 2 (1  p3) (1  p 4) (1  p5) p 6

r1 r 2 (1  r 3) (1  r 4) (1  r 5) r 6
p1 p 2 (1  p3)

r1 r 2 (1  r 3)
p1 p 2 (1  p3) (1  p3) (1  r1) (1  p1) (1  r 2) (1  p 2)

r1 r 2 (1  r 3) (1  r 3) (1  p1) (1  r1) (1  p 2) (1  r 2)
p1 (1  r1) p 2 (1  r 2) (1  p1) (1  p 2) (1  p3)
r1 (1  p1) r 2 (1  p 2) (1  r1) (1  r 2) (1  r 3)
qi=1,xi=1
qi=1
Binary Independence Model

O( R | q, x )  O( R | q) 
pi (1  ri )
1  pi


xi  qi 1 ri (1  pi ) qi 1 1  ri
Costante per
ogni query
• Retrieval Status Value:
Questa è la sola quantità che
va stimata per il ranking
pi (1  ri )
pi (1  ri )
RSV  log 
  log
ri (1  pi )
xi  qi 1
xi  qi 1 ri (1  pi )
Binary Independence Model
• Tutto si riduce a stimare RSV.
pi (1  ri )
pi (1  ri )
RSV  log 
  log
ri (1  pi )
xi  qi 1
xi  qi 1 ri (1  pi )
pi (1  ri )
RSV   ci ; ci  log
ri (1  pi )
xi  qi 1
Come calcoliamo i ci dai dati a disposizione ?
Binary Independence Model
• Stimare i coefficienti RSV
• Per ogni termine i della query osserva la tabella dei documenti
rilevanti e non : Documenti Rilevanti Non-Rilevanti Totale
Xi=1
Xi=0
Totale
s
S-s
n-s
N-n-S+s
n
N-n
S
N-S
N
(n  s)
ri 
• Stime:
(N  S)
s ( S  s)
ci  K ( N , n, S , s )  log
(n  s) ( N  n  S  s)
s
pi 
S
Per ora,
assumiamo
non esistano
termini
che non
compaiono mai.
Binary Independence Model

Ma come si può riempire la tabella di rilevanza
per ciascun termine della collezione?

Data una collezione di N documenti, posso
calcolare n (il numero di documenti con Xi=1) e
dunque N-n (quelli con Xi=0), ma come si stima il
valore S (numero di documenti
complessivamente rilevanti per la query)??
Stima di ri (P(xi=1/NR,q))

Posso approssimare N-S con N (se N>>S  N-S N) .
Allora, ri (prob. di un documento non rilevante data una
query) è stimata da: n/N , e:
p (1  r )
ci  log


log (1– ri)/ri = log (N– ni)/ ni ≈ log N/ ni = IDF!
i
ri (1  pi )
pi (probabilità di occorrenza di wi in documenti rilevanti,
data la query) si può stimare in vari modi:



i
Facendo selezionare all’utente alcuni documenti rilevanti di
esempio
Con una costante, dipendente solo dal valore idf dei termini (i
termini più comuni nella collezione hanno probabilità più
bassa di rilevanza)
Proporzionale all’occorrenza dei termini nella collezione ( i
termini più frequenti in assoluto sono i più rilevanti. In
generale si usa il log della frequenza)
Stima iterativa di pi (P(xi=1/R,q))
1.
Assumi pi costante per tutti i termini wi della query

2.
Ordina i documenti della collezione sulla base dei ci
(formula RSV) calcolati per tutti i termini della query, e
mostra all’utente i primi |V | :

3.
pi = 0.5 per ogni termine presente nella query
Nota: se pi = 0.5 e ri ni/N allora ciIDF!
Si cerca di migliorare le stime di pi e ri, nel seguente
modo:

Si utilizza la distribuzione dei termini wi nei documenti di V.
Sia Vi il set di documenti in V che contiene wi


pi si approssima con la distribuzione dei
termini della query nei documenti recuperati
Si assume che quelli non in V non siano rilevanti:

4.
pi = |Vi| / |V|
ri = (ni – |Vi|) / (N – |V|)
Torna allo step 2. e continua fino alla convergenza
21
Aggiustamenti della stima

