DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
La Ricorsione
Marco D. Santambrogio – [email protected]
Ver. aggiornata al 21 Maggio 2014
Obiettivi
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• La ricorsione
Ricordate la sigla GNU
GNU = GNU is Not Unix
GNU = GNU is Not Unix
GNU = GNU is Not Unix
GNU = GNU is Not
GNU = GNU
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La ricorsione: che cos’è?
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• Ricorsione indiretta:
 Un sottoprogramma P chiama un
sottoprogramma Q
 Q a sua volta chiama un terzo R, …
 R chiama nuovamente P
• Ricorsione diretta
 Un sottoprogramma P chiama se
stesso durante la propria esecuzione
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Un esempio classico
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• Individuare, in un gruppo di palline l’unica
pallina di peso maggiore delle altre facendo
uso di una bilancia “a basculla”
• Per semplicità: il numero di palline sia una
potenza di 3
• Algoritmo Pesate:
• Se il gruppo di palline consiste in una sola pallina,
allora essa è banalmente la pallina cercata,
altrimenti procedi come segue.
– Dividi il gruppo di palline in tre e confronta due dei tre
sottogruppi.
– Se i due gruppi risultano di peso uguale scarta entrambi,
altrimenti scarta il gruppo non pesato e quello risultato di
peso minore.
– Applica l’algoritmo Pesate al gruppo rimanente.
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Altri esempi di ricorsione
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• La sommatoria di una sequenza di numeri
• Fattoriale:
Fact(n)=n*Fact(n-1)
Fact(0)=1
• In arte e non solo…
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Scopo della programmazione ricorsiva
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• Lo scopo è quelo di risolvere un problema facendo
riferimento allo stesso problma su scala ridotta
• La condizione di terminazione avviene quando si
identifica uno o più casi semplici con soluzione
immediata
• La struttura di un algoritmo ricorsivo è il seguente
if (è il caso semplice)
risolvilo
else
usa la ricorsione su dati ridotti
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Il calcolo del fattoriale
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In matematica, se n è un intero positivo, si
definisce n fattoriale e si indica con n! il
prodotto dei primi n numeri interi positivi
minori o uguali di quel numero
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Il main del fattoriale
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Il fattoriale iterativo
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La ricorsione come strumento
di programmazione
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Calcolo del Fattoriale in modo ricorsivo:
Fact(n)=n*Fact(n-1)
Fact(0)=1
fat=
1
FattRic(0)
fat=
1
FattRic(1)
fat=
2
FattRic(2)
fat=
6
FattRic(3)
n=3
main
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Moltiplicazione
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• Ideare un procedimento ricorsivo per
calcolare il prodotto di due interi
• Nota: A*1=A; A*B = A + A*(B-1)
int MulRic(int a, int b)
{
int ris;
if (b == 1) ris = a;
else ris = a + MulRic(a ,b–1);
return ris;
}
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Successione di Fibonacci
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“Quante coppie di conigli si
ottengono dopo N mesi (salvo i casi
di morte) supponendo che ogni
coppia dia alla luce un‘altra coppia
ogni mese e che le coppie più
giovani siano in grado di riprodursi
già al secondo mese di vita?”
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Successione di Fibonacci
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• Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)
• Fib(0)=0; Fib(1)=1;
int fibRic (int n) {
int ris;
if (n == 0) ris = 0;
else if (n == 1) ris = 1;
else ris = fibRic(n–1) + fibRic(n–2);
return ris;
}
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Un problema interessante: La torre di Brahma
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La leggenda
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• Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel
grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al
centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro
dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine
decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso.
• E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i
sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla
prima alla terza colonnina.
• Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da
Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla
volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo.
• Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti
i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il
tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.
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Il gioco
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L’idea
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• Se voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello
destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario, devo
prima spostare n - 1 anelli dal sorgente all'ausiliario, usando
come appoggio il piolo destinazione; poi sposto l'unico anello
rimasto dal sorgente al piolo destinazione; infine sposto gli n - 1
anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione.
• Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se
stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però
il problema perché bisogna spostare un numero di anelli
inferiore.
• In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente
ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane
solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo
destinazione.
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Codice
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void hanoi(int n, int sorgente, int destinazione, int aux) {
if (n==1)
printf("Sposto da %d a %d.\n",sorgente, destinazione);
else{
hanoi(n - 1, sorgente, aux, destinazione);
hanoi(1, sorgente, destinazione, aux);
hanoi(n - 1, aux, destinazione, sorgente);
}
}
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Esercizio: Massimo di un array
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• Ideare un procedimento ricorsivo per
calcolare il massimo di un array di interi
• Idea: max(vect[0 : N])
=max(vect[0],max(vect[1 : N]))
int max(int *array, int n){
int maxs;
if (n==1) return array[0]; /*Caso Array 1 elemento*/
if (n==2){
/*Caso Base*/
if (array[0]>array[1]) return array[0];
else return array[1];
}
maxs = max(&array[1],n-1); /*Risolvi Problema Ridotto*/
if (array[0]>maxs)return array[0];
else return maxs;
}
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Fonti per lo studio + Credits
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• Fonti per lo studio
 Introduzione alla programmazione in MATLAB,
A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti,
P.Spoletini, Ed.Esculapio
• Capitolo 4
– Particolare attenzione al 4.5
• Credits
 Prof. A. Morzenti
 Gianluca Palermo
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