CORSO DI MODELLI
DI SISTEMI BIOLOGICI
LAUREA IN
INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA
PROPRIETÀ STRUTTURALI:
ANALISI DELL’IDENTIFICABILITÀ A PRIORI
Un problema di base che spesso ricorre nello sviluppo dei modelli
matematici è costituito dal fatto che alcuni parametri del modello sono
sconosciuti. Questo problema assume un particolare significato quando i
parametri sconosciuti rappresentano caratteristiche del sistema che, pur
non direttamente misurabili, hanno però un preciso significato fisico. In tal
caso ci si può chiedere se tali parametri possano essere stimati
indirettamente osservando la risposta del sistema a determinati
ingressi.
Il termine IDENTIFICABILITÀ si riferisce allo studio della
possibilità che l‘ informazione ottenibile da un esperimento o da un
insieme di esperimenti sia sufficiente a dare un'unica soluzione
rispetto ai parametri. Il problema è quindi quello di verificare,
prima di tentare di effettuare effettivamente la stima dei parametri
incogniti, se la struttura prescelta per il modello non renda questo
tentativo privo di significato. IDENTIFICABILITÀ A PRIORI o
Si consideri un generico processo P da modellare. Si supponga che su tale
processo agiscano un ingresso u ed un rumore n, si supponga inoltre di
conoscere la risposta y(t). Si assuma che la struttura M del modello sia imposta
dalla sua conoscenza a priori. Come è noto la procedura per identificare i
parametri di M dal comportamento ingresso-uscita di P consiste nell'applicare
al processo e al modello le stesse condizioni sperimentali e nel correggere i
valori dei parametri del modello in modo che la sua uscita risulti il più vicino
possibile all'uscita del processo. Ci si porrà nella condizione ideale per cui:
1.
IL PROCESSO HA LA STESSA STRUTTURA DEL MODELLO
(ASSENZA DI ERRORI DI MODELLO)
2.
IL PROCESSO È PURAMENTE DETERMINISTICO (ASSENZA
DI ERRORI DI MISURA)
3.
SI POSSONO USARE SOLO INGRESSI APPARTENENTI AD UN
CERTO INSIEME U E LA DURATA DEGLI ESPERIMENTI ED
IL NUMERO DELLE MISURE NON SONO LIMITATI.
Dalle 1. e 2. consegue che il modello ed il processo avranno uscite identiche,
se il modello è messo bene a punto. Si vuole sapere se tale uguaglianza delle
uscite per ogni possibile ingresso implica che i parametri del modello siano
uguali ai "veri" parametri del processo.
DEFINIZIONI
Sia M() un modello dinamico con vettore d'ingresso u(t)URr, con vettore dei
parametri Rr e di uscita y(t,, u) Rm. Sia M(*) un modello avente la stessa
struttura di M( ) I due vettori  e * si dicono indistinguibili se le uscite dei
corrispondenti sistemi sono identiche per qualunque ingresso e qualsiasi stato iniziale .
Il parametro  è localmente strutturalmente identificabile per la classe di
ingressi U se e solo se per ogni , esiste un intorno  ( ) tale che:
 *  (  )  
y( t , ,u )  y( t , *,u )
 t  R   u U
   *
Il parametro  è globalmente strutturalmente identificabile per la classe di ingressi U
se e solo se:
 * 
y( t , ,u )  y( t , *,u )
 t  R   u U
  *
Il modello M() è localmente (globalmente) strutturalmente identificabile se e solo se
tutti i suoi parametri sono localmente (globalmente) strutturalmente identificabili.
CRITERI DI VERIFICA DELL’IDENTIFICABILITA’
MODELLI LINEARI

