STUDIO DI UN FRATTALE:
A cura di: Albergotti, Bientinesi, Cavallaro, Polpetta.
L.SCIENTIFICO “R. DONATELLI” di TERNI
Prof.ssa Massarucci Mara
LA GERLA DI SIERPINSKI
Il procedimento usuale per costruire il frattale
della gerla è il seguente:
Parto da un triangolo equilatero
Unisco i punti medi di ogni lato ed
“elimino” il triangolo che si è venuto
a formare
Itero il processo per un numero n
di volte a scelta arrivando alla
visualizzazione finale del frattale
PRIMA COSTRUZIONE
Si effettua una omotetia di
centro il baricentro e rapporto
k=-1/2
Il triangolo interno che si
ottiene è la parte di figura
che viene eliminata
Il processo viene poi
iterato ottenendo così la
gerla
SECONDA COSTRUZIONE
Il secondo tipo di costruzione della gerla si avvale di
un procedimento diverso dal primo:
Non è importante il punto di partenza, infatti si
può utilizzare come START indifferentemente un
punto, un triangolo…
Al secondo passo è sufficiente visualizzare la
successiva figura (detta GENERATORE) per risalire
alle trasformazioni che portano lo START a questa
La trasformazione totale può essere individuata
come composizione di trasformazioni semplici ed è
caratterizzata da un codice specifico, detto
CODICE GENETICO
Guardiamo ora più specificatamente queste trasformazioni:
(si è supposta l’origine nel punto 1 e il triangolo nel 1° quadrante)
Al triangolo di partenza applichiamo una
omotetia di centro il vertice 1 e rapporto
k=1/2
1
Si ottiene così un triangolo simile al
primo ma con i lati lunghi la metà
1
Applicando ora la seconda
trasformazione cioè una traslazione di
vettore v(1/2; 0) si ottiene il secondo
triangolo
1
Facendo alcuni semplici calcoli si può
poi ricavare il vettore v(-1/4; 3/4)
della terza trasformazione che porta ad
ottenere il terzo triangolo
1
Dalle trasformazione è possibile
risalire ai cosiddetti CODICI
GENETICI che sono specifici della
costruzione della gerla
½; 0; 0
½ ; 0; ½
½; 0; -¼
0; ½ ; 0
0; ½ ; 0
0; ½, ¾
2
3
1
TEOREMA DI CACCIOPPOLI
Sia T una trasformazione insieme-insieme,
generata da una trasformazione geometrica  .
Se  è una contrazione, allora esiste una unica
figura ATTRATTORE F tale che
F  T( F )
Inoltre, fissata comunque una figura start F0, la
successione delle figure iterate
F0
F
n+1=T(Fn)
start
n=0,1,2…
costituisce una “approssimazione” della figura F,
che migliora ad ogni passo.
CONCLUSIONI
Se nella prima
costruzione cambio i
vertici del triangolo
iniziale
Se nella seconda
costruzione cambio il
vertice iniziale
Cambia la figura finale:
Non cambia la figura finale
– effetto dispersione - :
La trasf.usata dipende
dallo start FO e da ogni
successivo F1
La trasf. usata non dipende
dallo start FO e neanche dai
successivi Fi