Per piccoli valori di V e Vi (ex. Rispettivamente 0 e 1) si
usano degli aggiustamenti:
ni
ni
Vi 
ni  Vi 
N ,r 
N
pi 
i
V 1
N V 1

Probabilistic Relevance Feedback
1.
2.
3.
Come prima, assegna un valore costante ai pi ed estrai
un primo set V di documenti.
Interagisci con l’utente e chiedi di selezionare alcuni
documenti rilevanti e non rilevanti in V (in tal modo
ottengo un subset di V’ documenti dei quali conosco S e
V’-S)
Stima nuovamente pi e ri sulla base di questi documenti

Oppure combina questa informazione con la precedente,
aumentando o diminuendo le precedenti stime
( 2)
i
p
4.
| Vi | pi(1)

| V | 
Ripeti, generando una successione di approssimazioni.
Conclusioni


E’ possibile ottenere delle stime di rilevanza.
Tuttavia è necessario fare delle assunzioni
restrittive:



Indipendenza dei termini
I termini non presenti nella query non
determinano il risultato
Si usa una rappresentazione booleana dei
documenti e delle query
Alcune di queste assunzioni possono essere
rimosse
Rimuovere l’assunzione di
indipendenza dei termini




In generale i termini non
occorrono
indipendentemente
Ma la stima delle
dipendenze può essere
molto complessa (catene
di Markov)
van Rijsbergen (1979)
propose un semplice
modello di dipendenza
Ogni termine dipende da
uno più termini
Reti Bayesiane per IR

I modelli probabilistici standard assumono che non si
possa stimare P(R|D,Q)



Assumono l’indipendenza fra D e Q e stimano P(D|R)
Con le Reti Bayesiane è possibile modellare una forma di
dipendenza
Cosa è una Bayesian network?


Un grafo aciclico diretto DAG
Nodi:

Eventi, variabili aleatorie, o variabili



Possono assumere valori
Per semplicità, nel modell BN-IR, tali valori si assumono booleani
Archi:

Modellano una dipendenza diretta fra nodi
Bayesian Networks
a,b,c - nodi
a
• Le reti Bayesiane modellano la
dipendenza fra eventi
p(b)
b
p(a)
c
•Inference in Bayesian Nets:
Dipendenza
condizionale
p(c|ab) per ogni valore
di a,b,c
P(c)  P(c /a)P(a)  P(c /b)P(b)
•note le probabilità a priori per le
radici del grafo
e le probabilità condizionate
(archi) si può calcolare la
probabilità a priori di ogni evento
condizionato.
• Se sono noti i valori di verità di
alcuni nodi (ad esempio,
l’osservazione dell’evento b e di
a) si possono ricalcolare le
probabilità dei nodi
Bayesian Networks
LINK MATRIX (matrice dei collegamenti)

a
b
p(b)
p(a)
P(c=1/a=1,=1)
c
c/ab
1
0
00
01
10
11
Esempio giocattolo
f
f
0 .3
0 .7
Esame
(f)
f f
n 0.9 0.3
n 0.1 0.7
Notte
insonne
(n)
Consegna progetto d
d
(d)
fd fd
Depressione g 0.99 0.9
g 0.01 0.1
(g)
0. 4
0. 6
fd fd
0.8
0.3
0.2
0.7
LINK MATRIX
t
t
g
0.99
0.01
g
0.1
0.9
Cioccolata e panna
(t)
P(g/ f ,d)
Assunzioni di Indipendenza
Esame
(f)
Notte
insonne
(n)
Consegna progetto
(d)
Depressione
(g)
Cioccolata e panna
(t)
• Assunzione di indipendenza:
P(t|g, f)=P(t|g)
• Probabilità congiunte:
P(f d n g t)
=P(f) P(d) P(n|f) P(g|f d) P(t|g)
Chained inference


Evidenza - si parte dal valore di alcuni nodi (ad
es. radice)
Inferenza

Si calcola la “credenza” o belief (rappresentata
eventualmente da probabilità) degli altri nodi