x( t )  Ax( t )  Bu( t )
y( t )  Cx( t )
x= (x1,x2,...,xn)' vettore di stato
u = (u1,u2,...,ur)' vettore d'ingresso
y = (y1,y2,...,ym)' vettore delle uscite misurate
A, B, C matrici ad elementi costanti (nxn), (nxr), (mxn)
IN GENERALE SI PUÒ ASSUMERE CHE I PARAMETRI INCOGNITI
COINCIDANO CON ALCUNI ELEMENTI DELLE MATRICI A, B, C
METODO DELL’EQUIVALENZA ALGEBRICA
Due sistemi S1 e S2 si dicono equivalenti se, per lo stesso ingresso u(t), per ogni
stato iniziale x1 nel sistema S1 si ha almeno uno stato iniziale x2 nel sistema S2 per
cui si verifichi l’uguaglianza delle uscite
y1 (t) = y2 (t)
t
t
0
0
C1 e A1t x1   C1 e A1 ( t  τ ) B1u( τ )dτ C 2 e A2t x 2   C 2 e A2 ( t  τ ) B2 u( τ )dτ
Un sistema S caratterizzato dalle matrici A, B, C può avere più sistemi equivalenti; in
particolare se P é una matrice non singolare con le stesse dimensioni di A il sistema S’
caratterizzato dalle matrici:
A’=PAP-1
B’=PB
C’=CP-1
è equivalente al sistema S
Relazioni di EQUIVALENZA ALGEBRICA
METODO DELL’EQUIVALENZA ALGEBRICA
Nella maggior parte delle applicazioni biologiche, la struttura e i parametri del
sistema sono noti a priori. Se indichiamo con H la sottofamiglia che si ottiene
facendo variare i parametri in tutti i modi possibili si può dire che;
UNA SOTTOFAMIGLIA H É IDENTIFICABILE RISPETTO AI
PARAMETRI SE E SOLO TUTTE LE RAPPRESENTAZIONI
EQUIVALENTI IN H SONO IDENTICHE.
TEOREMA Si assuma che la dimensione della rappresentazione
del sistema sia parte delle conoscenze a priori usate per definire H
e che ogni rappresentazione in H sia osservabile (raggiungibile);
allora H é identificabile rispetto ai parametri se e solo se tutti i
membri equivalenti di H sono identici
CIÒ SI TRADUCE, NELL’APPLICAZIONE PRATICA, NELLA
VERIFICA CHE LA MATRICE P DELLE RELAZIONI DI
EQUIVALENZA ALGEBRICA COINCIDA CON LA MATRICE
IDENTITÀ I
METODO DEI COEFFICIENTI DI DI MARKOV
C( θ )  B( θ )


 C( θ )  A( θ )  B( θ ) 


J(θ )  







2 n 1
C( θ )  A ( θ )  B( θ )
Data la matrice dei coefficienti di
Markov il sistema lineare è
identificabile rispetto ai parametri se
e solo se
 J 1
 θ
 1
 
rango  

 
 J 2 n
 θ
 1






J 1 
θ p 

 
   p

 
J 2 n 
θ p 
TALE METODO NON VERIFICA L’UNICA IDENTIFICABILITÀ MA SOLO
L’IDENTIFICABILITÀ
METODO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
Tale metodo è basato sull'analisi della
matrice (mxr) delle funzioni di
trasferimento
H(s,) = [ Hij (s, ) ]= C()[ sI - A() ]-1 B()
i =1,...,r
j=1,...,m
Tale approccio fa riferimento ai
coefficienti dei polinomi a numeratore
e denominatore delle Hij e la matrice
Jacobiana viene cosi` costruita:
rango
 β111

θ1
 

 
 αn11

θ1

 
 
β qp
 1 θ
1

 
 

 qp
αn
θ1


θ p 
 
 
11

αn
θ p 

 
 

