A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Inclusione degli effetti quantistici nella meccanica statistica
La meccanica statistica è stata costruita secondo uno schema centrato sui seguenti elementi
• gli stati del microsistema sono suddivisi in famiglie di gj stati di energia j
• all’interno di tale suddivisione vengono collocati gli N microsistemi identici ma distinguibili e viene eseguito il
conteggio dei microstati associati ad ogni macrostato
in quale modo la meccanica quantica modifica questa impostazione?
Cominciamo con l’assunto che i microsistemi siano identici ma distinguibili.
se il microsistema soddisfa le leggi della meccanica classica tale assunzione è corretta infatti
• un corpuscolo macroscopico è pensato come distinguibile in quanto può essere marcato
• un corpuscolo microscopico è pensato come distinguibile perché è possibile prevedere con precisione arbitraria
le posizioni assunte al passare del tempo (ovvero perché è possibile prevedere il moto)
immaginiamo di osservare al tempo t due corpuscoli identici nelle posizioni P1 e P2 e
di denominarli A e B rispettivamente.
immaginiamo poi di osservare nuovamente al tempo t’ i due corpuscoli identici nelle
posizioni P1’ e P2’.
sapremo dire chi è A e chi è B solo se siamo in grado di descrivere il moto dei due
corpuscoli identici tra t e t’ con sufficiente precisione.
dato che se valgono le leggi newtoniane del moto queste possibilità
sussistono sempre possiamo concludere che
nell’ambito della meccanica classica le particelle
mantengono la loro identità e sono sempre distinguibili
t
t’
P1
A
P1 ’
P2 ’
A
B
P2
B
identiche
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se viceversa il microsistema soddisfa le leggi della meccanica quantistica
vale il principio di indeterminazione percio’ se ad un certo istante è definita la posizione della
particella allora la sua quantità di moto risulta indefinita e con essa la sua posizione in un
istante successivo
è come se una particella potesse evolvere lungo una famiglia di moti differenti piuttosto che
lungo un moto definito
eseguendo le misure i diversi moti si manifestano come differenti esiti ciascuno con una certa
probabilità
da questo consegue che se immaginiamo di osservare al tempo t due corpuscoli identici nelle
posizioni P1 e P2 e di denominarli A e B rispettivamente
t’
ed osserviamo nuovamente al tempo t’ i due corpuscoli identici nelle posizioni P1’ e P2’, non
sapremo dire chi è A e chi è B perché i moti che arrivano in P1’ e P2’
possono avere origine sia da P1 che da P2.
concludiamo allora che
t
nell’ambito della meccanica quantistica le particelle identiche diventano
indistinguibili
P1
A
P1’
P2’
P2
B
in meccanica quantistica lo stato di sistema è descritto da un funzione complessa detta funzione d’onda di cui è osservabile il
solo modulo quadrato
|  |2
per cui la grandezza osservabile associata ad un sistema di due particelle negli stati quantici generici s1 ed s2 vale, in funzione del
generico insieme di variabili Q1 e Q2 che descrivono i due sistemi ( quali ad es. le posizioni spaziali ossia x1,y1,z1 per la prima
particella e x2 y2 e z2 per la seconda )
| S 1 S 2 (Q 1,Q 2 )|2
2
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d’altra parte dato che le particelle identiche sono anche indistinguibili un loro scambio non può alterare le quantità osservabili per cui
| S1,S2 (Q1 , Q2 ) |2  | S1,S2 (Q2 , Q1 ) |2
da cui otteniamo
 S1 ,S2 (Q , Q )   S1 ,S2 (Q
1
2
2
, Q1 )
dunque la indistinguibilità delle particelle identiche comporta che queste debbano essere descritte da funzioni
d’onda simmetriche o antisimmetriche rispetto allo scambio delle particelle
immaginiamo che una coppia di particelle identiche ed indistinguibili sia descritta da una funzione d’onda
antisimmetrica rispetto allo scambio Q1  Q2 e Q2  Q1
S1,S2 (Q1 , Q2 )  S1,S2 (Q2 , Q1 )
supponiamo ora che le due particelle si trovino anche nel medesimo stato S
S ,S (Q , Q
1
2
)
S ,S (Q , Q )
2
1
dato che le particelle sono indistinguibili e si trovano nello stesso stato dovrà essere anche
S,S (Q1, Q2 )  S,S (Q2 , Q1 )
da cui consegue che la funzione d’onda, essendo uguale a se stessa ed alla sua opposta non può che essere nulla
giungiamo allora al principio di esclusione di Pauli
due particelle identiche ed indistinguibili descritte da una funzione d’onda antisimmetrica
non possono occupare il medesimo stato
nessuna restrizione sulla occupazione degli stati opera nel caso di particelle identiche ed indistinguibili descritte da funzioni d’onda
simmetriche
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Stato di due particelle identiche
