Università degli studi dell’Insubria
Strutture 3D localizzate in risonatori
ottici non-lineari passivi
Dottorando: Giuseppe Patera
Supervisore:
Supervisore esterno:
Prof. Luigi Lugiato
Prof. Massimo Brambilla
(Politecnico di Bari)
Como, 22 Settembre 2005
Sommario
•Posizione del problema;
•Analisi di stabilità lineare e scelta del set parametrico;
•Proprietà e controllo dei Cavity Light Bullets;
•Conclusioni e prospettive.
Morfogenesi in ottica
Non-linearità e Diffrazione
•In approssimazione di Onda Piana:
y
y
Onda Piana
Ingresso
Mezzo non-Lineare
Uscita
x
x
•Oltre l’approssimazione di Onda Piana:
y
Onda Piana
x
Onda Piana
Ingresso
Mezzo non-Lineare
+
Diffrazione
Uscita
Strutture Globali, Localizzate e Solitoni di Cavità (CSs)
Esempi di strutture che emergono in risonatori ottici passivi:
Strutture globali: (a) rolls, (b) e (c) honeycombs:
(a)
Strutture Localizzate:
(b)
(c)
Solitoni di cavità (CSs):
|ER|2
y
x
Assorbitore saturabile nel MFL II
Solitoni di Cavità
Schema di accensione:
Applicazioni: codifica parallela dell’informazione
•Memorie ottiche a 2NxN bit
Risultati sperimentali: accensione di diversi CSs
Il modello fisico I
Mezzo assorbitore non-lineare:
•Sistema a due livelli
•Allargamento di riga omogeneo
Cavità ad anello unidirezionale
E1
Z=0
1
w0
Z=L
2
E2
wa  E1  E2
wn-1
EI=campo in ingresso
ER=campo riflesso
ET=campo trasmesso
wa
w0~ wc
wn+1
FSR=(2pc)/L
 0  wc  w0
  wa  w0
Il modello fisico II
1. S.V.E.A. (Slowly Varying Envelope Approximation);
2. Approssimazione parassiale;
3. Eliminazione adiabatica delle variabili atomiche “veloci” (polarizzazione,
inversione di popolazione).
L’equazione di Maxwell-Bloch:
1 F F
F (1  i)
i
2

 


F
2
2
c t z
1    | F | 2k 0
Le condizioni a contorno:
F ( x, y,0, t )  Tyinj  RF ( x, y, L, t )e
 i 0
Con:
F(x,y,z,t) = inviluppo normalizzato del campo in cavità.
Yinj = inviluppo normalizzato del campo in ingresso (onda piana).
x,y variabili cartesiane trasversali e z variabile longitudinale.
R,T = coefficienti di riflessione e trasmissione degli specchi (1) e (2), (R+T=1).
k0=w0/c
Autoconfinamento Longitudinale e Strutture 3D
L’ipotesi che il profilo del campo intracavità sia uniforme nella direzione longitudinale di
propagazione (limite di campo medio, MFL) perde validità se:
•Sistemi ottici con coeff. di trasmissione rilevanti (per es. diodi laser);
•Mezzi caratterizzati da un elevato coeff. di assorbimento per singolo passaggio (aL).
Inoltre è interessante andare oltre il MFL quando si voglia descrivere la dinamica del campo
coerente nella direzione di propagazione z.
(a)
(b)
Sono stati trovati (*) set parametrici per i
quali si osservano fenomeni di autoorganizzazione nelle tre dimensioni
spaziali e nel dominio temporale. In
particolare essi portano alla formazione
di pattern 3D globali (a) e strutture autoconfinate in tutte le direzioni spaziali
(CLBs) che propagano lungo z (b).
(*) M. Brambilla, T. Maggipinto, G. Patera and L. Columbo, Cavity Light Bullets: Three-Dimensional
Localized Structures in a nonlinear Optical Resonator, Phys. Rev. Lett. 93, 203901 (2004)
Analisi di Stabilità Lineare (LSA)
Fissati i parametri L, T, 0 e , si considera una “piccola” perturbazione dello stato stazionario,
omogeneo nel piano (x,y), Fst(z):
F ( x, y, z, t )  Fst ( z)  F ( z)e
i ( k x x  k y y ) t
e
con
F
Fst
 1
Linearizzando l’equazione di Maxwell-Bloch, si ottiene l’equazione agli autovalori:

c
 ln( )  ln R  i 2pn , n  N
L
Se   con Re ()> 0  Fst (z) è uno stato instabile.
Profilo Longitudinale:
Dominio di instabilità:
140
Fst2 (z)
120
100
I
80
60
40
20
0
z
0
2
4
6
8
k
10
2
12
14
16
I=|Fst(z=L)|2
Ottimizzazione dei parametri
I criteri guida
I+I+
II
I-I-
Intensità in uscita
1b
1a
II
3
Intensità iniettata
1. Regione di coesistenza estesa;
2. Regione instabile (1b) non deve
coesistere con altri stati omogenei
stabili;
3. Intervalli [Y;Y+] e (1b) più estesi
possibile;
4. Intervallo (2) meno esteso
possibile, meglio se Y-Y;.
2
Y Y
Y- Y
Y+
Y
+