αnqp
θ p 

 
 

 
qp
αn

θ p 
11

β
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TALE METODO NON VERIFICA L’UNICA IDENTIFICABILITÀ
L’IDENTIFICABILITÀ

p
MA SOLO
ESEMPIO 1
u
Si consideri il modello
farmacocinetico di figuta
comunemente
usato
per
studiare i parametri di
assorbimento di certi farmaci
dscritto dalle equazioni:
 k 21



x

 k 21
y  0
0 
 1
x   

 
 k02 
0 
1  x
x’(0) = [0 0]
K21
1
Tratto
gastrointestinale
y
2
Sangue
K02
Metodo dell'equivalenza algebrica
Le conoscenze a priori sulla struttura del sistema implicano
 a
Ha  

 a
0


 b
H b  1
0 t
Ogni sistema in H é raggiungibile ed
osservabile . Si supponga allora che
esista una matrice P tale che PBHb
e CP-1Hc allora B=PB e C=CP, ne
consegue che P deve avere la forma:
H c  0
1
1
P

0
a,b>0.
p


1 
Assumendo ora la condizione PA=AP si ottiene che p12 deve essere
uguale a zero. La matrice P é la matrice identità e quindi il sistema é
identificabile.
Metodo dei coefficienti di Markov
In questo caso i coefficienti di Markov e il relativo Jacobiano sono:
CB  0
CAB  k 21
CA2 B  k 212  k 21  k02
3
CA3 B  k 21
 k 212  k02  k 21  k022
0


1
J( p )  
  2k 21  k02
 2
2
3
k

2
k

k

k
 21 21 02 02
0


0

 k 21 

k 212  2k 21  k02 
Il cui rango e` pari a 2; pertanto il sistema e` identificabile.
Metodo dei coefficienti delle funzioni di trasferimento
La funzione di trasferimento del sistema in esame e il relativo Jacobiano so,o:
k 21
W( s )  2
s  ( k 21  k02 )  s  k 21  k02
0
0
J( p )  
1

k02
Lo Jacobianoha rango pari a 2. Il sistema e` identificabile.
0
0

1

k 21 
ESEMPIO 2
Si consideri il modello a
compartimenti di Figura che
riproduce il flusso di sangue
all’interno del rene. Il tracciante
in ingresso é distribuito fra i due
compartimenti secondo con
frazioni (a), (1-a) con a
incognito. L’uscita é data dalla
somma delle due variabili di
stato x1 ed x2.
 k01

x

 0
0 
 a 
 x   u

 
 k02 
1  a 
Corteccia
a
K01
1
1
+
u
+
1-a
1
2
Midollo
y = [1 1]x
K02
x’(0) = [0 0]
y
Metodo dell'equivalenza algebrica
Dalla struttura del sistema si ricava:
 k01
Ha  

 a
0 


 k02 
H b  a
1  a
/
H c  1
1
k01, k02>0 0<a<1
Il sistema é raggiungibile ed osservabile se K01 ≠ K02. Tale assunzione é
ragionevole in quanto altrimenti il parametro a non sarebbe univocamente
determinato. Considerando la C=CP si ottiene
p11+p21 = 1
p12+p22 = 1
 p11
P

1  p11
1  p22 


p22 
Dalla PAP-1Ha si ha che l'elemento di posto (1,2) vale p11·(1-p11)=0 e che
quello di posto (2,1) p22·(1-p11)=0. Tali condizioni sono soddisfatte per
p11=p22=1 e p12=p21=0 che per p11=p22=0 e p12=p21=1 che soddisfano anche le
CP=C e PB=B quindi il sistema non é unicamente identificabile
Metodo dei coefficienti di Markov
In questo caso i coefficienti di Markov ed il relativo Jacobiano sono:
CB  1
CAB  a  k01  ( 1  a )  k01
CA2 B  ak012  ( 1  a )  k022
CA3 B  ak013  ( 1  a )  k023
 0
 a
J( p )  
 2ak01
 2
 3ak01
0
(1 a )
2( 1  a )  k02
 3( 1  a )  k022
0 
 k01  k02 

2
2
k01  k02 
3
3
 k01  k02 
Il determinante del minore di ordine 3 e` diverso da zero se
k01 ≠ k02. In tal caso il sistema è identificabile (ma non
unicamente).
Metodo dei coefficienti delle funzioni di trasferimento
La funzione di trasferimento e lo Jacobiano:sono:
s  ak02  ( 1  a )  k01
W( s )  2
s  ( k01  k02 )  s  k01  k02
 0
1  a