Probabilità condizionata all’evidenza rappresentata dai
nodi “conosciuti”
Due tipi di inferenza: Diagnostica o Predittiva
Complessità computazionale

Per una generica rete: NP-hard


Le reti ad albero sono più facilmente trattabili
Alcuni autori propongono metodi approssimati (ad
esempio basati su programmazione dinamica)
Esempio giocattolo
f
f
0 .3
0 .7
Esame
(f)
Consegna progetto d
d
(d)
0. 4
0. 6
vera
f f
n 0.9 0.3
n 0.1 0.7
t
t
Notte
insonne
(n)
g
0.99
0.01
g
0.1
0.9
fd fd
0.99 0.9
Depressione g
g 0.01 0.1
(g)
Cioccolata
e panna

(t)
fd fd
0.8 0.3
0.2
0.7
vero
falso
P(t)=0,99x0,9+0,1x0,1
Modello bayesiano per IR

Obiettivo


Data una richiesta di informazione da parte di un
utente (evidenza) stima la probabilità che un
documento soddisfi la richiesta
Modello di Retrieval


Modella i documenti come una rete (document
network)
Modella il bisogno informativo come una query
network
Belief Network Model: un modello di
ranking basato su Reti Bayesiane
Definizioni:
K={k1, k2, ...,kt} spazio di campionamento (o spazio dei
concetti)
u  K un subset di K (un concetto)
ki un termine indice (concetto elementare)
k=(k1, k2, ...,kn) nt un vettore associato ad ogni concetto u
tale che gi(k)=1  ki  u (pesi unitari)
ki una variabile aleatoria binaria (cioè ki0,1 ) associata
al termine indice ki , t.c. ki = 1  gi(k)=1  ki  u
Belief Network Model
Definizioni (2):






un documento dj e una query q sono rappresentati come
concetti in K, composti dai termini indice contenuti in dj e q.
Sia dunque c un concetto generico in K (documento o query)
P(c)=uP(c|u) P(u) è una distribuzione di probabilità P su K
P(c) è il definito come il grado di copertura dello spazio K
mediante c
Questa copertura è stimata confrontando ogni concetto in K (“
u”) con c, e sommando i contributi, pesati con le probabilità dei
singoli concetti u.
Si assume inizialmente equiprobabilità delle sottostringhe u in K
(se ho t termini, ciascuno dei quali può essere presente o
assente in u, ci sono 2t possibili modi di formare concetti u),
cioè: P(u)=(1/2)t
Belief Network Model
Topologia della rete
q
k1
cq
lato query
ki
k2
kt
ku
k u
lato documento
cd
cd1
d1
dj
dn
n
Belief Network Model
Il ranking di un documento dj rispetto ad una query q è
interpretato come una relazione di corrispondenza fra
concetti, e riflette il grado di copertura che il concetto dj
fornisce al concetto q.
Documenti e query sono trattati nello stesso modo, cioè
sono entrambi concetti nello spazio K.
Assunzione:
P(dj|q) viene considerato come il rank del documento dj rispetto
alla query q.
Belief Network Model
Ranking di dj
P(dj|q) = P(dj  q) / P(q)
~ P(dj  q)
~ u P(dj  q | u) P(u)
~ u P(dj | u) P(q | u) P(u)
~ k P(dj | k) P(q | k) P(k)
q
k1
ki
k2
kt
Questo fattore
compare in tutti i
P(dj/q) dunque può
essere trascurato
Assumendo q e
dj condizionalmente
indipendenti rispetto
a u, come si evince
dal grafo delle
dipendenze nella rete
ku
Ogni vettore k definisce un concetto u
d1
dj
dn
Belief Network Model
Dunque: P(dj|q) ~ k P(dj | k) P(q | k) P(k)
Occorre specificare le probabilità condizionate P(dj | k) e
P(q | k) . Differenti strategie per modellare P(dj | k) e
P(q | k) portano a diversi modelli di ranking.
Sussumendo un modello vettoriale per i pesi:
 Definisci il vettore ki come segue:
ki = k | ((gi(k)=1)  (ji gj(k)=0))
Il vettore ki si riferisce ad uno stato del vettore k in cui solo il nodo ki
è attivo (g(ki)=1) e tutti gli altri non lo sono. Questo riflette la strategia
di ranking tf-idf, che somma individualmente il contributo di ogni
keyword. Quindi, si considera il contributo di ogni termine ki
singolarmente.
Belief Network Model
P(dj|q) ~ k P(dj | k) P(q | k) P(k)
Per il modello vettoriale:
Definisci
peso tf-idf di ki in q
ki compare in q
(wi,q / |q|)
se (k = ki ) (gi(q)=1)
0
se (k  ki ) (gi(q)=0)
P(q | k) =
q
t

