Controllo ottimo delle superfici di
commutazione nei sistemi ibridi
autonomi
Mauro Boccadoro*, Magnus Egerstedty e Yorai Wardiy
*DIEI - Università di Perugia
y ECE - Georgia Institute of Technology, Atlanta (GA) USA
Sommario
1. Controllo ottimo di sistemi ibridi
2. Controllo tramite superfici di
commutazione parametrizzate
3. Aspetti implementativi
4. Applicazioni
5. Conclusioni
Sistemi ibridi
Dinamica:
Siano ti , xi
gli istanti e gli stati di commutazione
Controllo ottimo di sistemi ibridi
Dinamica:
Funzione costo:
Problema: trovare ingressi continui u(.),
sequenza e istanti di commutazione che
minimizzino J
Caso fi=fi(x)
 s=s(i,t)
 s=s(i,x)
controllo in ciclo aperto
controllo in feedback
Superfici di commutazione ottime
Controllo ottimo di un sistema ibrido autonomo
tramite la “progettazione”
di superfici di
commutazione
parametrizzate, i.e.,
Trovare i valori dei parametri ai che minimizzano J
Ipotesi
• L(x) differenziabile
• modi fi Lipschitz in Rn
• gi differenziabili, con #h parametri
• Raggiungimento delle superfici di commutazione in
maniera trasversale (implica “continuità” delle
esecuzioni del sistema), i.e.,
detti ti e xi gli i-esimi istanti di commutazione e
corrispettivi stati
dove
Dinamica variazionale
dei sistemi ibridi
Dinamica variazionale
dei sistemi ibridi (2)
La dinamica variazionale di sistemi “ordinari”
è data da
dove
sta per la matrice di transizione di stato del
sistema linearizzato
Per sistemi ibridi con commutazioni dipendenti dallo stato
Termini
con
superfici
parametrizzate,
Dinamica autonoma
forzanti
dove
Approccio alla soluzione
1) Calcolare il gradiente dJ/da, a={a1,a2,…}
Approccio alla soluzione (2)
2) Applicare algoritmi numerici a discesa del
gradiente (soluzioni ottime locali)
Complessità del calcolo del gradiente:
Sono necessarie due integrazioni: una in avanti per i
termini Rk e LkT, una all'indietro per p(tk+)
Si noti che le traiettorie devono continuare ad essere
trasversali durante l’ottimizzazione: ciò implica
•
continuità delle esecuzioni (quindi, continuità di J in a)
•
applicabilità dei metodi a discesa del gradiente
1. Controllo ottimo di sistemi ibridi
2. Controllo tramite superfici di
commutazione parametrizzate
3. Aspetti implementativi
4. Applicazioni
5. Conclusioni
Continuità delle soluzioni
Discontinuità delle soluzioni
Discontinuità delle soluzioni
Algoritmo di Armijo
Consente di trovare il passo ottimale nella discesa del
gradiente tramite un controllo della funzione obiettivo J
J continua
J discontinua
Possibilità di estendere l’algoritmo per l’ottimizzazione
di funzioni discontinue
Sommario
1. Controllo ottimo di sistemi ibridi
2. Controllo tramite superfici di
commutazione parametrizzate
3. Aspetti implementativi
4. Applicazioni
5. Conclusioni
Applicazione (1):
Stabilizzazione
Applicazione (1):
Stabilizzazione
Stabilizzazione tramite
ottimizzazione delle superfici di
commutazione
Applicazione (2): distanze di
sicurezza per robot mobili
• Intro: paradigma “reattivo” e
“deliberativo” nella robotica mobile
– Paradigma reattivo: il robot commuta tra
differenti comportamenti quando vengono
percepiti variazioni ambientali
• progettazione modulare (modi di comportamento
concepiti per compiti specifici)
– Paradigma deliberativo: possono essere
elaborati cammini ottimali
• alta complessità computazionale
Ottimalità per sistemi di
navigazione reattivi
Dato un set di comportamenti, progettare le leggi
di commutazione ottime
e.g., missione di raggiungere una destinazione evitando un
ostacolo
Dati i comportamenti: vai-a-destinazione e fuggidall’ostacolo, identificare le superfici di
commutazione ottime attorno all’ostacolo
Nei lavori correlati: viene stabilita una distanza di sicurezza
dall’ostacolo
• Qual’è il suo ottimo?
• La forma circolare di tale superficie di commutazione è
ottima?
Ottimalità per sistemi di
navigazione reattivi
xg
dinamica
xo
modi
Due superfici di
commutazione circolari
centrate nell’ostacolo
costo
x0
Soluzione: algoritmo a discesa
del gradiente
Soluzione: algoritmo a discesa
del gradiente
Soluzione: algoritmo a discesa
del gradiente
Risultati (1)
Le due superfici tendono a collassare, per
diverse scelte dei parametri del sistema
Utilizzare una singola superficie di
commutazione
Risultati (2)
• Ottimizzazione per una
singola superficie di
commutazione
distanza di sicurezza
• Scelta di superfici non
circolari, e.g. ellittiche
risultano degli ottimi
locali migliori degli
ottimi globali per
superfici circolari
Conclusioni
Controllo ottimo dei sistemi ibridi autonomi
tramite superfici di commutazione
parametrizzate
– Stabilizzazione
– Applicazione alla robotica mobile
– Per lo studio delle politiche ottime di sistemi
manifatturieri ? (dinamiche ibride, superfici di
commutazione correlate ai livelli delle scorte...)
Problemi aperti
– Discontinuità delle traiettorie
– Algoritmi di ottimizzazione per funzioni discontinue
– Dipendenza dalle condizioni iniziali