J( p )   0
1

 k02
0
a
0
1
k 21

k02  k01 

0 
0 

0 
0
il rango dello Jacobiano è pari a 3 se k01 ≠ k02. Il sistema e` quindi
identificabile.
ANALISI DI IDENTIFICABILITÀ TRAMITE CONDIZIONI
TOPOLOGICHE
L'analisi dell'identificabilità di un modello lineare può essere notevolmente
semplificata utilizzando un insieme di condizioni necessarie di tipo topologico.
Tali condizioni possono costituire un semplice test per verificare la nonidentificabilità di un modello ed è quindi spesso utilizzato come test
Il sistema deve essere connettibile in-out
Deve essere soddisfatta la disuguaglianza
ni ≤ n - n' + ∑ whk -∑ zhk
ni è il numero di parametri incogniti; n è il numero dei nodi del sistema; n' è il numero di
sottosistemi chiusi connettibili in uscita; whk fa riferimento al sottosistema h-k: numero
dei nodi appartenenti a tale sottosistema meno la lunghezza del più breve cammino fra
l'ingresso k e l'uscita h. Se la lunghezza di tale cammino è zero si assume la lunghezza del
cammino pari a meno uno; zhk fa riferimento alla parte comune in cascata ed ogni
addendo è pari al numero dei nodi della parte comune in cascata fra i due sottosistemi presi
in considerazione meno il cammino più breve fra il primo e l'ultimo nodo della parte
comune in cascata meno uno.
ANALISI
DI
IDENTIFICABILITÀ
TOPOLOGICHE
TRAMITE
CONDIZIONI
Nodo: Il nodo coincide con una variabile di stato del sistema.
Cammino: Una successione di archi tale che ogni nodo in cui entra un arco è lo
stesso da cui parte l'arco successivo e ogni nodo viene attraversato una sola volta.
Lunghezza di un cammino: Coincide con il numero di archi di quel cammino.
Connettibilità in-out: Esiste almeno un cammino da un nodo su cui si trovi un
ingresso a tutti gli altri nodi e esiste almeno un cammino da ogni nodo del sistema ad
un nodo su cui si trova un'uscita.
Sottosistema h-k: Il sottosistema formato da tutti i nodi connettibili dall’ingresso kesimo all’uscita h-esima.
Sottosistema chiuso: Un insieme di nodi da cui non esiste nessun arco che porti
verso il resto del sistema e/o verso l'esterno.
Parte comune in cascata: La parte comune in cascata fra due sottosistemi h-k ed f-g,
è costituita dai nodi comuni ai due sottosistemi tali che, uno solo di essi sia
influenzato dall'esterno ed uno solo di essi influenzi a sua volta l'esterno.
(Intendendosi con esterno il resto del sistema non facente parte della parte comune in
cascata o l'effettivo ambiente esterno).
Esempio 1
Il modello a quattro compartimenti di Figura rappresenta la cinetica del ferro.
L’ingresso viene applicato al compartimento 2 (sperimentalmente attraverso
l’iniezione di un tracciante radioattivo Fe59), le uscite sono prelevate dai
compartimenti 2 e 4 (concentrazione in Curie/ml dell’ Fe59 nel plasma e nei
globuli rossi circolanti).
u
1
Spazi
extravascolari
2
3
4
Plasma
Midollo
Osseo
Globuli
Rossi
y1
y2
Esempio 1
Il modello è connettibile ingresso-uscita in quanto dal compartimento 2 su cui si
trova l’ingresso è possibile raggiungere tutti i compartimenti del sistema; inoltre
i compartimenti 2 e 4 su cui sono presenti le uscite (y1, y2), possono essere
raggiunti da tutti gli altri compartimenti.
Per questo modello la prima condizione necessaria è quindi soddisfatta
Caso1: u
•ni=7
•n=4
•n’=0
•w=4-1=3
n-n’+w=7
y1

