Tema 3: Teorema-Limite Centrale
N
ZN   Xi
X i IID con valor medio  e varianza  2
i 1
Indipendenti ed Identicamente Distribuite
SN 
Z N  Z N
Z

N
Z N  N
N
Z  E Z N   N ,  2  var Z N   N 2
ZN
N
E SN   0 , var SN   1
N 1 volte
f ZN ( z)  f X ( z)  f X ( z)  f X ( z) 
Teorema-Limite
Centrale (T-L.C.):
lim f S N ( s ) 
N 
 f X ( z)
1
e
2

s2
2
f SN (s)  N  f Z N


N  s  N
lim S N  X 0  N  0,1
N 

f SN ( z )
f Z15 ( z ) 

1
30 2
f S15 ( s ) 
( z 15 )2
e
1
e
2

30 2
s2
2
Verifica sperimentale del T.-L.C.
Somma di N v.a. indipendenti
uniformemente distribuite su [0,1]
1
0.9
N=2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.8
0.4
0.3
0.7
N=3
0.2
0.6
0.1
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.4
0.3
ddp effettiva: triangolare
0.2
0.1
istogramma normalizzato di Z2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ddp Gaussiana con stessa media e varianza
ddp effettiva: rami di parabola
3
Verifica sperimentale del T-L.C. (2)
0.7
0.6
N=5
0.5
N=10: condizioni quasi asintotiche
0.4
0.3
0.45
0.2
0.4
0.1
0.35
N=10
0.3
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0.25
0.2
0.15
ddp effettiva: 2 rami con andamento
polinomiale di ordine N-1
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Verifica sperimentale del T-L.C. (3)
Effetto della skewness:
somma di N v.a. indipendenti
distribuite secondo Rayleigh
0.7
0.6
N=2
0.5
[ con valore quadratico medio = 1 ]
0.4
0.3
0.7
0.2
0.6
0.1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
N=3
0.4
0.3
0.2
0.1
istogramma normalizzato di Z2
ddp Gaussiana con stessa media e varianza
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Verifica sperimentale del T-L.C. (4)
0.4
0.35
N=5
0.3
N=10: condizioni quasi asintotiche
0.25
0.2
0.35
0.15
0.3
N=10
0.1
0.25
0.05
0
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.15
0.1
0.05
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Verifica sperimentale del T-L.C. (5)
N=50: condizioni “praticamente” asintotiche
0.2
somma di N=50 v.a. indipendenti
distribuite secondo Rayleigh
0.18
0.16
[ con valor quadratico medio = 1 ]
0.14
0.12
0.1
0.14
0.08
0.12
effetto della
skewness
0.06
0.1
0.04
0.02
0.08
0
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
0.06
somma di N=50 v.a. indipendenti
uniformemente distribuite su [0,1]
0.04
0.02
0
30
35
40
45
50
55
60
65
Verifica sperimentale del T-L.C. (6)
Esercizio proposto:
 Generare NR=105 realizzazioni della v.a. SN , somma (normalizzata)
di N variabili aleatorie IID, uniformi in [0,1], con N=2, 5, 10 e 50
[istruzioni utili: rand, sum]
 Tracciare gli istogrammi normalizzati (uno per ogni valore di N)
della v.a. SN e confrontarli con la ddp di una v.a. Gaussiana standard
[istruzioni utili: hist, bar, normpdf, plot]
  E Xi
N
SN 
X
i 1
i
 N
N

1
N
N
X
i 1

i

N
 2  var  X i 
Esempio di file.m: sommaunif.m
function [eta,sigma] = sommaunif(N)
% calcolo istogramma norm. della v.a. ZN, somma di N v.a. uniformi IID
% e della ddp Gaussiana con stessa media e dev. stand. della somma
% IN: N=numero di v.a. uniformi ed indipendenti da sommare;
% OUT: eta=media e sigma=deviazione standard della v.a. ZN;
%
uscita su video di istogramma normalizzato della v.a. ZN
Nr=10^5;
% numero di realizzazioni
eta=N*1/2
% calcolo media e dev. standard della v.a. ZN ,
sigma=sqrt(N*1/12)
% somma di N v.a. uniformi su [0,1]
x=rand(N,Nr);
Zn=sum(x);
% genera NR campioni della v.a. ZN
[n,a]=hist(Zn,100);
bar(a,n/Nr/(a(2)-a(1)));
% istogramma normalizzato
hold on
plot(a,normpdf(a,eta,sigma),'r-')
% ddp Gaussiana
Esempio di file.m: sommarayl.m
function [eta,sigma] = sommarayl(N)
% calcolo istogramma norm. della v.a. ZN, somma di N v.a. di Rayleigh IID
% e della ddp Gaussiana con stessa media e dev. standard della somma
% IN: N= numero di v.a. di Rayleigh indipendenti da sommare
% OUT: eta=media e sigma=deviazione standard della v.a. ZN
%
uscita su video di istogramma normalizzato della v.a. ZN
Nr=10^5;
% numero di realizzazioni
eta=N*sqrt(pi/2)/sqrt(2)
sigma=sqrt(N*(2-pi/2)/2) %
%
%
x=rand(N,Nr);
x=sqrt(-log(x));
%
Zn=sum(x);
calcolo media e dev. Stand. della v.a. ZN,
somma di N v.a. di Rayleigh
con parametro m (valor quadratico medio) = 1
trasformaz. ZMNL per ottenere la v.a. di Rayleigh
% genera NR campioni della v.a. somma
[n,a]=hist(Zn,100);
bar(a,n/Nr/(a(2)-a(1)));
% istogramma normalizzato
hold on
plot(a,normpdf(a,eta,sigma),'r-')
% ddp Gaussiana