Modelli deterministici per l’inquinamento
atmosferico
I modelli deterministici
A.A. 2008/2009
Caratteristiche generali (1/3)
Per studiare la dispersione di inquinanti in
atmosfera, occorre descrivere, in termini
matematici:
 il trasporto turbolento di gas (gli inquinanti)
disciolti in un altro gas (l’atmosfera).
Si deve tener presente che:


l’effetto DOMINANTE è rappresentato dal
trasporto convettivo e diffusivo dell’atmosfera
NON dalla diffusione per effetto di gradienti di
concentrazione (legge
di Fick)
A.A. 2008/2009
Caratteristiche generali (2/3)
Diffusione per gradiente
di concentrazione (Fick)
A.A. 2008/2009
Diffusione per convezione
e dispersione
Caratteristiche generali (3/3)

In linea di principio, tali modelli permettono di
stimare la concentrazione di inquinanti nei
punti di interesse, una volta noti:
– Il campo vettoriale del vento
– La turbolenza atmosferica
– Gli effetti di tunneling e canalizzazione dovuti
all’orografia dell’area di studio
– Gli effetti di riflessione ed assorbimento degli
inquinanti da parte del suolo
– Le reazioni chimiche degli inquinanti in aria
– ...
A.A. 2008/2009
Possibili descrizioni matematiche (1/4)

DESCRIZIONE LAGRANGIANA: l’evoluzione del
fenomeno viene descritta rispetto ad un
sistema di riferimento solidale con il moto dei
volumi infinitesimi di fluido (punto di vista
molecolare o sostanziale).

DESCRIZIONE EULERIANA: l’evoluzione del
fenomeno viene descritta rispetto ad un
sistema di riferimento fisso, solidale con il
suolo (punto di vista locale).
A.A. 2008/2009
Possibili descrizioni matematiche (2/4)
Evoluzione del sistema “S”
s
.P
C0 = Configurazione iniziale del sistema
C = configurazione del sistema all’istante t
.P0
C0
P0 (Yh), h =1,2,3
P (Xh), h =1,2,3
C
Xh(Yh,t), funzioni continue
fino alla derivata terza
Nello schema (trasformazioni regolari)
del continuo
A.A. 2008/2009
Possibili descrizioni matematiche (3/4)
Una qualunque grandezza definita nel sistema
“S” (ad esempio la densità
funzione:


) si può pensare
o delle variabili iniziali e del tempo (Yh , t)
– si studia la variazione di densità di ogni particella
(volume infinitesimo). Yh indipendente da t.

o delle variabili  (Xh , t)
– si studia la distribuzione di densità nel campo C
occupato all’istante t. Xh dipendenti da t.
A.A. 2008/2009
Possibili descrizioni matematiche (4/4)
La derivata temporale di una qualunque
grandezza definita nel sistema “S” (ad esempio
la densità  ) può essere effettuata:


o direttamente, assumendo come variabili Yh
(indipendenti da t) e t
o attraverso le Xh(t)
d (Yh|t) =  (xh|t) +    . X’h
dt
t
x
Derivata
Derivata
molecolare
locale
A.A. 2008/2009
Schema generale (proprio di tutta la fluidodinamica)
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA
In un volume infinitesimo dx.dy.dz, durante il tempo
dt, l’incremento della massa dell’inquinante imo e,
quindi, la sua concentrazione media ci(x,t) è
uguale all’apporto netto dovuto a:
 ingressi esterni (x,t)
 sorgenti inquinati interne al volume s(x,t)
 fattori di rimozione r(x,t)
A.A. 2008/2009
Il principio di conservazione della massa
M=C.V
in = (x-x).u(x-x)
R
S
out = (x+x).u(x+x)
dM/dt = d(C.V)/dt =
= iAi+S + R
A.A. 2008/2009
Secondo la descrizione euleriana (1/3)
C
 dxdydz    S  R
t
(1
dove:
C = C(x, t) è la concentrazione media nell’intervallo di tempo dt
 = (x, t) è il flusso netto nel volume infinitesimo dxdydz nel
tempo dt
S = S(x, t) è la sorgente inquinante interna al volume
infinitesimo
R= R (x, t) è la funzione di rimozione dell’inquinante
A.A. 2008/2009
Secondo la descrizione euleriana (2/3)

Per semplicità, nel seguito, ci limiteremo
al caso bidimensionale x,z.