Y

Y-
Inoltre:
•C non troppo grande (>102)  dinamiche spazio-temporali irregolari e/o caotiche;
•C non troppo piccolo (<101)  scompare la competizione modale responsabile
dell’auto-organizzazione spaziale del campo in cavità.
La scansione sui parametri I
Le curve degli stati stazionari ed i domini di instabilità al crescere di C (fissati 0, T e ):
(b)
(a)
C=25;50;75
T=0,1
=2
0=-0,1
80
80
60
C=75
40
2.
La regione bistabile si sposta
verso destra;
Il ramo a pendenza negativa più
esteso;
Aumenta I+ ;
kc,(+) invariato; kc,(-) aumenta.
I
Inorm
C=25
C=50
1.
3.
4.
60
I
Inorm
C=25
C=50
C=75
20
40
20
0
0
0
10
20
Yinj,norm
30
0
5
10
ak
15
2
E’stato individuato un set parametrico favorevole: T=0.1; 0=-0,4; =-2; C=50
Le simulazioni dinamiche
Semplificazione modello 3D (2 dimensioni trasversali ed una longitudinale)
eliminando una delle due dimensioni trasversali  Simulazioni a 2D (una
trasversale ed una longitudinale);
Simulazioni a 3D hanno verificato che i risultati sono consistenti con quelli
del modello a 2D.
Il caso focalizzante
T=0.1; 0=-0,4; =-2; C=50
Griglia di integrazione 3264
C=50, =-2, 0=-0,4
Y=18
80
(a
Inorm
60
40
Y=13
20
(b
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Y=12
Yinj
(c
Y=11
(durata 3737u.t.)
CLBs: proprietà ed applicazioni
Proprietà:
•Accensione/spegnimento
•Controllo longitudinale/trasversale (?)
Applicazioni:
L’auto-confinamento anche nella
direzione di propagazione del campo
intracavità offre prospettive per lo
sviluppo di applicazioni completamente
ottiche per il trattamento seriale/parallelo
dell’informazione.
z
Codifica seriale
Dimensione
trasversale
Codifica parallela
Scrittura di un singolo CLB I
•Campo in ingresso pari a Y=11
“Accensione” mediante impulso gaussiano
Condizioni iniziali con CLB
t=1.25u.t.
(a)
t=127u.t.
(b)
“Spegnimento” mediante impulso gaussiano
t=0.25u.t.
t=750u.t.
(c)
(a)
t=3250u.t.
t=1u.t.
(b)
t=3u.t.
(c)
(d)
Scrittura di un singolo CLB II
Perturbazione della soluzione omogenea per Y=11 mediante un impulso gaussiano
di forma (tenendo costanti x e t0 e variando t):
G  Ae

( x  x0 ) 2 ( t t0 ) 2

2
2
x
t
ei
t(t.u.)
0.1
0.05
0.025
0.005
0.0005
(A1,A2)
(14.0,15.0)
(17.0,31.0)
(20.0,60.0)
(200.0,240.0)
(2200.0,2500.0)
A=14.5
t=0.1t.u.
A=40.0
t =0.025t.u.
A=20.0
t =0.1t.u.
Le dimensioni
longitudinali del CLB
non cambiano
sensibilmente con A
(a), (b) esempi di due CLBs a regime eccitati mediante impulso gaussiamo con due differenti valori di
t ed A. (c) Se A≥A2 si osserva la formazione di un filamento.
Scrittura di un singolo CLB III
Dipendenza dalla fase:
Il processo di scrittura è sensibile anche alla fase  dell’impulso gaussiano;
fissati A=35.0 e t=0.025 u.t. è possibile realizzare la scrittura di un CLB per:
  1;1
con 1=p/6.
Incrementando l’intensità dell’impulso di scrittura aumenta anche il valore di 1.
Piuttosto che una predizione sistematica, il
grafico va considerato come una tendenza
generale poiché:
1. La misura non è stata fatta su un campione
statisticamente significativo di prove (una sola
simulazione per punto).
2. Il campionamento potrebbe essere
insufficiente per una misura precisa.
55
50
durata minima simulazioni 250u.t.
N.B.: per Y=9.8 le strutture cadono sull'omogenea in circa 50u.t.
N.B.: l'incertezza sulla lunghezza è di +/- 1pixel
45
Lunghezza (Pixels)
Dipendenza della
lunghezza dall’intensità
del campo iniettato:
40
35
30
25
20
15
10
5
0
9,8 10,0 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0
Yinj
Codifica parallela
E’ possibile scrivere due CLB indipendenti in posizioni trasversali differenti?
1.a
1.b
1.c
2.a
2.b
2.c
•Come nel caso 2D dei CSs, i due CLB non interagiscono se la distanza che separa i loro
centri è maggiore della dimensione tipica trasversale c=2p/kc (fig. 1.a, 1.b e 1.c), dove kc
è il vettore critico superiore. Quando questa distanza è inferiore alla distanza critica i due
CLB interagiscono fondendosi in un’unica struttura (fig. 2.a, 2.b e 2.c).
•L’indipendenza dei CLBs è confermata anche cancellando selettivamente una delle due
strutture.
Codifica seriale
Il confinamento lungo la direzione di propagazione permette di sfruttare un
grado di libertà in più rispetto a sistemi nel MFL.
Si parte da una configurazione in cui è, originariamente, presente un CLB e si eccita un
secondo CLB nella medesima posizione trasversale variandone la distanza dal primo.
(a)
(b)
Esistono tre regioni per D:
1. D[0L;0.6L]: l’effetto del secondo impulso è
soltanto quello di perturbare il primo CLB;
2. D[0.6L;0.7L]: formazione di due CLB
identici (fig. (a));
3. D[0.7L;L]: formazione di due strutture
differenti.
Controllo dei CLBs I.a
gradienti di fase nel campo di input
Nel caso di CSs una modulazione di fase dei campi:
EI  E0 I ei ( x , y ) ; F  F0 ( x, y )ei ( x , y )
porta ad una velocità di deriva (nel piano trasversale) delle soluzioni spazialmente modulate
proporzionale al gradiente della modulazione di fase (Firth e Scroggie, 1996):
 