(wi,q )2
P(¬q | k) = 1 - P(q | k)
i1
 (wi,q / |q|) una versione normalizzata del peso del
termine indice ki nella query q
Belief Network Model
Per il modello vettoriale
Definisci
dj 
t
(wi, j ) 2
i1

(wi,j / |dj|) se (k = ki ) (gi(dj)=1)
P(dj | k) =
0
se (k  ki ) (gi(dj)=0)
P(¬ dj | k) = 1 - P(dj | k)
 (wi,j / |dj|) una versione normalizzata del peso del
termine indice ki nel documento d,j
Vantaggi del Belief Network
model


Per calcolare il rank di un documento, considera solo
gli stati della rete in cui i nodi attivi sono quelli che
compaiono nella query, quindi il costo è lineare nel
numero dei documenti della collezione
E’ una variante moderna dei metodi di ragionamento
probabilistico, che consente una combinazione di
distinte sorgenti di evidenza. I modelli più avanzati
consentono di incorporare nel modello evidenze
derivate da sessioni precedenti, e feedback
dell’utente.
Reti Bayesiane per IR (un modello
più complesso)
di -documenti
ti - rappresentazioni dei documenti
dn
ri - “concetti”
Document Network
d1
d2
t1
t2
r1
r2
c1
c2
q1
Query Network
E’ una rete complessa, ma
i calcoli vanno fatti una volta
per tutte
r3
tn
rk
cm
ci - query concepts
Rete piccola, va calcolata
per ogni query
q2
qi - high-level concepts
I
I - goal node
Bayesian nets per IR
P(di)
Documenti
d1
d2
Document
Network
P(ti/di)
t1
P(ci/ti)
P(qj/ci)
t3 Termini
t2
c1
c2
c3
q1
q2
i
Concetti
Query
Network
Operatori booleani della query
(AND/OR/NOT)
Bisogno informativo
Esempio
Macbeth
Amleto
Document
Network
tormento
tormento
ambizione
ambizione
OR
doppiezza
ambiguità
NOT
User query
Query
Network
Bayesian Nets per IR


Costruisci la rete dei Documenti (una sola volta !)
Per ogni query




Costruisci la migliore Query Network
Collegala alla Document Network
Trova un sottoinsieme di documenti di’ che
massimizza il valore di probabilità del nodo I (best
subset).
Restituisci i di’s come risposta alla query.
argmax P(I /Dk )
Dk D
Stima delle probabilità


Prob. a priori dei doc:
P(d) = 0,5
P(t|d)




Es: basata su tf.idf
1 1
P (ti  true / d j  true)    ntfij  nidfi
2 2
N
log( )
tfij
ni
ntfij 
nidf 
max(tf j )
log( N )
P(c|t)


Caso semplice: =1
Si può usare un thesaurus
(dipende dall’ambiguità del
termine). Per s “sensi”, 1/s
P(Q|c): dipende dalla forma
della query booleana
Es:
pi  P(ci  true)
POR (Q)  1 (1 p1)  (1 p2)...(1 pn)
PAND(Q)  p1  p2 .... pn
PNOT (Q)  1 pi
Dettagli: http://citeseer.ist.psu.edu/turtle91inference.html

H.R. Turtle and W.B. Croft. 1990. Inference
Networks for Document Retrieval.
Proc. ACM SIGIR: 1-24.
Macbeth
Amleto
Document
Network
tormento
tormento
ambizione
ambizione
OR
doppiezza
ambiguità
NOT
User query
Query
Network