A causa della vorticosità dell’atmosfera
nei primi 1000 m di atmosfera (PBL), il
moto dell’aria (e dell’inquinante) è
molto vario e con traiettorie aleatorie.
A.A. 2008/2009
Secondo la descrizione euleriana (3/3)

Si analizzi il fenomeno per un tempo T che sia:
– Maggiore della scala temporale Tf delle fluttuazioni
turbolente (qualche secondo).
– Minore della scala temporale delle variazioni di
velocità media del campo di vento nel punto di
interesse (qualche minuto).
ALLORA
A.A. 2008/2009
Trattazione delle componenti stocastiche (1/3)
V(x,z) = (Vx(x,z), Vz(x,z)) è una variabile stocastica esprimibile
come:
Vx = Vx + Vwx
Vz = Vz + Vwz
dove:
T
1
 Vx  dt
Vx = T 
0
T
1
 Vwx  dt
0 = T 0
e analogamente per le altre grandezze:
Vz (x) e, conseguentemente, C(x) e (x, t)
A.A. 2008/2009
Trattazione delle componenti stocastiche (2/3)
Vx
Vx
t
Fluttuazioni della velocità del vento attorno ad un valore medio
A.A. 2008/2009
Trattazione delle componenti stocastiche (3/3)

Le componenti medie Vi del campo dei venti
sono responsabili degli effetti convettivi
o di trasporto.

Le componenti stocastiche (fluttuanti)
Vwi sono responsabili degli effetti
diffusivi.
A.A. 2008/2009
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini convettivi (1/5)
Teorema della divergenza.
Consideriamo il volume infinitesimo di superficie S
Vz (x,z+dz) C (x,z+dz)
(x+dx, z+dz)
z
x
Vx (x,z)
Vx (x+dx,z)
C (x,z)
C (x+dx,z)
(x, z)
Vz (x,z)
C (x,z)
A.A. 2008/2009
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini convettivi (2/5)
Il flusso medio dovuto alle componenti medie (o convettive) del
vento V è dato da:
=
  C  V ds
(2
S
Sviluppando in serie al II ordine si ottiene:
Vx( x, z )
 2Vx( , z ) dx 2
Vx( x  dx, z )  Vx( x, z ) 
dx 
x
2
x 2
con: x <  < x+dx
e, analogamente, per Vz(x,z+dz), C(x+dx,z), C(x,z+dz).
A.A. 2008/2009
(3
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini convettivi (3/5)
Il flusso medio (o portata in massa) dovuto alle componenti
convettive del vento è dato, quindi, da:
=
  C  V ds  C ( x, z )V x ( x, z )dz  C ( x  dx, z )V x ( x  dx, z )dz 
S
 C ( x, z )V z ( x, z )dx  C ( x, z  dz )V z ( x, z  dz )dx 
  (CV x )  (CV z ) 
 

  dxdz

x

z


(4
Nell’ipotesi di fluido incomprimibile si ha:
Vx V y Vz
divV  V 


0
x
y
z
A.A. 2008/2009
(5
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini convettivi (4/5)
Pertanto, per campi di vento a divergenza nulla, il termine di
flusso è dato da:
C 
 C

V

V
dxdz
x
z


 =  x
z 
(6
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (1/12)



In questa prima e, per ora parziale,
componente del trasporto di massa compare
solo la velocità media del vento Vi .
La componente fluttuante del vento(Vwx, Vwz)
è responsabile della diffusione turbolenta.
Ma, se si introducono tali componenti
stocastiche per V e C nella (1, si ottiene un
numero di variabili MAGGIORE del numero di
equazioni (termini del tipo <Vwj.Cw>).
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (2/12)

Per risolvere tale problema si ricorre alla così
detta:
– “Teoria della lunghezza di rimescolamento”
– o, anche: “K-theory”.

Essa si basa su alcune ipotesi relative alla:
– struttura del campo dei vento
– analogie con il meccanismo di diffusione
molecolare
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (3/12)

Si consideri un campo di fluido che sia, in
prima approssimazione:
– parallelo al piano XY
– ed abbia una distribuzione delle componenti
medie Vi del tipo:
z
Vx (z+l)
l
Vx (z)
l
Vx (z-l)
A.A. 2008/2009
Vx
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (4/12)


Si ipotizza che questo profilo della velocità
media possa dare ragione anche delle
fluttuazione stocastiche del modulo delle
velocità, nel senso che:
una particella di fluido, soggetta ad una
fluttuazione di velocità Vwx, esaurisce il suo
moto turbolento spostandosi lungo Z di una
lunghezza caratteristica l.
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (5/12)

Se la particella si porta ad una velocità più
bassa Vwx,sviluppando in serie di Taylor il
profilo di velocità ipotizzato, in un intorno del
punto di ordinata Z, si ottiene:

dVx z
Vwx  Vx ( z )  Vx ( z  l )  l 
dz
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (6/12)

Analogamente, se la particella si porta ad una
velocità più alta Vw’x, si ottiene:

dVx z
Vw' x  Vx ( z )  Vx ( z  l )  l 
dz

Se ore si considerano le differenze di velocità
Vwx e Vw’x come fluttuazioni trasversali
istantanee della velocità nello strato di livello
Z, vale a dire:
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (7/12)