supponiamo per semplicita’ che le due particelle siano non interagenti quale sara’ la funzione d'onda
di due particelle, a e b ? se le due particelle non sono identiche allora si ha che
se le due particelle sono identiche, scambiando le due particelle la funzione d'onda deve restare
invariata a meno di un fattore di fase, quindi
dopo un secondo scambio che porta un altro fattore di fase, la funzione d'onda deve ritornare quella di
prima, per cui si deve avere
come prima. Quindi la funzione d'onda o resta invariata per scambio di due particelle (simmetrica) o
cambia segno (antisimmetrica).
queste condizioni sono soddisfatte automaticamente dalle funzioni d'onda della forma
il segno + vale per bosoni, il segno - vale per fermioni
la funzione d'onda di due fermioni, per
e’ nulla
quindi due fermioni identici non possono occupare la stessa posizione nello spazio
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richiamando il fatto fondamentale che in meccanica quantica le particelle possiedono un momento
angolare intrinseco , detto “ spin “, che può assumere i valori
0
1
2
3
2
...
e richiamando il teorema spin-statistica, enunciato da Pauli e Fierz nel 1939, il quale afferma che
sistemi di particelle identiche di spin intero sono descritti da funzioni d’onda simmetriche mentre sistemi di
particelle identiche a spin semintero sono descritti da funzioni d’onda antisimmetriche
giungiamo alla conclusione che le particelle a spin semintero sono descritte funzioni d’onda antisimmetriche e
soddisfano il principio di esclusione mentre le particelle a spin intero sono descritte da funzioni d’onda
simmetriche e non sono soggette ad alcuna restrizione.
Riassumendo possiamo affermare che in meccanica quantistica
• le particelle identiche sono indistinguibili
• le particelle identiche con spin semintero (fermioni) non possono occupare lo stesso stato (principio di esclusione
di Pauli)
• le particelle identiche con spin intero (bosoni) non sono soggette a restrizioni
tenendo presente questi fatti e ricordando che posizione ed impulso sono soggetti alle limitazioni introdotte
dal principio di indeterminazione possiamo costruire la meccanica statistica delle particelle quantistiche che
dovrà essere usata in tutti quei casi in cui i microsistemi cessano di seguire le leggi newtoniane del moto.
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Il conteggio dei microstati in meccanica statistica classica
• i semplici scambi di particelle modificano il microstato ma non il macrostato
m gm o
j gj
nj
m gm o
j gj
…
… …
n1
1 g1 oo
nm
o
… …
o
o
o
1 g1 oo
nm
o
nj
o
o
o
…
N!
n1
N ! = numero delle permutazioni di N oggetti
• gli spostamenti delle particelle all’interno dello stesso livello energetico modificano il microstato ma non il macrostato
m gm o
j gj
… …
1 g1 oo
nj
m gm o
j gj o
o
…
… …
o
n1
1 g1 oo
nm
o
o
o
o
nm
nj
o
…
M
n
 gj j
j 1
n1
gjnj e’ il numero delle “disposizioni con ripetizione” di nj oggetti estratti da un insieme di gj oggetti e dove
ognuno degli nj oggetti puo’ essere considerato piu’ volte
si noti che anche il fattore appena introdotto calcola come distinti i microstati ottenuti attraverso scambio delle particelle.
si vede allora che tra i microstati calcolati con la formula gjnj compaiono anche microstati che differiscono per il semplice
scambio delle particelle, che per il generico livello j sono nj !
d’altra parte con il termine N! sono già stati calcolati tutti i microstati ottenuti attraverso semplice scambio delle particelle
per ottenere il giusto numero di microstati dobbiamo dividere per il fattore
M
 nj !
j 1
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Il conteggio dei microstati in meccanica statistica quantistica
Il calcolo dei microstati che cadono all’interno di un certo macrostato nel caso di particelle quantistiche deve
essere fatto tenendo presente che
• tutte le particelle identiche sono indistinguibili
• le particelle con spin semintero sono soggette alla restrizione del principio di esclusione
• le particelle con spin intero non sono soggette ad alcuna restrizione
NOTA: le particelle avranno lo stesso colore poichè sono indistinguibili tra loro
NOTA: l’indistinguibilità comporta che lo scambio di particelle non porti a nuovi microstati, ossia manca il termine N!
spin semintero (fermioni)
m gm o
j gj
spin intero (bosoni)
nj
m gm o
j gj
…
… …
n1
1 g1 oo
nm
o
o
… …
o
1 g1 oo
vietato dal principio
di esclusione
o
nm
o
nj
o
o
o
permesso
…
n1
fissato un certo livello energetico calcoliamo il numero di microstati nel caso in cui gj=3 ed nj=2
spin semintero (fermioni)
o
gj !
o
o
o
o
spin intero (bosoni)
o
3!