 ni=7
Caso 2:u
y 1 y2
 n=4
 n’=0
 w11=4-1=3
 w21=4-2=2
 z=4-2-1=1
•n-n’+w11+w21-z=8
La seconda condizione è soddisfatta con ridondanza zero e uno
CRITERI DI VERIFICA DELL’IDENTIFICABILITA’
MODELLI NON LINEARI
dx(t,)/dt = f[x(t, ),u(t),, t]
xo = x(to,)
y(t, ) = h[ x(t, ), ]
dove
x= (x1,x2,...,xn)' vettore di stato
u = (u1,u2,...,ur)' vettore d'ingresso
y = (y1,y2,...,ym)' vettore delle uscite misurate
f funzione vettoriale non lineare che descrive la struttura del modello
parametrizzata dal vettore dei parametri , h funzione vettoriale non
lineare che rappresenta il processo, noto, di misura
METODO DELLA LINEARIZZAZIONE
Il metodo della linearizzazione] fornisce due condizioni sufficienti per
l'identificabilità: la prima fa riferimento al sistema linearizzato nell'intorno di uno stato
di riferimento e di un valore nominale dei parametri, la seconda ad un sistema
linearizzato nell'intorno di un ingresso ed uno stato di riferimento
δx  f x x
δx  f θ x
0 ,u( t ),t ,θ0
δy  h x x
0 ,u( t ),t ,θ0
0 ,u( t ),t ,θ0
δθ
•Fornisce solo condizioni sufficienti
δx  h θ x
0 ,u( t ),t ,θ0
δθ
•La traiettoria nello spazio di stato
deve essere una soluzione
stazionaria
oppure
δx  f x x
0 ,u0 ,t ,θ
δx  f u x
δu
δy  h x x
0 ,u0 ,t ,θ
δx  h x x
δu
0 ,u0 ,t ,θ
0 ,u0 ,t ,θ
•Il modello linearizzato può avere
meno parametri del modello non
lineare
L'applicazione pratica di tali condizioni comporta inoltre l'utilizzazione di una condizione
necessaria e sufficiente per l'identificabilità dei sistemi lineari
METODO BASATO SULLO SVILUPPO IN SERIE DELLA FUNZIONE
D'USCITA (metodo di Pohjanpalo).
Si consideri il sistema descritto dalle equazioni a fianco
riportate. Nell'intervallo [0,T] si assuma che la funzione f
sia derivabile infinite volte rispetto al tempo ed alle
componenti del vettore di ingresso e di stato; lo stesso
valga per la u(t), la x(t) e la y(t) rispetto al tempo e per la
h rispetto allo stato. Poiché il vettore delle uscite
dipende solo dal tempo, lo saranno anche le sue
derivate, che si possono denotare come:
ak ( t )  y
(k)
dx( t ,θ ) dt  f [ x( t ,θ ), u( t ), t ,θ ]
y( t ,θ )  h[ x( t ,θ ), u( t ), t ,θ ]
x( t 0 )  x 0
(t)
Si hanno quindi i seguenti teoremi
Teorema Affinché la funzione h, sviluppabile in serie di McLaurin possa essere
rappresentata da questa nell'intervallo [0,T], è sufficiente che per qualche M risulti:
h ( n ) ( t )  MT mn
per n=1,…,
METODO BASATO SULLO SVILUPPO IN SERIE DELLA FUNZIONE D'USCITA
(metodo di Pohjanpalo).
Teorema Si indichi con S l'insieme degli stati ammissibili, e siano u(t) e x(0) tali che
x(t)S, per ogni t[0,T]. Se per tutte le possibili traiettorie x(t) la funzione f è
rappresentabile con la sua espansione in serie di Mac Laurin in [0,T], o, se per tutti gli stati
xS la funzione f è Lipschitziana in [0,T], allora l'esistenza di una soluzione unica del
sistema di equazioni:
ak ( 0 )  h ( k ) [ x( 0 ),θ ]
è condizione necessaria e sufficiente per l'identificabilità del sistema non lineare in
oggetto.
•L'insieme delle equazioni può presentare un'elevata complessità (che cresce al
crescere delle dimensioni dello spazio di stato)
•E’ necessario ottenere un numero di equazioni indipendenti pari al numero dei
parametri incogniti; il metodo non fornisce a priori un criterio di arresto per le
successive derivazioni.
METODO BASATO SULLE TRASFORMAZIONI DI SIMILITUDINE
(Vajda S., Godfrey K.R. e Rabitz H.)
Il problema dell'identificabilità dei
parametri del sistema non lineare a lato
viene studiato con riferimento ad un valore
dei parametri  nell'esperimento
definito da (x0, u[t0,T]), dove lo stato
iniziale x0 si considererà in generale
dipendente da . Sia Sx0() : u(•)  y(•,))
la funzione ingresso-uscita per il sistema in
oggetto con condizioni iniziali x0().