Se il profilo delle velocità medie descrive, in
un opportuno intorno dei vari punti, anche gli
effetti
della
turbolenza
dinamica
dell’atmosfera, allora:
dVx z
1
Vwx    Vwx  Vw' x   l 
2
dz
A.A. 2008/2009
(7
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (7/12)


La lunghezza l viene detta: “lunghezza di
mescolamento”.
Essa rappresenta “il percorso trasversale che
un particella di fluido deve compiere perché la
differenza fra la sua velocità iniziale e quella
del livello finale a cui giunge sia uguale alla
fluttuazione media della velocità dovuta alle
componenti turbolente del campo del vento”.
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (8/12)


La teoria deve essere completata anche con
l’ipotesi che:
Le fluttuazioni di velocità longitudinali Vwx e
trasversali Vwz siano:
– dello stesso ordine di grandezza
– inter-correlate mediante il coefficiente di
correlazione r
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (9/12)

Con queste assunzioni, dall’equazione (7 sul
modulo delle fluttuazioni:
dVx z
1
Vwx    Vwx  Vw' x   l 
2
dz

si può derivare lo sforzo tangenziale xz
prodotto da un fluido di densità  per via
dalle fluttuazioni turbolente :
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (10/12)
dVx dVx
dVx
 xz     Vwx  Vwz  r  l 

  
dz
dz
dz
2
(8
Dove , in analogia con il coefficiente di viscosità molecolare ,
viene detto “coefficiente di viscosità turbolenta cinematica
(eddy viscosity) del moto turbolento (>>).
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (11/12)

Per il calcolo del flusso dovuto alle
componenti stocastiche della velocità
del vento Vw e della concentrazione Cw
occorre stimare i loro prodotti:
– Vwx .Cw e Vwz .Cw

Basandosi sul modello della lunghezza di
mescolamento, in maniera analoga alla (8 si
assume:
A.A. 2008/2009
Il problema della ”chiusura della turbolenza”
La K-theory (12/12)
C
Vwx  Cw   K xx 
x
e
C
Vwz  Cw   K zz 
z
(9
dove Kxx e Kzz sono detti coefficienti di diffusione turbolenta
(eddy diffusivity).
Essi rappresentano gli elementi diagonali del tensore di
diffusione turbolenta Kij.
A.A. 2008/2009
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini diffusivi (1/4)
Pertanto, il flusso medio dovuto alle componenti diffusive è
dato da:
w =
  C w  Vw ds   K jj  C   ds
S
S
A.A. 2008/2009
(10
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini diffusivi (2/4)
Sviluppando in serie, nel caso bidimensionale, ci si riconduce
a:
w =
K xx ( x, z )  C ( xx , z )  dz  K xx ( x  dx, z )  C ( xxdx , z )  dz 
K zz ( x, z )  C ( xz , z )  dx  K zz ( x, z  dz)  C ( x, xz  dz )  dx 
C
C
 ( K xx
)  ( K zz
)
x 
z  dx  dz
x
z
A.A. 2008/2009
(11
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini diffusivi (3/4)
L’integrale di superficie della (10 si riscrive, quindi, in
termini di integrale di volume (utilizzato nella
descrizione dell’equazione di conservazione della massa
solo con termini differenziali):
( K

w =
jj
 C )  dV
(12
V
A.A. 2008/2009
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini diffusivi (4/4)
Infine,
un
terzo
processo
che
contribuisce al trasporto d’inquinante
nell’atmosfera è rappresentato dalla
diffusione molecolare.
 La legge di Fick, in maniera analoga alla
diffusione turbolenta, descrive tale
flusso come:

A.A. 2008/2009
Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa
per i termini diffusivi (4/4)
wD =

D     C  dV
(13
V
Dove, per semplicità, si è assunto:
– D costante sul dominio d’integrazione
– K>>D
A.A. 2008/2009
Forma differenziale dell’equazione del bilancio di massa

Pertanto, nella sua forma differenziale
completa, l’equazione (1 di conservazione
della massa diviene:
C
   (V  C )    ( K  C )  D   2 C  R  S
t
A.A. 2008/2009
(14
Generalizzazione dell’equazione precedente

L’equazione (14 è applicabile, in linea teorica,
come principio di conservazione, o ogni
grandezza dello Strato di Confine Planetario
(PBL) che possa essere espressa come
somma di una componente media ed una
stocastica.
– Temperatura
– Velocità del vento
– Umidità assoluta...
A.A. 2008/2009
Limiti di applicabilità ed assunzioni di base



Tale equazione è applicabile alla descrizione di
quelle situazioni in cui:
Sia applicabile la teoria della lunghezza di
mescolamento (K-theory) (chiusura al Io ordine).
La scala dei tempi T dei fenomeni sia:
– Maggiore della scala temporale Tf delle fluttuazioni
turbolente (qualche secondo).
– Minore della scala temporale delle variazioni di
velocità media del campo di vento nel punto di
interesse (qualche minuto).
A.A. 2008/2009