3
nj ! ( g j  n j )! 2 ! 1!
  Nj1
gj !
n j ! ( g j  n j )!
(n j  g j  1)!
n j ! ( g j  1)!
  Nj1

4!
6
2! 2!
(nj  g j  1)!
nj ! ( g j  1)!
oo
o
o
o
o
oo
o
o
oo
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un modo alternativo per determinare la probabilita’ di questi stati nel caso le particelle siano bosoni identici,
e’ quello di considerare il problema nel modo seguente :
per l’i-esimo stato domandiamoci in quanti modi diversi possiamo assegnare ni particelle identiche a gi stati :
immaginiamo le particelle distribuite a caso lungo una retta su cui siano ricavate delle partizioni.
il problema e’ equivalente a calcolare in quanti modi diversi possiamo disporre ni particelle in gi caselle
1
per es. se ni = 7 e gi = 5
 
2

3
  
4
5

cio’ significa che ci sono due particelle nel primo stato, una nel secondo , tre nel terzo, una nel quarto e
nessuna nel quinto da notare che basta utilizzare gi –1 separatori per determinare tutti i modi possibili di
disporre le ni particelle particelle
se le palline e i separatori fossero distinguibili vi sarebbero (ni + gi -1) ! modi diversi di arrangiarli.
dato pero’ che sia le particelle che le partizioni sono indistinguibili tra loro le ni permutazioni delle
particelle e le gi -1 permutazioni dei separatori non vanno contate come distinte
percio’ vi sono soltanto:
(ni  g i  1)!
modi diversi di assegnare le ni particelle all’i-esimo livello di
ni !( g i  1)! degenerazione gi
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ad una data configurazione che abbia n1 particelle nel livello 1 con degenerazione g1 , n2 particelle nel livello 2
con degenerazione g2 etc., corrisponderanno
(ni  gi  1)!

i 1 ni !( gi  1)!

ln (ni )   i ln
stati distinti e la probabilita’ statistica sara’ data da :
(ni )   i
(ni  ( gi  1))!
ni !( gi  1)!
(ni  ( gi  1))!
 i ln(ni  gi  1)!  ln ni !  ln( gi  1)!
ni !( gi  1)!
utilizzando l’ approssimazione di Stirling :
ln x!  x ln x  x
ln (ni )  i {(ni  gi  1) ln(ni  gi  1)  (ni  gi  1) ni ln ni  ni ( gi  1) ln( gi  1)  ( gi  1)}
ln (ni )   i (ni  gi  1) ln(ni  gi  1)  ni ln ni  ( gi  1) ln( gi  1)
vincoli :
N  i ni
e
E i ni i
per determinare i numeri di occupazione dei livelli energetici per un sistema di particelle bosoniche
all’equilibrio procederemo a massimizzare la probabilita’ statistica
utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimizzare, rispetto agli ni , la funzione:
ln (ni )   E   N
dato che
d (ln (ni )   E   N )  0
quindi imponiamo che
d ( x ln x )  (ln x  1)dx
la variabile x in questo caso corrisponde agli ni
differenziando ln (ni) rispetto agli ni scompare il termine (gi-1)ln(gi-1) che non dipende da ni
  ln(n  g 1)  1  ln n 1   
i
i
i
i
i
   dni  0
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 ln(ni  gi 1)  ln ni   i     0
ossia
n  gi
ln( i
)   i  
ni
da cui
gi  ni e
 i 
 ni
 ni  gi  1

)    i     0 trascurando il –1, si ha :
ln(
ni


ni  gi
 e  i 
ni
ni  gi  ni e  i 
ossia
gi  ni (e i   1) 
1
come nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann vale la :  
kT
percio’
e
inoltre
n
j 1
M
j
 e   gj e
j 1
  j
N
da cui
e 
g e
j 1
j
e  i   1
i

kT
1
ossia
gi
ni 
e
N
M
  j
gi
gi
ni 

mentre nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann si aveva n j  e g j e
M
ni 
i

kT
  j
vai all’esercizio : gas di fotoni 
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