x( t ,θ )  f ( x( t ,θ ),θ )  u( t )  g( x( t ,θ ),θ )
y( t ,θ )  h( x( t ,θ ),θ )
x( 0 ,θ )  x0 ( θ )
I valori dei parametri ,* si diranno indistinguibili, ~* nell’esperimento
(x0,u[t0,T]) se Sx0() (u) = S*x0(*) (u) per tutti gli uU[0,T]. Il modello è quindi
globalmente identificabile rispetto al parametro  se ~*,*, implica =*; ed
è localmente identificabile in  se esiste un intorno aperto W di  in  tale che
~*,*W, implica =*. La definizione può essere estesa al sistema cosicché il
sistema è detto globalmente (localmente) strutturalmente identificabile se è
globalmente (localmente) identificabile in tutti i  eccetto i punti di un
sottoinsieme di misura nulla in .
METODO BASATO SULLE TRASFORMAZIONI DI SIMILITUDINE (Vajda S., Godfrey
K.R. e Rabitz H.)
Teorema
Si assuma che il modello descritto dalle equazioni alla
pagina precedente soddisfi ai criteri di controllabilità ed osservabilità del
rango in x0(), per ogni . Si considerino i valori  e *, un intorno
aperto V di x0(*) in M, ed una funzione : VRn definita su V  Rn tali che:
Rango
λ x  n
 xV
λ( x 0 ( θ * ))  x 0 ( θ )
f ( λ( x ),θ )  λ λx  f ( x ,θ * )
g( λ( x ),θ )  λ λx  g( x ,θ * )
h( λ( x ),θ )  h( x ,θ * )
 xV
Allora esiste un istante T tale che il
sistema in oggetto sia globalmente
identificabile in  negli esperimenti
(x0(), U[0,T]) se e solo se le
precedenti condizioni implicano
che *=.
ESEMPIO
u
K21(1-x2/s2)
Si consideri il sistema di Figura
in cui il flusso fra il primo e il
secondo compartimento segue
una dinamica non lineare del
tipo Langmuir.
x1
x2
V1
V2
K01
Il distema risulta quindi
descritto
dalle
seguenti
equazioni:

x 1( t )  ( k 01k 21 )  x1( t )  ( k 21 / s2 )  x1( t )  x2 ( t )  u( t )