v    ( x, y )
Nella situazione di dipendenza anche dalla coordinata longitudinale, una modulazione di
fase del campo di ingresso dà origine ad un profilo complesso dell’intensità del campo intracavità:
EI  E0 I ei ( x , y ) ; F  F0 ( x, y, z )ei ( x , y , z )
Controllo dei CLBs I.b
gradienti di fase nel campo di input
Yinj  Y0e
Ep=0.0
I
0
0,1375
0,2750
1,0
0,4125
0,5500
ie p cos(  k p  x )
Ep=1.0
I
0
1,4
0,1750
1,2
0,3500
0,5250
0,8
0,6875
0,8250
1,0
0,7000
0,8750
0,9625
0,6
1,100
0,8
1,050
0,6
1,225
0,4
10
20
30
40
z(g.p
.)
50
60
0,2
5
10
0,0
15
20
25
x(g.p.)
30
1,400
0,4
0,2
0,0
10
20
z(g
30
.p.)
40
0
5
10
15
20 x(g.p.)
25
50
60
30
Y0=12.0, ep=1.0, =0°, kp=5.625
Controllo dei CLBs II
drift trasversale
1.a
1.b
1.c
2.a
2.b
2.c
|mean  phase)/x| (rad)
x~10 g.p.
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
9
10
11
12
x(g.p)
13
14
15
Controllo dei CLBs III
drift longitudinale: un problema ancora aperto
E’ possibile controllare
longitudinalmente i CLBs con un
campo elettrico trasversale?
Conclusioni
1. Realizzazione di processi di scrittura/cancellazione di
CLB e studio delle loro proprietà in funzione dei
parametri dell’impulso di scrittura;
2. Codifica parallelo/seriale;
3. Controllo trasversale nel profilo di intensità del campo
intra-cavità.
Prospettive
• Controllo longitudinale;
• Estensione del modello ai semiconduttori.
Questa linea di ricerca costituisce una delle linee tematiche del progetto
FunFACS (FUNdamentals, Functionalities and Applications of Cavity Solitons) –
F.E.T. VI P.Q. UE
Il futuro
collaborazione con l’Università di Pierre e Marie Curie
(gruppo del prof. C. Fabre)
Studio delle correlazioni spazio-temporali nel campo di radiazione generato
da Oscillatori Ottici Parametrici:
1. Studio sperimentale delle proprietà quantistiche spaziali di un OPO a multimodi in
regime cw;
2. Studio teorico sulle proprietà intrinseche della luce a molti modi;
3. Studio teorico ed Implementazione sperimentale di un Synchronously Pumped
Optical Parametric Oscillator (SPOPO).
4. Esperimenti di quantum imaging su un SPOPO.
La scansione sui parametri II
variazione di 0 fissati C,  e T
T=0,1; =4, C=75
0=0
0=-0,1
30
(a)
0=-0,2
0=0,2
(b)
T=0,1; =4, C=75
30
0=0,1
1,5
0=0
0=-0,3
0=-0,1
0=0,1
10
10
0=-0,3
1,0
20
Inorm
20
Inorm
Inorm
0=-0,2
0,5
0=0,2
0
0
0,0
5
10
15
Yinj,norm
20
25
0
5
10
ak
2
1. Il ramo a pendenza negativa si riduce al decrescere
di 0;
2. Pendenza del ramo superiore aumenta al decrescere
di 0;
3. Per 0>0 il ramo superiore è completamente stabile;
4. kc,(+) e kc,(-) crescono al diminuire di 0.
15
0
5
10
ak
2
15