x2 ( t )  k 21  x1( t )  ( k 21 / s2 )  x1( t )  x2 ( t )
y( t )  x1( t ) / V1
y
x1 ( 0 )  0
x2 ( 0 )  0
ESEMPIO
Metodo di Pohjanpalo.
Dallo sviluppo in serie di McLaurin dell'uscita (Fig. 2.1) si ottiene il seguente sistema di
equazioni:
y( 0 )  x1 ( 0 ) / V1  0
y' ( 0 )  x'1 ( 0 ) / V1  u( 0 ) / V1
y' ' ( 0 )  x1' ' ( 0 ) / V1  k01 y' ( 0 )  k 21 y' ( 0 )  u' ( 0 ) / u( 0 ) y' ( 0 )
y' ' ' ( 0 )  x1' ' ' ( 0 ) / V1  k01 y' ' ( 0 )  k 21 y' ' ( 0 )  u' ' ( 0 ) / u( 0 ) y' ( 0 )
y IV ( 0 )  x1IV ( 0 ) / V1  k01 y' ' ' ( 0 )  k 21 y' ' ' ( 0 )  3( k 21u( 0 )) 2 / s2
che ha un'unica soluzione nei parametri k01, k21, s2, V1.
Il sistema è quindi identificabile.
ESEMPIO
Metodo delle trasformazioni di similitudine
λ  [ λ1 ( x1 , x2 ) λ2 ( x1 , x2 )]'
Dalla h((x), ) = h(x, *)
[ 1 / V1 0 ]  [ λ1 ( x1 , x2 ) λ2 ( x1 , x2 )]'  [ 1 / V1* 0 ]  [ x1 x2 ]'
1 ( x1 , x2 )  V1 / V1* x1
Dalla g((x), ) = /x·g(x, *)
 V1 / V1*

[ 1 0 ]'  
λ2 / x1

V1=V1*
2/x1= 0


  [ 1 0 ]'
λ2 / x 2 
0
ESEMPIO
Metodo delle trasformazioni di similitudine
Dalla f((x), ) = /x·f(x, *)
 (k 01  k 21 ) x1  (k 21 s2 ) x12  1



 
 k 21 x1  (k 21 s2 ) x12
 0
*
*
*
*
  (k 01  k 21 ) x1  (k 21 s2 ) x1 x 2 



 

2 / x 2   k 21* x1  (k 21* s2* ) x1 x 2

0
λ2 ( x 1 , x 2 )  ( s 2 k 21 )  [ k 01  k 21  k 01*  k 21*  k 21* s *2 x 2 ]
Dalla (x(0, *)) = x(0, )
k01  k 21  k01*  k 21*  0
λ2 ( x1 , x2 )  ( s2 k 21 )  ( k 21* s*2 ) x2
ESEMPIO
Metodo delle trasformazioni di similitudine
Utilizzando la seconda riga della f((x), ) = /x·f(x, *)
[k 21  ( s 2 k 21 )  (k 21*2 s 2* )]x 1  k 21* s 2* [1  ( s 2 / k 21 )  (k 21* / s 2* )]  x 1  x 2  0
Dovendo l'uguaglianza valere per ogni valore di x1 e x2 si ha:
( s2 k 21 )  ( k 21* / s*2 )  1
k 21*  k 21

s*2  s2
Il sistema è quindi identificabile.
k 21* / s*2  k 21 / s2
k01  k01*
ESEMPIO
Metodo della linearizzazione.
Considerando il sistema linearizzato, ad esempio tramite
infusione di un tracciante, si ottiene:

x1 ( t )  ( k01  k 21 )  x1 ( t )  k' 21  x 2 ( t )
x1 ( 0 )  0

x 2 ( t )  k 21  x1 ( t )  k' 21 ( t )  x 2 ( t )
x2 ( 0 )  0
y( t )  x1 ( t ) / V1
Con k'21 = k21/s2 x1S.
Applicando il metodo dell'equivalenza algebrica
dalla
B*
= PB
 1
  
 
0 
 p11


 p21
p12  1
 
  
p22  0 
p11 = 1
p12 = 0.
ESEMPIO
Metodo della linearizzazione.
Dalla
C*P
=C
1
V1*
1
0 

0

p12 
  1V
1

p22 

0

V1* = V1
p21 = 0
dalla A*P = PA
 k01*  k 21*


 k 21*

k' 21*  1
 

k' 21*  0
0
1
  


p22 
0
p22=1
Il sistema e` quindi identificabile.
0   k01  k 21

 
p22   k 21
k' 21 


k' 21 